9  Lista de Exercícios

Nos seguintes exercícios, \[\begin{align*} A&=\{1,2,3,4,5\};\\ B&=\{4,6,8\};\\ C&=\{1,3,5,7\}. \end{align*}\]

Exercício 9.1 Seja \(f:A\to B\), definida por \[ 1\mapsto 4,\ 2\mapsto 6,\ 3\mapsto 8,\ 4\mapsto 8,\ 5\mapsto 6. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(f\)?
    1. \(f\) é injetiva;
    2. \(f\) é sobrejetiva;
    3. \(f\) é bijetiva.
  2. Decida se \(f\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.2 Seja \(g:B\to C\) definida por \[ 4\mapsto 1,\ 6\mapsto 5,\ 8\mapsto 7. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(g\)?
    1. \(g\) é injetiva;
    2. \(g\) é sobrejetiva;
    3. \(g\) é bijetiva.
  2. Decida se \(g\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.3 Considere a função \(h=g\circ f:A\to C\).

  1. Calcule \(h(a)\) para todo \(a\in A\).
  2. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(h\)?
    1. \(h\) é injetiva;
    2. \(h\) é sobrejetiva;
    3. \(h\) é bijetiva.
  3. Decida se \(h\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.4 Qual é o número de funções diferentes com domínio \(A\) e codomínio \(B\)? Quantas destas são injetivas e quantas são sobrejetivas? Responde as mesmas perguntas para funções com domínio \(B\) e codomíonio \(C\).

Exercício 9.5 Seja \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) definida com \(f(x)=x^2\).

  1. Restrinja o codomínio de \(f\), sem mudar o seu domínio, tal que a nova função seja sobrejetiva.
  2. Considere a função \(\tilde f\) obtida no item 1. Decida se \(\tilde f\) tem inversa à esquerda ou à direita. Construa a inversa caso ela existir.
  3. Ache um conjunto \(C\subseteq \mathbb R\) (maior possível) tal que a restrição \(\tilde f|_C\) é invertível. Determine a inversa de \(\tilde f|_C\) explicitamente.

Exercício 9.6 Considere a matriz \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] e seja \(F:\mathbb R^2\to \mathbb R^3\) a função \[ F\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(F\)?
    1. \(F\) é injetiva;
    2. \(F\) é sobrejetiva;
    3. \(F\) é bijetiva.
  2. Decida se \(F\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.7 Considere a matriz \[ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] e seja \(G:\mathbb R^3\to \mathbb R^2\) a função \[ G\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix} =B\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\end{pmatrix}. \]

  1. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras para \(G\)?
    1. \(G\) é injetiva;
    2. \(G\) é sobrejetiva;
    3. \(G\) é bijetiva.
  2. Decida se \(G\) possui inversa à direita ou inversa à esquerda. Construa a inversa caso ela existe.

Exercício 9.8 Sejam \(f:A\to B\) e \(g:B\to C\) funções. Decide quais das seguintes afirmações são verdadeiras. Se uma afirmação for verdadeira, dê uma prova; caso contrário, exiba um contra-exemplo.

  1. Se \(f\) e \(g\) são injetivas, então \(g\circ f\) é injetiva.
  2. Se \(f\) e \(g\) são sobrejetivas, então \(g\circ f\) é sobrejetiva.
  3. Se \(f\) e \(g\) são bijetivas, então \(g\circ f\) é bijetiva.
  4. Se \(g\) é sobrejetiva, então \(g\circ f\) é sobrejetiva.
  5. Se \(f\) é injetiva, então \(g\circ f\) é injetiva.