23 Os quadrados de ℤ_n

Lembre da notação $\Z_p^*=\Z_p\setminus\{\overline 0\}$ ($p$ é primo).

Definição 23.1 Seja $p\in\N$ um primo. Um elemento $\overline a\in\Z_p^*$ é dito quadrado se $\overline a=\overline b^2$ com algum $\overline b\in\Z_p^*$

Exemplo 23.1 Em $\Z_5^*$, os elementos são $\overline 1,\overline 2,\overline 3,\overline 4$, os seus quadrados são $\overline 1,\overline 4,\overline 4,\overline 1$. Então $\Z_5^*$ possui dois quadrados, nomeadamente $\overline 1$ e $\overline 4$. Uma conta simples mostra que os quadrados dos elementos de $\Z_7^*$ são $\overline 1,\overline 4,\overline 2,\overline 2,\overline 4,\overline 1$. Então os quadrados de $\Z_7^*$ são $\overline 1$, $\overline 2$ e $\overline 4$

No resto da página $p$ é um primo com $p\geq 3$.

Exercício 23.1 Seja $p$ um primo ímpar e seja $\overline a\in\Z_p^*$. Mostre que $\overline a^{(p-1)/2}\in\{\overline 1,\overline{-1}\}$

Exemplo 23.2 Motivado pelo exercício anterior, vamos calcular $\overline a^3$ para todo $\overline a\in\Z_7^*$.

\[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline \overline a & \overline 1 & \overline 2 & \overline 3& \overline 4& \overline 5 & \overline 6 \\\hline \overline a^3 & \overline 1 & \overline 1 & \overline{-1}& \overline 1& \overline {-1} & \overline {-1} \\\hline \end{array} \] Observamos duas coisas:

Se $\overline a\in\Z_7^*$ é quadrado, então $\overline a^3=\overline 1$.
Se $\overline a\in\Z_7^*$ não é quadrado, então $\overline a^3=\overline{-1}$.

No lema seguinte demonstramos que as observações feitas no exemplo anterior não são coincidências.

Lema 23.1 Seja $p$ um primo com $p\geq 3$. O número de quadrados em $\Z_p^*$ é $(p-1)/2$. Além disso, $\overline a\in\Z_p^*$ é um quadrado se e somente se $\overline a^{(p-1)/2}=\overline 1$ e $\overline a$ não é quadrado se e somente se $\overline a^{(p-1)/2}=\overline{-1}$

Comprovação. Considere \[ \psi:\Z_p^*\to\Z_p^*,\quad \overline a\mapsto \overline a^{2}. \] Temos que a imagem de $\psi$ é precisamente o conjunto dos quadrados em $\Z_p^*$. Além disso, assuma que $\overline a,\overline b\in\Z_p^*$ tais que $\psi(\overline a)=\psi(\overline b)$; ou seja $\overline a^2=\overline b^2$. A última equação é equivalente ao fato que $p\mid a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ implicando que $p\mid a-b$ ou $p\mid a+b$ e assim \[ b\equiv \pm a\pmod p\quad\mbox{e}\quad \overline b=\pm\overline a. \] Além disso, $\overline a$ e $\overline{-a}$ são distintos, pois se $\overline a=\overline{-a}$, então $\overline 2\overline a=\overline 0$ que implica (como $\overline 2$ é invertível) que $\overline a=0$ que não é o caso, pois $\overline a\in\Z_p^*$.

Portanto cada elemento $\overline b$ na imagem de $\psi$ existem precisamente dois elementos $\overline a$ e $-\overline a$ tal que $\psi(\overline a)=\psi(-\overline a)=\overline b$. Como $|\Z_p^*|=p-1$ a imagem de $\psi$ contém $(p-1)/2$ elementos e assim há $(p-1)/2$ quadrados em $\Z_p^*$.

Assuma que $\overline a\in\Z_p^*$ é um quadrado. Seja $\overline b\in\Z_p^*$ tal que $\overline a=\overline b^2$. O Pequeno Teorema de Fermat implica que \[ \overline a^{(p-1)/2}=(\overline b^2)^{(p-1)/2}=\overline b^{p-1}=\overline 1. \]

Agora assuma que $\overline a\in\Z_p^*$ não é um quadrado. Defina \[ \vartheta:\Z_p^*\to\Z_p^*,\quad \overline b\mapsto \overline a/\overline b=\overline a\overline b^{-1}. \] Note que $\vartheta$ é uma bijeção e que $\vartheta(\overline b)=\overline c$ se e somente se $\vartheta(\overline c)=\overline b$. Além disso $\overline b\vartheta(\overline b)=\overline a$ para todo $\overline b\in\Z_p^*$ e o fato que $\overline a$ não é quadrado implica que $\vartheta(\overline b)\neq\overline b$ para todo $\overline b\in\Z_p^*$.

Vamos enumerar os elementos de $\Z_p^*$ como \[ \Z_p^*=\{\overline b_1,\vartheta(\overline b_1),\overline b_2,\vartheta(\overline b_2),\ldots,\overline b_ {(p-1)/2},\vartheta(\overline b_{(p-1)/2})\}. \] Ora, o Teorema de Wilson nos diz que \[ -1\equiv (p-1)!\equiv 1\cdot 2\cdots (p-1)\pmod p \] e isso implica que \[\begin{align*} \overline{-1}&= \overline 1\cdot \overline 2\cdots \overline{p-1}\\&=(\overline b_1\vartheta(\overline b_1))(\overline b_2\vartheta(\overline b_2))\cdots(\overline b_{(p-1)/2}\vartheta(\overline b_{(p-1)/2}))\\&=\overline a^{(p-1)/2}. \end{align*}\]

Definição 23.2 Seja $p$ um primo com $p\geq 3$ e seja $a\in\Z$ tal que $p \nmid a$. O número $a$ é dito resíduo quadrático módulo $p$ se $a\equiv b^2\pmod p$ com algum $b\in\Z$. Caso contrário, $a$ é dito resíduo não quadrático (módulo $p$)

É imediato da definição que $a$ é resíduo quadrático módulo $p$ se e somente se $\overline a$ é um quadrado em $\Z_p$.

Exemplo 23.3 Um número $a\in\Z$ é resíduo quadrático módulo $7$ se e somente se \[ a\equiv 1,2,4\pmod 7 \] enquanto $a$ é resíduo não quadrático se e somente se \[ a\equiv 3,5,6\pmod 7. \] Se $a\equiv 0\pmod 7$, então o conceito não é definido para $a$

Definição 23.3 Seja $p$ um primo com $p\geq 3$ e $a\in\Z$. Definimos o símbolo de Legendre $(\frac ap)$ como \[ \left(\frac ap\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se $a$ é resíduo quadrático módulo $p$;}\\ -1& \mbox{se $a$ é resíduo não quadrático módulo $p$;}\\ 0 & \mbox{se $p\mid a$}.\end{array}\right. \]

Exemplo 23.4 Considerando $p=7$ temos que \[ \left(\frac a7\right)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se $a\equiv 1,2,4\pmod 7$;}\\ -1& \mbox{se $a\equiv 3,5,6\pmod 7$;}\\ 0 & \mbox{se $a\equiv 0\pmod 7$.}\end{array}\right. \]

Teorema 23.1 Se $p$ é um primo com $p\geq 3$ e $a\in\Z$, então \[ \left(\frac ap\right)\equiv a^{(p-1)/2} \pmod p. \]

O seguinte teorema famoso é conhecido como a Lei da Reciprocidade Quadrática. Este teorema será apresentado sem demonstração.

Teorema 23.2 Sejam $p$ e $q$ primos com $p,q\geq 3$. Então \[ \left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2} \]

Para saber mais detalhes sobre o assunto, assista o vídeo no canal Mathologer.