Definição 49.1 Seja \(R\) um domínio e seja \(a\in R\) tal que \(a\neq 0\) e \(a\) não é invertível (em \(R\)). O elemento \(a\) é dito redutível se existem \(b,c\in R\) tal que \(a=bc\) e nem \(b\) nem \(c\) é invertível. Caso contrário, o elemento \(a\) é dito irredutível. O elemento \(0\in R\) e os elementos invertíveis de \(R\) não são nem redutíveis nem irredutíveis
Exemplo 49.1 Seja \(R=\Z\). Neste caso os invertíveis de \(\Z\) são \(1\) e \(-1\) e um elemento \(a\in \Z\) é irredutível se e somente se \(a\) não pode ser escrito como \(a=bc\) com \(b,c\not\in\{1,-1\}\). Ou seja, os elemento irredutíveis de \(\Z\) são os inteiros primos, enquanto os redutíveis são os compostos
Exercício 49.1 Seja \(a\in R\) e seja \(u\in R\) invertível. Mostre que \(a\) é irredutível se e somente se \(ua\) é irredutível
Lema 49.1 As seguintes afirmações são verdadeiras para um polinômio \(f(x)\in\F[x]\) onde \(\F\) é um corpo.
- Seja \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\). Temos que \(f(x)\) é irredutível se e somente se \(\alpha f(x)\) é irredutível.
- Se \(\grau{f(x)}=1\) então \(f(x)\) é irredutível.
- Se \(\grau{f(x)} > 1\) e \(f(x)\) possui raiz em \(\F\) então \(f(x)\) é redutível.
- Se \(\grau{f(x)} \in\{2,3\}\) então \(f(x)\) é redutível se e somente se \(f(x)\) possui raiz em \(\F\).
Comprovação.
Segue do exercício anterior notando que \(\alpha\) é invertível em \(\F[x]\).
Assuma que \(f(x)\in\F[x]\) do primeiro grau e escreva \(f(x)=g(x)h(x)\) com \(g(x),h(x)\in\F[x]\). Temos pelas propriedades do grau que \[
1=\grau{f(x)}=\grau{g(x)h(x)}=\grau{g(x)}+\grau{h(x)}
\] e assim \(\grau{g(x)}=0\) ou \(\grau{h(x)}=0\). Logo um dos polinômios de \(g(x)\) ou \(h(x)\) é escalar não nulo. Como tais polinômios de \(\F[x]\) são invertíveis, temos que \(f(x)\) é irredutível.
Se \(\grau{f(x)} > 1\) e \(\alpha\in\F\) é raiz de \(f(x)\), então \(x-\alpha\mid f(x)\) e \(f(x)=(x-\alpha)g(x)\) com \(g(x)\in\F[x]\). Ademais, \(\grau{g(x)}=\grau{f(x)}-1\geq 1\) e assim \(f(x)\) pode ser fatorado como um produto de dois polinômios em tal forma que nenhum dos fatores é invertível. Portanto \(f(x)\) é redutível.
Assuma que \(\grau{f(x)}\in\{2,3\}\). Se \(f(x)\) possui raiz, então ele é redutível pelo tericeiro item. Vice versa, se \(f(x)\) é redutível, então \(f(x)=g(x)h(x)\). Considerando que \(f(x)\) tem grau dois ou três, temos que ou \(g(x)\) ou \(h(x)\) tem grau \(1\). Assim \(f(x)\) é divisível por um polinômio na forma \(\alpha x+\beta\) com \(\alpha\neq 0\) e assim \(-\beta/\alpha\) é raiz de \(f(x)\).
Exercício 49.2 (O Teorema das Raízes Racionais) Seja \(f(x)=\alpha_n x^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\in\Z[x]\) e assuma que \(\alpha/\beta\in\Q\) tal que \(\mdc{\alpha}\beta=1\) é uma raiz de \(f(x)\). Mostre que \(\alpha\mid \alpha_0\) e \(\beta\mid \alpha_n\)
Exemplo 49.2
- Se \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\) e \(\beta\in\F\), então \(\alpha x+\beta\) é um polinômio irredutível.
- No exemplo anterior, precisamos que \(\F\) seja um corpo. Por exemplo \(f(x)=2x+2\in\Z[x]\) é redutível, pois \(f(x)=2(x+1)\) e nenhum fator é invertível em \(\Z[x]\).
- Seja \(f(x)=x^3+x+1\in \Q[x]\) usando o Teorema das Raízes Racionais, vemos que \(f(x)\) não tem raiz em \(\Q\) e assim \(f(x)\) é irredutível em \(\Q[x]\).
- Considerando \(f(x)=x^3+x+1\in\R[x]\) temos que \(f(x)\) possui raiz real (tendo grau ímpar) e assim \(f(x)\) é redutível em \(\R[x]\). O mesmo polinômio também é redutível em \(\C[x]\).
- Seja \(f(x)=x^3+x+\overline 1\in \Z_3[x]\). Claramente, \(\overline 1\in\Z_3\) é raiz de \(f(x)\) e assim \(f(x)\) é redutível em \(\Z_3[x]\).
- Seja \(f(x)=x^4+2x^2+1\in\R[x]\). Então \(f(x)=(x^2+1)^2\) e assim \(f(x)\) é redutível mesmo que \(f(x)\) não possui raíz em \(\R\).
Teorema 49.1
- Um polinômio \(f(x)\in\C[x]\) é irredutível se e somente se \(\grau{f(x)}=1\).
- Um polinômio \(f(x)\in\R[x]\) é irredutível se e somente se \(\grau{f(x)}=1\) ou \(\grau{f(x)}=2\) e \(f(x)\) tem discriminante negativo.
Comprovação.
Seja \(f(x)\in\C[x]\). Se \(\grau{f(x)}=1\) então \(f(x)\) é irredutível pelo lema anterior. Se \(\grau{f(x)}\geq 2\), então \(f(x)\) possui raiz complexa (pelo Teorema Fundamental da Álgebra) e \(f(x)\) é redutível pelo lema anterior.
Seja \(f(x)\in\R[x]\). Se \(\grau{f(x)}=1\), então \(f(x)\) é irredutível pelo lema anterior. Se \(\grau{f(x)}=2\) e o discriminante de \(f(x)\) é negativo, então \(f(x)\) não possui raiz real e \(f(x)\) é irredutível pelo lema anterior. Se \(\grau{f(x)}=2\) e o discriminante de \(f(x)\) é não negativo, então \(f(x)\) possui raiz real e \(f(x)\) é redutível pelo lema anterior. Assuma que \(\grau{f(x)} \geq 3\). Usando um Teorema na semana passada, \(f(x)\) pode ser escrito como um produto \[
f(x)=\alpha\prod_{i=1}^r (x-\alpha_i)\prod_{j=1}^s(x^2+\beta_jx+\gamma_j)
\] onde \(\alpha\in\R\) é o coeficiente líder de \(f(x)\). O fato que \(\grau{f(x)}\geq 3\) implica que o número dos fatores é maior ou igual a dois e assim \(f(x)\) é redutível.
O problema de decidir se um polinômio é redutível ou irredutível em \(\Q[x]\) ou \(\Z_p[x]\) é bem mais complicado como nós também vamos ver nas aulas seguintes.