11  Divisão, quociente, e resto entre números inteiros e O Teorema de Divisão de Euclides

11.1 Definições e propriedades básicas

Os números naturais são os números \(1\), \(2\), \(3\), etc. Alguns autores consideram o número zero também natural, mas nesta disciplina os números naturais começam com \(1\). O conjunto dos números naturais é denotado por \(\N\), enquanto \(\N_0\) denota o conjunto \(\{0\}\cup\N\). Os números inteiros são os números naturais e os seus negativos. O conjunto dos números inteiros é denotado por \(\Z\) (pela palavra zahlen em alemão); ou seja \[ \Z=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\}. \]

Definição 11.1 Sejam \(a,b\in\Z\). Dizemos que “\(a\) divide \(b\)”, ou “\(b\) é um múltiplo de \(a\)” ou “\(b\) é divisível por \(a\)” se existir \(q\in\Z\) tal que \(b=qa\). Quando \(a\) divide \(b\), escrevemos \(a\mid b\), e quando \(a\) não divide \(b\), escrevemos \(a\nmid b\).

Exemplo 11.1  

  • \(2\mid 4\), \(-2\mid 4\), \(3\nmid 5\);
  • \(a\mid 0\) para todo \(a\in\Z\); em particular \(0\mid 0\);
  • \(0\nmid a\) para todo \(a\in\Z\setminus\{0\}\).

Quando \(a,b\in\Z\) e \(a\mid b\), então existe (por definição), um \(q\in\Z\) tal que \(b=qa\). Se \(a\neq 0\), então o número \(q\) é único e \(q=b/a\); ou seja, \(q\) é o quociente de \(b\) por \(a\). Quando \(a=b=0\), temos que \(a\mid b\), mas o quociente \(0/0\) não é definido.

Lema 11.1 (As propriedades da divisibilidade.) Sejam \(a,b,c\in\Z\). As seguintes afirmações são verdadeiras.

  • \(a\mid a\);
  • se \(a\mid b\) e \(b\mid c\), então \(a\mid c\);
  • se \(a\mid b\) e \(b\mid a\)., então \(a=\pm b\);
  • se \(a\mid b\), então \(a\mid bc\);
  • se \(a\mid b\) e \(a\mid c\), então \(a\mid b\pm c\).

Comprovação. Demonstraremos apenas duas destas afirmações, o resto é exercício.

  1. A afirmação é trivialmente verdadeira pelas observações anteriores quando \(a=0\) ou \(b=0\). Assumamos portanto que \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\). Suponha que \(a\mid b\) e \(b\mid a\). Então existem \(q_1,q_2\in\Z\) tais que \[\begin{align*} b &=q_1a;\\ a &=q_2b. \end{align*}\] Substituindo \(b=q_1a\) na segunda equação, obtemos que \[ a=q_2b=q_2q_1a. \] Como \(a\neq 0\), a última equação destacada implica que \(q_2q_1=1\); ou seja (lembrando que \(q_1\) e \(q_2\) são inteiros) \(q_1=q_2=1\) ou \(q_1=q_2=-1\). Obtemos portanto que \(a=\pm b\).

  2. Assuma que \(a\mid b\) e \(a\mid c\). Existem \(q_1,q_2\in\Z\) tais que \(b=q_1a\) e \(c=q_2a\). Isso implica que \[ b+c=q_1a+q_2a=(q_1+q_2)a; \] ou seja, \(a\mid b+c\). Pode-se modificar o argumento trivialmente para mostrar que \(a\mid b-c\).

11.2 O Teorema da Divisão de Euclides

Teorema 11.1 (O Teorema da Divisão de Euclides) Sejam \(a,b\in\Z\) tais que \(b\neq 0\). Então existem unicamente \(q,r\in\Z\) tais que \[ a=qb+r\quad\mbox{e}\quad 0\leq r<|b|. \]

Comprovação. Existência. Suponha primeiro que \(b\) é positivo. Vamos demonstrar a existência primeiro para \(a\) não negativo por indução em \(a\). Quando \(a=0\), pode escolher \(q=r=0\) e a afirmação sobre a existência destes números está válida. Assuma que a afirmação da existência é verdadeira para algum \(a\geq 0\); ou seja existem \(q,r\in\Z\) tais que \(a=qb+r\) e \(0\leq r<b\). O número \(a+1\) pode ser escrito como \[ a+1=qb+r+1 \] e temos ainda que \(1\leq r+1\leq b\). Se \(r+1<b\), então a expressão para \(a\) na equação anterior é como desejada. Por outro lado, se \(r+1=b\), então \[ a+1=qb+r+1=qb+b=(q+1)b=(q+1)b+0 \] e obtemos uma expressão para \(a+1\) que satisfaz as condições do teorema.Acabamos de provar a afirmação da existência para \(a\) não negativo e \(b\) positivo.

Assuma agora que \(a\) é negativo, mas \(b\) contínua positivo. Como \(-a\) é positivo, o teorema está válido para \(-a\) e \(b\) e existem \(q,r\in\Z\) tais que \[ -a=qb+r\quad\mbox{e}\quad 0\leq r< b. \] Se \(r=0\), então obtemos que \(a=(-q)b+0\) que dá a expressão procurada. Caso contrário, quando \(0<r<b\), obtemos que \[ a=(-q)b-r=(-q-1)b+(-r+b)\quad\mbox{e}\quad 0< -r+b< b \] como foi desejado.

Agora consideremos os caso quando \(b\) é negativo e \(a\) é arbitrário. Neste caso \(-b\) é positivo e existem \(q,r\in\Z\) tais que \[ a=q(-b)+r\quad\mbox{e}\quad 0\leq r< |b| \] e isso implica que \[ a=(-q)b+r\quad\mbox{e}\quad 0\leq r< |b| \] e podemos tomar os números \(-q\) e \(r\).

Unicidade. Assuma que para algum \(a,b\in\Z\) (com \(b\neq 0\)), temos \(q_1,q_2,r_1,r_2\in\Z\) tais que \[ a=q_1b+r_1\quad\mbox{e}\quad 0\leq r_1<|b| \] e \[ a=q_2b+r_2\quad\mbox{e}\quad 0\leq r_2<|b|. \] Assuma sem perder generalidade que \(r_2\geq r_1\). Neste caso temos que \(0\leq r_2-r_1\leq r_2<|b|\) e das duas equações anteriores obtemos também que \[ (q_1-q_2)b=(r_2-r_1). \] Como \((q_1-q_2)b\) é um múltiplo de \(b\), este número só pode cair no intervalo \([0,|b|-1]\) se \((q_1-q_2)b=0\). Como \(b\neq 0\), a lei cancelativa implica que \(q_1-q_2=0\); ou seja \(q_1=q_2=q\). Ora \[ a=qb+r_1=qb+r_2 \] a aplicando a lei cancelativa aditivamente obtemos que \(r_1=r_2\). Então a decomposição do número \(a\) no teorema é única.

Os números \(q\) e \(r\) são chamados do quociente e o resto, respetivamente, de \(a\) por \(b\).

Exemplo 11.2 Vamos ver alguns exemplos do quiciente \(q\) e do resto \(r\) no Teorema da Divisão para alguns valores \(a,b\). Pode-se verificar facilmente as seguintes afirmações.

  • Se \(a=13\) e \(b=5\), então \(q=2\) e \(r=3\).
  • Se \(a=-13\) e \(b=5\), então \(q=-3\) e \(r=2\).
  • Se \(a=13\) e \(b=-5\), então \(q=-2\) e \(r=3\).
  • Se \(a=-13\) e \(b=-5\), então \(q=3\) e \(r=2\).

Explique porque \(r\neq -3\) nos itens 2 e 4.

11.2.1 Computações com Python

Vamos ver agora como calcular o quociente e o resto na linguagem Python. O quociente de dois números naturais pode ser calculado por “//” e o resto por “%”. Considere o seguinte exemplo:

>>> 11//5
2
>>> 11 % 5
1

Normalmente usamos variáveis para guardar os números que usamos na computação. Refazemos a computatação anterior usando variáveis:

>>> a = 11
>>> b = 5
>>> a//b
2
>>> a % b
1

Verifiquemos que o quociente e o resto satisfaz a igualdade no Teorema da Divisão:

>>> q = a//b; r = a % b
>>> a == q*b+r
True

Precisa-se prestar atenção quando trabalhamos com números negativos. Quando \(a\) é negativo e \(b\) é positivo, o quociente e o resto calculado por Python coincide com o que segue do Teorema.

>>> a = -11; b = 5
>>> a//b
-3
>>> a%b
4

Mas quando \(b\) for negativo, o Python devolve um resto negativo que não é compatível com nosso Teorema.

>>> a = 11; b = -5
>>> a//b
-3
>>> a%b
-4

Nestes casos o output dado por Python precisa ser modificado para ser compatível com o Teorema de Divisão enunciado anteriormente.

Python possui a função divmod que calcula o quociente e o resto no mesmo tempo. Quando precisa-se calcular os dois, o uso desta função é preferível sobre usar as operações // e % separadamente.

>>> q, r = divmod( 11, 5 )
>>> q, r
(2, 1)
>>> q, r = divmod( -11, 5 )
>>> q, r
(-3, 4)
>>> q, r = divmod( 11, -5 )
>>> q, r 
(-3, -4)
>>> q, r = divmod( -11, -5 )
>>> q, r 
(2, -1)

A função divmod pode ser modificado para devolver o quociente e o resto que satisfaz a condição do Teorema como foi enunciado por nós.

def my_divmod( a, b ):

    # calculamos o quociente e resto com divmod
    q, r = divmod( a, b )
    
    # se o resto é não negativo, estamos pronto
    if r >= 0:
        return q, r
        # caso contrário, o resto é negativo e devolvemos q e r modificados
    else:
        return q+1, r-b

O resultado devolvido por esta nova função está de acordo com a nossa definição de quociente e resto.

>>> my_divmod(13,5)
(2, 3)

>>> my_divmod(-13,5)
(-3, 2)

>>> my_divmod(-13,-5)
(3, 2)

>>> my_divmod(13,-5)
(-2, 3)