Nos seguintes exercícios, \[\begin{align*}
A&=\{1,2,3,4,5\};\\
B&=\{4,6,8\};\\
C&=\{1,3,5,7\}.
\end{align*}\]
Exercício 9.1 Seja \(f:A\to B\), definida por \[
1\mapsto 4,\ 2\mapsto 6,\ 3\mapsto 8,\ 4\mapsto 8,\ 5\mapsto 6.
\]
- Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(f\)?
- \(f\) é injetiva;
- \(f\) é sobrejetiva;
- \(f\) é bijetiva.
- Decida se \(f\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.
Exercício 9.2 Seja \(g:B\to C\) definida por \[
4\mapsto 1,\ 6\mapsto 5,\ 8\mapsto 7.
\]
- Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(g\)?
- \(g\) é injetiva;
- \(g\) é sobrejetiva;
- \(g\) é bijetiva.
- Decida se \(g\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.
Exercício 9.3 Considere a função \(h=g\circ f:A\to C\).
- Calcule \(h(a)\) para todo \(a\in A\).
- Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(h\)?
- \(h\) é injetiva;
- \(h\) é sobrejetiva;
- \(h\) é bijetiva.
- Decida se \(h\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.
Exercício 9.4 Qual é o número de funções diferentes com domínio \(A\) e codomínio \(B\)? Quantas destas são injetivas e quantas são sobrejetivas? Responde as mesmas perguntas para funções com domínio \(B\) e codomíonio \(C\).
Exercício 9.5 Seja \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) definida com \(f(x)=x^2\).
- Restrinja o codomínio de \(f\), sem mudar o seu domínio, tal que a nova função seja sobrejetiva.
- Considere a função \(\tilde f\) obtida no item 1. Decida se \(\tilde f\) tem inversa à esquerda ou à direita. Construa a inversa caso ela existir.
- Ache um conjunto \(C\subseteq \mathbb R\) (maior possível) tal que a restrição \(\tilde f|_C\) é invertível. Determine a inversa de \(\tilde f|_C\) explicitamente.
Exercício 9.6 Considere a matriz \[
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\] e seja \(F:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) a função \[
F\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}.
\]
- Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(F\)?
- \(F\) é injetiva;
- \(F\) é sobrejetiva;
- \(F\) é bijetiva.
- Decida se \(F\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.
Exercício 9.7 Considere a matriz \[
B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\] e seja \(G:\mathbb R^3\to \mathbb R^2\) a função \[
G\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix} =B\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix}.
\]
- Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(G\)?
- \(G\) é injetiva;
- \(G\) é sobrejetiva;
- \(G\) é bijetiva.
- Decida se \(G\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.
Exercício 9.8 Sejam \(f:A\to B\) e \(g:B\to C\) funções. Decide quais das seguintes afirmações são verdadeiras. Se uma afirmação for verdadeira, dê uma prova; caso contrário, exiba um contra-exemplo.
- Se \(f\) e \(g\) são injetivas, então \(g\circ f\) é injetiva.
- Se \(f\) e \(g\) são sobrejetivas, então \(g\circ f\) é sobrejetiva.
- Se \(f\) e \(g\) são bijetivas, então \(g\circ f\) é bijetiva.
- Se \(g\) é sobrejetiva, então \(g\circ f\) é sobrejetiva.
- Se \(f\) é injetiva, então \(g\circ f\) é injetiva.