Operadores autoadjuntos
Nesta página \(V\) é um \(\F\)-espaço vetorial, \(\sigma\in\mbox{Aut}(\F)\) com \(\sigma^2=\mbox{id}_\F\) e \(B\) é uma forma \(\sigma\)-hermitiana não degenerada sobre \(V\).
Definição 77.1 Um operador \(f:V\to V\) é autoadjunto se existe \(f^*\) e \(f^*=f\). Em outras palavras, \[
B(f(v),w)=B(v,f(w))
\] para todo \(v,w\in V\).
Lema 77.1 Seja \(f:V\to V\) autoadjunto.
- Se \(\lambda\in\F\) é um autovalor de \(f\) tal que \(V_\lambda\) contém um vetor não isotrópico, então \(\lambda\in\mbox{Fix}(\sigma)\).
- Sejam \(v_1\) e \(v_2\) autovetores de \(f\) associados com autovalores \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), respetivamente, tais que \(\lambda_1^\sigma\neq \lambda_2\). Então \(v_1\perp v_2\) (ou seja, \(B(v_1,v_2)=0\)).
Comprovação.
- Seja \(v\in V\setminus\{0\}\) tal que \(f(v)=\lambda v\) e assuma que \(v\) não é isotrópico; ou seja \(Q(v)=B(v,v)\neq 0\). Ora, \[
\lambda B(v,v)=B(\lambda v,v)=B(f(v),w)=B(v,f(v))=B(v,\lambda v)=\lambda^\sigma B(v,v).
\] Portanto, \((\lambda-\lambda^\sigma)B(v,v)=0\) e \(\lambda-\lambda^\sigma=0\). Logo \(\lambda=\mbox{Fix}(\sigma)\).
- Assuma que \(v_1\) e \(v_2\) são autovetores associados com autovalores \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\) com \(\lambda_1\neq \lambda_2^\sigma\). Temos que \[\begin{align*}
\lambda_1 B(v_1,v_2)&=B(f(v_1),w_2)=B(v_1,f(v_2))=B(v_1,\lambda_2 v_2)\\&=\lambda_2^\sigma B(v_1,v_2).
\end{align*}\] Isso implica que \((\lambda_1-\lambda_2^\sigma)B(v_1,v_2)=0\). Ou seja, \(\lambda_1=\lambda_2^\sigma\) ou \(B(v_1,v_2)=0\). Como \(\lambda_1\neq \lambda_2^\sigma\), nos resta que \(B(v_1,v_2)=0\).
Produto interno
Definição 77.2 Seja \(V\) um espaço vetorial sobre \(\F\) onde \(\F=\R\) ou \(\F=\C\) e seja \(\sigma=\mbox{id}_\R\) se \(\F=\R\) e \(\sigma\) o conjugado complexo se \(\F=\C\). Um produto interno sobre \(V\) é uma forma \(\sigma\)-hermitiana que satisfaz a propriedade de positividade; ou seja, \[
Q(v)=B(v,v)\geq 0\quad\mbox{para todo}\quad v\in V
\] e \(Q(v)=0\) se e somente se \(v=0\). Neste caso dizemos que \(V\) é um espaço com produto interno. A forma \(B(-,-)\) é frquentamente escrita como \(\langle -,-\rangle\). Se \(V\) é espaço com produto interno e \(v\in V\), então \(Q(v)\geq 0\) e definimos \[
\|v\|=\sqrt{Q(v)}=\sqrt{\langle v,v\rangle}\in \R.
\] O número \(\|v\|\) é chamado norma de \(v\). Temos que \(\|v\|\geq 0\) e \(\|v\|=0\) se e somente se \(v=0\).
Lema 77.2 Uma forma \(B\) que define produto interno é não degenerada. Além disso, se \(\dim V=n\) for finita, então \((V,B)\) é isométrico ao espaço \(\R^{0+n}\) ou \(\C^{0+n}\).
Comprovação. Se \(v\in\mbox{Rad}(B)\), então \(v\perp v\) e \(Q(v,v)=B(v,v)=0\). Logo, \(v=0\) e \(B\) é não degenerada.
Sabe-se do resultado anterior que quando \(\dim V=n\) finita, então \((V,B)\) é isométrica ao espaço \(\R^{p+q}\) ou \(\C^{p+q}\) com \(p+q=n\). Se \(p\geq 1\), então \(B(b_1,b_1)=-1\), que não é possível pela positividade da forma.
Note que a notação \(\langle u,v\rangle\) foi usada anteriormente para o espaço gerado por \(u\) e \(v\). A partir deste ponto, este espaço será denotado por \(\mbox{span}\langle u,v\rangle\).
Corolário 77.1 Assuma que \(V\) é espaço com produto interno e \(f:V\to V\) é autoadjunto.
- Os autovalores de \(v\) são números reais.
- Se \(v_1\) e \(v_2\) são autovetores de \(f\) com autovalores distintos, então \(v_1\perp v_2\).
Comprovação.
Se \(v\) é uma autovetor não nulo de \(f\) com autovalor \(\lambda\), então \(v\) não é isotrópico (pela positividade do produto interno) e temos pelo lema anterior que \(\lambda\in\mbox{Fix}(\sigma)=\R\).
Sejam \(v_1\) e \(v_2\) autovetores de \(f\) com autovalores distintos \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), respetivamente. Temos pelo item 1. que \(\lambda_1,\lambda_2\in\R\) e \(\lambda_1\neq \lambda_2^\sigma=\lambda_2\). O lema acima implica que \(v_1\perp v_2\).
Diagonalização de operadores autoadjuntos
Corolário 77.2 Seja \(A\in M_{n\times n}(\C)\) tal que \(A^t=\overline A\) (a transposta é igual à conjugada complexa). Então os autovalores de \(A\) são números reais. Em particular, se \(A\in M_{n\times n}(\R)\) tal que \(A^t = A\) e \(\lambda\in\C\) é autovalor de \(A\), então \(\lambda\in \R\).
Comprovação. Considere \(A\) como a matriz de uma transformação linear \(f_A:\C^n\to \C^n\) em uma base ortonormal em relação ao produto interno usual de \(\C^n\). A matriz de \(f_A^*\) é \(\overline A^t=A\) e assim \(f_A^*=f_A\); ou seja \(f_A\) é autoadjunta. Pelo resultado anterior os autovalores de \(f_A\) (que são os mesmos que os autovalores de \(A\)) são números reais. A segunda afirmação segue da primeira, observando que se \(A\in M_{n\times n}(\R)\), então \(\overline A=A\).
Teorema 77.1 (O Teorema de Diagonalização para Operadores Autoadjuntos) Seja \(V\) um espaço com produto interno e assuma que \(\dim V=n\) é finita e seja \(f:V\to V\) um operador autoadjunto. Então os autovalores de \(f\) são números reais e \(V\) possui uma base \(B\) ortonormal formada por autovetores de \(f\). Em particular, \(f\) é diagonalizável e \([f]_B^B=D\) é diagonal.
Comprovação. Usamos indução por \(\dim V\). Seja \(\F=\R\) ou \(\F=\C\) o corpo para o espaço \(V\). Quando \(\dim V=1\), então \((V,\langle-,-\rangle)\) é isométrico ao espaço \(\F^{0+1}\) e existe uma base \(\{b_1\}\) tal que \(\langle b_1,b_1\rangle=1\). Como \(\dim V=1\), \(b_1\) é autovetor de \(f\) e a base \(\{b_1\}\) é ortonormal formada por autovetores de \(f\).
Assuma que o teorema está verdadeiro para espaços de dimensão menor que \(n\) e assuma que \(\dim V=n\). Seja inicialmente \(X\) uma base ortonormal de \(V\) qualquer (existe por resultado anterior). A matriz \(A\) de \(f\) nesta base \(X\) satisfaz \(X^t=\overline X\) (ou \(X^t=X\) quando \(\F=\R\)). Por resultado anterior \(A\) e \(f\) possuem autovalor \(\lambda\in \R\). Seja \(b_1'\) um autovetor para autovalor \(\lambda\). Ponha \(\alpha_1=\langle b_1',b_1'\rangle\) e note que a positividade do produto interno implica que \(\alpha_1\in \R\) e \(\alpha_1 > 0\). Pondo \(b_1=(\alpha_1)^{-1/2}b_1'\) obtemos que \(\langle b_1,b_1\rangle =1\).
Considere \(U=\mbox{span}\{b_1\}\). Então \(\dim U^\perp=n-1\), \(U^{\perp}\cap U=0\) e \(V=U\perp U^\perp\). Além disso, \(U\) sendo \(f\)-invariante, \(U^\perp\) é invariante por \(f^*=f\). Por hipótese de indução, \(U^\perp\) possui uma base ortonormal \(\{b_2,\ldots,b_n\}\) que composta de autovetores de \(f\). Ora, \(\{b_1,\ldots,b_n\}\) é base ortonormal de \(V\) composta de autovetores de \(f\).
Diagonalização de matrizes simétricas e hermitianas.
Definição 77.3 Para uma matriz \(A\in M_{n\times n}(\C)\), denotamos \(A^*=\overline A^t\) (conjugada transposta).
- Uma matrix \(A\in M_{n\times n}(\F)\) (\(\F\) é corpo qualquer) é chamada simétrica se \(A=A^t\).
- Uma matrix \(A\in M_{n\times n}(\C)\) é chamada hermitiana se \(A=A^*\).
- Uma matriz \(A\in M_{n\times n}(\R)\) é chamada ortogonal se as colunas de \(A\) são ortonormais.
- Uma matriz \(A\in M_{n\times n}(\C)\) é chamada de unitária as colunas de \(A\) são ortonormais (no produto interno de \(\C^n\)).
Exercício 77.1 Mostre que
- \(A\) é ortogonal se e somente se \(A^tA=I\) e \(A^{-1}=A^t\);
- \(A\) é unitária se e somente se \(A^*A=I\) e \(A^{-1}=A^*\).
Corolário 77.3
- Seja \(A\in M_{n\times n}(\R)\) uma matriz simétrica. Existe uma matriz ortogonal \(P\) tal que \(P^tAP\) é diagonal.
- \(A\in M_{n\times n}(\C)\) uma matriz hermitiana. Existe uma matriz unitária \(P\) tal que \(P^*AP\) é diagonal.
Comprovação. Nos dois casos, considere a transformação \(f_A:\F^n\to \F^n\), \(f_A(v)=A\cdot v\). A transformação \(f_A\) é autoadjunta em relação ao produto interno em \(\F^n\). Além disso, a matriz de \(f_A\) na base canônica é a própria \(A\). Pelo teorema anterior, \(f_A\) é diaganalizável. Mais precisamente, existe uma base ortonormal \(B\) tal que \([f_A]_B^B\) é diagonal \(D\). Seja \(P\) a matriz que tem os elementos de \(B\) nas suas colunas. Temos que \[
D=[f]_B^B=P^{-1}AP=P^*AP
\] pois \(P^{-1}=P^*\) pelo exercício anterior. Quando \(P\in M_{n\times n}(\R)\), então \(P^*=P^t\).
Exemplo 77.1 O teorema anterior não é válido para matrizes simétricas sobre \(\C\). Considere por exemplo \[
A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1\end{pmatrix}
\] O polinômio caraterístico de \(A\) é \(t^2\) e \(0\) é o único autovalor de \(A\). Mas como \(A\) não é a transformação nula, não existe base de \(\C^2\) formada por autovetores de \(A\).
Operadores normais
No resto da página, \(\F=\R\) ou \(\F=\C\) e \(V\) é um \(\F\)-espaço com produto interno \(\langle -,-\rangle\). Alguns resultados são válidos para espaços vetoriais sobre corpos arbitrários com formas \(\sigma\)-hermitianas, mas nós vamos trabalhar com as suposições da frase anterior.
Definição 77.4 Um operador \(f:V\to V\) é dito normal se existe \(f^*\) e \(ff^*=f^*f\). Ou seja, um operador é normal se e somente se existe o adjunto e ele comuta com seu adjunto.
Lema 77.3 Seja \(f:V\to V\) um operador.
- Se \(f\) é autoadjunto, então \(f\) é normal.
- Se \(\dim V\) é finita e \(f\) é diagonalizável por uma base ortonormal, então \(f\) é normal.
Comprovação. A primeira afirmação é óbvia, pois \(f\) e \(f\) claramente comutam. Para a segunda afirmação, assuma que existe uma base ortonormal \(\{b_1,\ldots,b_n\}\) de \(V\) composta de autovetores de \(f\). A matriz de \(f\) nesta base é uma matriz diagonal \(D\) com os autovalores \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) no diagonal principal. Na mesma base, a matriz \(\overline D\) de \(f^*\) é diagonal com \(\overline \lambda_1,\ldots,\overline \lambda_n\) no diagonal principal. Como as matrizes diagonais \(D\) e \(\overline D\) comutam, temos que \(f\) também comuta com \(f^*\).
Exemplo 77.2 Um operador normal não precisa ser autoadjunto. Considere por exemplo o operador \(R_\alpha:\R^2\to \R^2\) que é a rotação por \(\alpha\) graus. A matriz deste operador na base canônica (que é ortonormal) é \[
\begin{pmatrix}
\cos\alpha &-\mbox{sen}\,\alpha\\ \mbox{sen}\,\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.
\] A matriz da adjunta de \(R_\alpha\) na mesma base é \[
\begin{pmatrix}
\cos\alpha &\mbox{sen}\,\alpha\\ -\mbox{sen}\,\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix};
\] ou seja, \((R_\alpha)^*=R_{-\alpha}\). Como rotações do plano comutam, \(R_\alpha\) comuta com \(R_\alpha^*=R_{-\alpha}\) e \(R_\alpha\) é normal. Por outro lado se \(\alpha\) não é múltipo de \(180\) graus, \(R_\alpha\neq R_{-\alpha}\) e neste caso \(R_\alpha\) não é autoadjunto.
Diagonalização de operadores normais
Lema 77.4 Assuma que \(f:V\to V\) é normal.
- \(\|f(v)\|=\|f^*(v)\|\) para todo \(v\in V\).
- Se \(v\) é autovetor de \(f\) com autovalor \(\lambda\), então o mesmo \(v\) é autovetor de \(f^*\) com autovalor \(\overline\lambda\).
- Se \(v_1\) e \(v_2\) são autovetores de \(f\) com autovalores \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\) distintos, então \(v_1\perp v_2\).
Comprovação.
Seja \(v\in V\). Então \[\begin{align*}
\|f(v)\|^2&=\langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,f^*(f(v))\rangle=\overline{\langle f(f^*(v),v\rangle}\\&=\overline{\langle f^*(v),f^*(v)\rangle}\\&=\overline{\| f^*(v)\|^2}=\|f^*(v)\|^2.
\end{align*}\]
Assuma que \(f(v)=\lambda v\); ou seja \((f-\lambda\mbox{id})(v)=0\). Obtemos que \(\|(f-\lambda\mbox{id})(v)\|=0\). Pelo item anterior, \(\|(f-\lambda\mbox{id})^*(v)\|=0\). Então \((f-\lambda\mbox{id})^*(v)=0\); ou seja, \(f^*(v)=\overline \lambda v\).
Temos que \[
\alpha_1\langle v_1,v_2\rangle =\langle f(v_1),v_2\rangle=\langle v_1,f^*(v_2)\rangle = \alpha_2 \langle v_1,v_2\rangle.
\] Logo \((\alpha_1-\alpha_2)\langle v_1,v_2\rangle=0\) e obtemos que \(\langle v_1,v_2\rangle=0\).
Teorema 77.2 Seja \(V\) um \(\C\)-espaço de dimensão finita e \(f:V\to V\) um operador. Existe uma base ortonormal formada por autovetores de \(V\) se e somente se \(f\) é um operador normal.
Comprovação. Já vimos que quando existe uma base ortonormal formada por autovetores de \(f\), então \(f\) é normal.
A outra direção será demonstrada por indução na dimensão de \(V\). Quando \(\dim V=1\), então escolhe qualquer vetor não nulo \(v\in V\setminus\{0\}\) e tome \(\|v\|^{-1}v\) para base ortonormal formada por autovetores de \(f\). Assuma que o resultado vale para espaços de dimensão \(n-1\) e assuma que \(\dim V=n\). Como o corpo é \(\C\), \(f\) possui autovalor \(\lambda\) e seja \(v\in V\) um autovetor não nulo. Seja \(b_1=\|v\|^{-1}v\) um vetor unitário. Considere \(U=\langle v\rangle\) e \(W=U^\perp\). Note que \(U\) é \(f\)-invariente. Mas \(U\) também é \(f^*\)-invariante, pois \(b_1\) é autovetor de \(f^*\) com autovalor \(\overline \lambda\). Assim, um resultado anterior implica que \(W\) é \(f\)-invariante (pois \(f=(f^*)^*\)). As restrições de \(f\) e \(f^*\) para \(W\) claramente comutam e \((f|_W)^*=(f^*)|_W\). Logo, a hipótese da indução é válida para \(f|_W\) e \(W\) e \(W\) possui uma base \(\{b_2,\ldots,b_n\}\) ortonormal formada por autovetores de \(f\). Ora, \(\{b_1,\ldots,b_n\}\) é a base procurada.
Exemplo 77.3 Seja \(f:\C^2\to \C^2\) o operador com matriz \[
A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1\end{pmatrix}
\] na base canônica. Note que a matriz de \(f^*\) é \[
A^*=\begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1\end{pmatrix}
\] e \(f\) não é autoadjunto. Mas \[
AA^*=A^*A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}
\] e \(f\) é normal. Note que os autovalores de \(f\) são raízes do polinômio caraterístico \(t^2-2t+2\) que são \(1\pm i\). Os autovetores ortonormais correspondentes são \((1/\sqrt{2})(1,1)\) e \((1/\sqrt{2})(1,-1)\). Logo pondo \[
P=\frac 1{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}
\] temos que \[
P^*AP=\begin{pmatrix} 1+i & 0 \\ 0 & 1-i\end{pmatrix}
\]