Fundamentos de Álgebra
Autor: Csaba Schneider
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Conteúdo
Bloco 1. Números inteiros: os princípios de boa ordenação e indução; o Lema de Divisão de Euclides; critérios de divisibilidade; representação de inteiros e racionais em bases; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; o MDC como combinação linear; equações diofantinas lineares; números primos; fatoração; o Teorema Fundamental da Aritmética.
Bloco 2. Congruências: definição e propriedades elementares; congruências lineares; a função de Euler; os teoremas de Fermat Euler, Wilson e do resto chinês; testes de primalidade; a criptografia RSA.
Bloco 3. Polinômios sobre um corpo; divisibilidade; o Lema de Divisão; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; raízes, fórmulas para raízes para polinômios de 2o e 3o grau; irredutibilidade e fatoração sobre Q, R e C; o Teorema Fundamental da Álgebra; o Lema de Gauss e o Critério de Eisenstein; anéis; definição e exemplos; ideais; domínios de integridade; divisores de zero; anéis euclidianos.
Literatura recomendada
- A. Vidigal, D. Avritzer, E. Farias e Soares, H. P. Bueno, M. C. C. Ferreira, e E. M. C. de Faria. Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG. 2005.
- S. C. Coutinho. Teoria de números e criptografia RSA. IMPA-SBM ,segunda edição, 2014.
- A. Hefez. Curso de Álgebra (vol 1). Coleção Matemática Universitária, IMPA - SBM, quinta edição, 2016.
- Adilson Gonçalves. Introdução à álgebra, IMPA, sexta edição, 2017.
- Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Elementos de álgebra, IMPA, sexta edição, 2018.
- F. C. P. Milies e S. P Coelho. Números: uma introdução à Matemática. Ed. USP, terceira edição, 2013.
- L. S. Childs. A concrete introduction to higher algebra, UTM, Springer-Verlag, 2009.
Canais de YouTube
- Teoria dos números por Michael Penn (inglês)
- Teoria dos números por Richard Borcherds (inglês)
- Intrudução à teoria dos números por Richard Borcherds, Universidade de Berkeley, 2022 (inglês)
Notas e apostilas
Bloco 1: Inteiros
- Divisão, quociente, e resto entre números inteiros; O Teorema de Divisão de Euclides
- Expansão dos naturais na base \(b\) e os critérios de divisibilidade
- Expansão decimal de números racionais
- O maior divisor comum e o Algoritmo de Euclides
- Números primos e O Teorema Fundamental da Aritmética
- Equações diofantinas lineares em duas variáveis e o Teorema Chinês dos Restos (Versão 1.0)
- A função \(\varphi\) de Euler
Bloco 2: Congruências
- Congruências
- Classes residuais e ℤn
- Congruências com incógnitas e O Teorema Chinês dos Restos (Versão 2.0)
- O Pequeno Teorema de Fermat, o Teorema de Euler e o Teorema de Wilson
- A ordem de um elemento de \(\Z_n\) e o Teorema do Elementos primitivos
- Quadrados em \(\Z_p\) e resíduos quadráticos
- O Algoritmo de Exponenciação Rápida e o Teste de Primalidade de Fermat
- O Teste de Primalidade de Miller
- Criptografia RSA
Bloco 3: Polinômios
- Anéis, domínios e corpos
- Números complexos
- Polinômios sobre anéis
- Divisibilidade entre polinômios e o Teorema de Divisão para Polinômios
- O MDC de dois polinômios e o Algoritmo de Euclides
- Raízes e fatoração
- Elementos Primitivos: A demonstração
- Polinômios irredutíveis e o Teorema da Fatoração para Polinômios
- Domínios de Fatoração Única (DFU)
- O Lema de Gauss e o Critério de Eisenstein
- Equações polinomiais do segundo e terceiro grau