9  Lista de Exercícios

Em Exercício 9.19.5, \[\begin{align*} A&=\{1,2,3,4,5\};\\ B&=\{4,6,8\};\\ C&=\{1,3,5,7\}. \end{align*}\]

Exercício 9.1 Seja \(f:A\to B\), definida por \[ 1\mapsto 4,\ 2\mapsto 6,\ 3\mapsto 8,\ 4\mapsto 8,\ 5\mapsto 6. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(f\)?
    1. \(f\) é injetiva;
    2. \(f\) é sobrejetiva;
    3. \(f\) é bijetiva.
  2. Decida se \(f\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.2 Seja \(g:B\to C\) definida por \[ 4\mapsto 1,\ 6\mapsto 5,\ 8\mapsto 7. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(g\)?
    1. \(g\) é injetiva;
    2. \(g\) é sobrejetiva;
    3. \(g\) é bijetiva.
  2. Decida se \(g\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.3 Considere a função \(h=g\circ f:A\to C\).

  1. Calcule \(h(a)\) para todo \(a\in A\).
  2. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(h\)?
    1. \(h\) é injetiva;
    2. \(h\) é sobrejetiva;
    3. \(h\) é bijetiva.
  3. Decida se \(h\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.4 Qual é o número de funções diferentes com domínio \(A\) e codomínio \(B\)? Quantas destas são injetivas e quantas são sobrejetivas? Responde as mesmas perguntas para funções com domínio \(B\) e codomíonio \(C\).

Exercício 9.5 Seja \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) definida com \(f(x)=x^2\).

  1. Restrinja o codomínio de \(f\), sem mudar o seu domínio, tal que a nova função seja sobrejetiva.
  2. Considere a função \(\tilde f\) obtida no item 1. Decida se \(\tilde f\) tem inversa à esquerda ou à direita. Construa a inversa caso ela existir.
  3. Ache um conjunto \(C\subseteq \mathbb R\) (maior possível) tal que a restrição \(\tilde f|_C\) é invertível. Determine a inversa de \(\tilde f|_C\) explicitamente.

Exercício 9.6 Considere a matriz \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] e seja \(F:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) a função \[ F\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(F\)?
    1. \(F\) é injetiva;
    2. \(F\) é sobrejetiva;
    3. \(F\) é bijetiva.
  2. Decida se \(F\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.7 Considere a matriz \[ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] e seja \(G:\mathbb R^3\to \mathbb R^2\) a função \[ G\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix} =B\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix}. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(G\)?
    1. \(G\) é injetiva;
    2. \(G\) é sobrejetiva;
    3. \(G\) é bijetiva.
  2. Decida se \(G\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.8 Sejam \(f:A\to B\) e \(g:B\to C\) funções. Decide quais das seguintes afirmações são verdadeiras. Se uma afirmação for verdadeira, dê uma prova; caso contrário, exiba um contra-exemplo.

  1. Se \(f\) e \(g\) são injetivas, então \(g\circ f\) é injetiva.
  2. Se \(f\) e \(g\) são sobrejetivas, então \(g\circ f\) é sobrejetiva.
  3. Se \(f\) e \(g\) são bijetivas, então \(g\circ f\) é bijetiva.
  4. Se \(g\) é sobrejetiva, então \(g\circ f\) é sobrejetiva.
  5. Se \(f\) é injetiva, então \(g\circ f\) é injetiva.

Exercício 9.9 Seja \(\mathbb R_{\geq 0}=\{x\in\mathbb R\mid x\geq 0\}\) e seja \(f:\mathbb R\to \mathbb R_{\geq 0}, f(x)=x^2\) e \(g:\mathbb R_{\geq 0}\to \mathbb R\), \(g(x)=\sqrt x\). Mostre que

  1. \(g\) é inversa à direita de \(f\);
  2. \(g\) não é inversa de \(f\).

Exercício 9.10 Seja \(f:\mathbb R\to \mathbb R, f(x)=\exp(x)(=e^x)\). Decida se \(f\) possui inversa à esquerda ou à direita e contstrua a inversa quando existir.

Exercício 9.11 Seja \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\). Determine os seguintes conjuntos:

  1. \(f([-1,1])\);
  2. \(f([0,1])\);
  3. \(f^{-1}(\{1\})\);
  4. \(f^{-1}(\{0\})\);
  5. \(f^{-1}(\{-1\})\);
  6. \(f^{-1}([-1,0])\);

Exercício 9.12 Seja \(f:A\to B\) uma função. Mostre que \[ \mathcal P_f=\{f^{-1}(\{b\})\mid b\in\mbox{Im}(f)\} \] é uma partição de \(A\).

Exercício 9.13 Determine a partição \(\mathcal P_f\) para a função \(f:\mathbb R^2\to \mathbb R\), \(f(x,y)=x-y\).

Exercício 9.14 Seja \(f:A\to B\) uma função, sejam \(X_1,X_2\subseteq A\) e \(Y_1,Y_2\subseteq B\). Demonstre que

  1. \(f(X_1\cup X_2)=f(X_1)\cup f(X_2)\);
  2. \(f(X_1\cap X_2)\subseteq f(X_1)\cap f(X_2)\);
  3. \(f^{-1}(Y_1\cup Y_2)=f^{-1}(Y_1)\cup f^{-1}(Y_2)\);
  4. \(f^{-1}(Y_1\cap Y_2)= f^{-1}(Y_1)\cap f^{-1}(Y_2)\).

Dê exemplo explícito de uma função \(f:A\to B\) e subconjuntos \(X_1,X_2\subseteq A\) tais que \(f(X_1\cap X_2)\neq f(X_1)\cap f(X_2)\) mostrando que em geral igualdade não vale no item 2. do exercício anterior.