Comprovação. Existência: Seja \(X\) uma base de \(V\) e seja \(A=[B]_X\) a matriz de \(B\) na base \(X\). Então \(A\) é matriz simétrica. Pelo Teorema 52.3, existe uma matriz \(P\) ortogonal tal que \(P^tAP=D\) é diagonal. Seja \(Y\) a base de \(V\) tal que \(P=[\mbox{id}_V]^Y_X\). O Lema 53.1, implica que \[
D=P^t\cdot [B]_X\cdot P=[B]_Y
\] é diagonal. Assuma que \(Y=\{\tilde y_1,\ldots,\tilde y_n\}\). A diagonalidade de \(D=[B]_Y\) implica que \[
B(\tilde y_i,\tilde y_j)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\mbox{se } i\neq j\\ D_{i,i} & \mbox{se }i=j.\end{array}\right.
\] Agora, defina, para \(i\in\{1,\ldots,n\}\), \[
y_i=\left\{\begin{array}{ll} \tilde y_i&\mbox{se } D_{i,i}=0\\ \frac 1{\sqrt{D_{i,i}}}\tilde y_i & \mbox{se }D_{i,i}>0\\
\frac 1{\sqrt{-D_{i,i}}}\tilde y_i & \mbox{se }D_{i,i}<0.\end{array}\right.
\] Neste caso, temos que \(B(y_i,y_i)\in\{0,1,-1\}\) e \(B(y_i,y_j)=0\) para todo \(i,j\) tal que \(i\neq j\). Agora, permute os elementos de \(Y\) tal que tenhamos \[\begin{align*}
B(y_1,y_1)&=\cdots=B(y_p,y_p)=1;\\
B(y_{p+1},y_{p+1})&=\cdots=B(y_{p+q},y_{p+q})=-1; \\
B(y_{p+q+1},y_{p+q+1})&=\cdots=B(y_{p+q+r},y_{p+q+r})=0.
\end{align*}\]
Ora, nesta base, a matriz de \(B\) é como afirmado no teorema.
Unicidade: Assuma que existe uma base \(Z=\{z_1,\ldots,z_n\}\) tal que \([B]_Z\) é diagonal com blocos diagonais \(I_{p'}\), \(-I_{q'}\) e \(0_{r'\times r'}\). Primeiro, afirmamos que \[
V^\perp=\{v\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }w\in V\}=\left<y_{p+q+1},\ldots,y_{p+q+r}\right>.
\] (Note que o espaço \(V^\perp\) é chamado de radical da forma \(B\). Quando \(B\) for um produto interno, seu radical é \(0\), mas isso não precisa ser assim para uma forma qualquer.) Primeiro, se \(w\in V\), então, temos para todo \(k\in\{1,\ldots,r\}\) que \[
B(y_{p+q+k},w)=(y_{p+q+k})_Y^t D w_Y=(D_{p+q+k,p+q+k}(y_{p+q+k})_Y^t) w_Y=0.
\] e \(\left<y_{p+q+1},\ldots,y_{p+q+r}\right>\leq V^\perp\). Por outro lado, se \(v\in V^\perp\), escreva \[
v=\alpha_1 y_1+\cdots+\alpha_{p}y_p+\alpha_{p+1} y_{p+1}+\cdots+\alpha_{p+q}y_{p+q}+\alpha_{p+q+1} y_{p+q+1}+\cdots+\alpha_{p+q+r}y_{p+q+r}
\] e considere \[
0=B(v,y_k)=v_Y^tD(y_k)_Y=D_{k,k}\alpha_k.
\] Se \(k\in\{1,\ldots,p+q\}\), então \(D_{k,k}\neq 0\) e segue que \(\alpha_k=0\). Portanto \[
v=\alpha_{p+q+1} y_{p+q+1}+\cdots+\alpha_{p+q+r}y_{p+q+r}\in\left<y_{p+q+1},\ldots,y_{p+q+r}\right>.
\] Logo \(V^\perp\leq \left<y_{p+q+1},\ldots,y_{p+q+r}\right>\) e, de fato, vale a igualdade \(V^\perp= \left<y_{p+q+1},\ldots,y_{p+q+r}\right>\). Em particular, temos que \(\dim V^\perp=r\). Como o mesmo argumento vale para a base \(Z\), obtemos que \(r'=\dim V^\perp=r\). Como \(n=p+q+r=p'+q'+r'\), temos também que \(p+q=p'+q'\).
Seja \(W=\left<y_1,\ldots,y_p,z_{p'+1},\ldots,z_{p'+q'}\right>\). Primeiro, note que \(W\cap V^\perp=0\). Isso segue do fato do que se \(\alpha_1y_1+\cdots+\alpha_py_p+\beta_1 z_{p'+1}+\cdots+\beta_{q'}z_{p'+q'}\in V^\perp\), então \[
0=B(v,y_k)=\alpha_k\quad \mbox{and}\quad 0=B(v,z_{p'+l})=-\beta_l
\] vale para todo \(k\in\{1,\ldots,p\}\) e \(l\in\{1,\ldots,q'\}\). Em particular, \(\dim W\leq n-\dim V^\perp=n-r\).
Afirmamos que \(y_1,\ldots,y_p,z_{p'+1},\ldots,z_{p'+q'}\) são LI. De fato assuma que \[
0=\alpha_1y_1+\cdots+\alpha_py_p+\beta_1 z_{p'+1}+\cdots+\beta_{q'}z_{p'+q'}.
\] Então \[
\alpha_1y_1+\cdots+\alpha_py_p=-\beta_1 z_{p'+1}-\cdots-\beta_{q'}z_{p'+q'}.
\] Aplicando \(Q_B\) nos dois lados, temos que \[
Q_B(\alpha_1y_1+\cdots+\alpha_py_p)=\alpha_1^2+\cdots+\alpha_p^2
\] e \[
Q_B(-\beta_1 z_{p'+1}-\cdots-\beta_{q'}z_{p'+q'})=-\beta_1^2-\cdots-\beta_{q'}^2.
\] Como o primeiro valor é não negativo, o segundo valor é não positivo, igualdade só pode ocorrer se os dois valores são iguais a zero. Mas neste caso \(\alpha_1=\cdots=\alpha_p=0\) e \(\beta_1=\ldots=\beta_{q'}=0\); ou seja, os vetores são LI como foi afirmado.
Mas isso implica que \(\dim W=p+q'\leq n-r=p+q\); ou seja \(q'\leq q\). O mesmo argumento implica que \(q\leq q'\) e assim \(p=p'\). Ora, segue também que \(p=p'\). Portanto \((p,q,r)=(p',q',r')\) como foi afirmado.