34 Polinômios irredutíveis e o Teorema da Fatoração

34.1 Polinômios irredutíveis

Definição 34.1 Seja \(R\) um domínio e seja \(a\in R\) tal que \(a\neq 0\) e \(a\) não é invertível (em \(R\)). O elemento \(a\) é dito redutível se existem \(b,c\in R\) tal que \(a=bc\) e nem \(b\) nem \(c\) é invertível. Caso contrário, o elemento \(a\) é dito irredutível. O elemento \(0\in R\) e os elementos invertíveis de \(R\) não são nem redutíveis nem irredutíveis

Exemplo 34.1 Seja \(R=\Z\). Neste caso os invertíveis de \(\Z\) são \(1\) e \(-1\) e um elemento \(a\in \Z\) é irredutível se e somente se \(a\) não pode ser escrito como \(a=bc\) com \(b,c\not\in\{1,-1\}\). Ou seja, os elemento irredutíveis de \(\Z\) são os inteiros primos, enquanto os redutíveis são os compostos

Exercício 34.1 Seja \(a\in R\) e seja \(u\in R\) invertível. Mostre que \(a\) é irredutível se e somente se \(ua\) é irredutível

Lema 34.1 As seguintes afirmações são verdadeiras para um polinômio \(f(x)\in\F[x]\) onde \(\F\) é um corpo.

Seja \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\). Temos que \(f(x)\) é irredutível se e somente se \(\alpha f(x)\) é irredutível.
Se \(\grau{f(x)}=1\) então \(f(x)\) é irredutível.
Se \(\grau{f(x)} > 1\) e \(f(x)\) possui raiz em \(\F\) então \(f(x)\) é redutível.
Se \(\grau{f(x)} \in\{2,3\}\) então \(f(x)\) é redutível se e somente se \(f(x)\) possui raiz em \(\F\).

Comprovação.

Segue do exercício anterior notando que \(\alpha\) é invertível em \(\F[x]\).
Assuma que \(f(x)\in\F[x]\) do primeiro grau e escreva \(f(x)=g(x)h(x)\) com \(g(x),h(x)\in\F[x]\). Temos pelas propriedades do grau que \[ 1=\grau{f(x)}=\grau{g(x)h(x)}=\grau{g(x)}+\grau{h(x)} \] e assim \(\grau{g(x)}=0\) ou \(\grau{h(x)}=0\). Logo um dos polinômios de \(g(x)\) ou \(h(x)\) é escalar não nulo. Como tais polinômios de \(\F[x]\) são invertíveis, temos que \(f(x)\) é irredutível.
Se \(\grau{f(x)} > 1\) e \(\alpha\in\F\) é raiz de \(f(x)\), então \(x-\alpha\mid f(x)\) e \(f(x)=(x-\alpha)g(x)\) com \(g(x)\in\F[x]\). Ademais, \(\grau{g(x)}=\grau{f(x)}-1\geq 1\) e assim \(f(x)\) pode ser fatorado como um produto de dois polinômios em tal forma que nenhum dos fatores é invertível. Portanto \(f(x)\) é redutível.
Assuma que \(\grau{f(x)}\in\{2,3\}\). Se \(f(x)\) possui raiz, então ele é redutível pelo tericeiro item. Vice versa, se \(f(x)\) é redutível, então \(f(x)=g(x)h(x)\). Considerando que \(f(x)\) tem grau dois ou três, temos que ou \(g(x)\) ou \(h(x)\) tem grau \(1\). Assim \(f(x)\) é divisível por um polinômio na forma \(\alpha x+\beta\) com \(\alpha\neq 0\) e assim \(-\beta/\alpha\) é raiz de \(f(x)\).

Exercício 34.2 (O Teorema das Raízes Racionais) Seja \(f(x)=\alpha_n x^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\in\Z[x]\) e assuma que \(\alpha/\beta\in\Q\) tal que \(\mdc{\alpha}\beta=1\) é uma raiz de \(f(x)\). Mostre que \(\alpha\mid \alpha_0\) e \(\beta\mid \alpha_n\)

Exemplo 34.2

Se \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\) e \(\beta\in\F\), então \(\alpha x+\beta\) é um polinômio irredutível.
No exemplo anterior, precisamos que \(\F\) seja um corpo. Por exemplo \(f(x)=2x+2\in\Z[x]\) é redutível, pois \(f(x)=2(x+1)\) e nenhum fator é invertível em \(\Z[x]\).
Seja \(f(x)=x^3+x+1\in \Q[x]\) usando o Teorema das Raízes Racionais, vemos que \(f(x)\) não tem raiz em \(\Q\) e assim \(f(x)\) é irredutível em \(\Q[x]\).
Considerando \(f(x)=x^3+x+1\in\R[x]\) temos que \(f(x)\) possui raiz real (tendo grau ímpar) e assim \(f(x)\) é redutível em \(\R[x]\). O mesmo polinômio também é redutível em \(\C[x]\).
Seja \(f(x)=x^3+x+\overline 1\in \Z_3[x]\). Claramente, \(\overline 1\in\Z_3\) é raiz de \(f(x)\) e assim \(f(x)\) é redutível em \(\Z_3[x]\).
Seja \(f(x)=x^4+2x^2+1\in\R[x]\). Então \(f(x)=(x^2+1)^2\) e assim \(f(x)\) é redutível mesmo que \(f(x)\) não possui raíz em \(\R\).

Teorema 34.1

Um polinômio \(f(x)\in\C[x]\) é irredutível se e somente se \(\grau{f(x)}=1\).
Um polinômio \(f(x)\in\R[x]\) é irredutível se e somente se \(\grau{f(x)}=1\) ou \(\grau{f(x)}=2\) e \(f(x)\) tem discriminante negativo.

Comprovação.

Seja \(f(x)\in\C[x]\). Se \(\grau{f(x)}=1\) então \(f(x)\) é irredutível pelo lema anterior. Se \(\grau{f(x)}\geq 2\), então \(f(x)\) possui raiz complexa (pelo Teorema Fundamental da Álgebra) e \(f(x)\) é redutível pelo lema anterior.
Seja \(f(x)\in\R[x]\). Se \(\grau{f(x)}=1\), então \(f(x)\) é irredutível pelo lema anterior. Se \(\grau{f(x)}=2\) e o discriminante de \(f(x)\) é negativo, então \(f(x)\) não possui raiz real e \(f(x)\) é irredutível pelo lema anterior. Se \(\grau{f(x)}=2\) e o discriminante de \(f(x)\) é não negativo, então \(f(x)\) possui raiz real e \(f(x)\) é redutível pelo lema anterior. Assuma que \(\grau{f(x)} \geq 3\). Usando um Teorema na semana passada, \(f(x)\) pode ser escrito como um produto \[ f(x)=\alpha\prod_{i=1}^r (x-\alpha_i)\prod_{j=1}^s(x^2+\beta_jx+\gamma_j) \] onde \(\alpha\in\R\) é o coeficiente líder de \(f(x)\). O fato que \(\grau{f(x)}\geq 3\) implica que o número dos fatores é maior ou igual a dois e assim \(f(x)\) é redutível.

O problema de decidir se um polinômio é redutível ou irredutível em \(\Q[x]\) ou \(\Z_p[x]\) é bem mais complicado como nós também vamos ver nas aulas seguintes.

34.2 O Teorema de Fatoração para polinômios

Teorema 34.2 Seja \(\F\) um corpo e seja \(f(x)\in\F[x]\) de grau maior ou igual a \(1\). Então \(f(x)\) pode ser escrito na forma \[ f(x)=\alpha q_1(x)\cdots q_k(x) \] onde \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\) e os \(q_i(x)\in\F[x]\) são polinômios irredutíveis e mônicos. Além disso, esta fatoração de \(f(x)\) é única a menos da ordem dos fatores

Primeiro nós provaremos um lema que pode ser considerado como análogo de um resultado que já provamos para números inteiros.

Lema 34.2 Seja \(f(x)\in\F[x]\) um polinômio irredutível e \(g(x),h(x)\in\F[x]\) tal que \(f(x)\mid g(x)h(x)\). Então \(f(x)\mid g(x)\) ou \(f(x)\mid h(x)\)

Comprovação. Assuma que \(f(x)\nmid g(x)\). Precisamos provar que \(f(x)\mid h(x)\). Então \(\mdc{f(x)}{g(x)}=1\) e existem \(u(x),v(x)\in\F[x]\) tais que \[ u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. \] Multiplicando a equação anterior por \(h(x)\) temos que \[ u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x). \] Note que \(f(x)\) divide as duas parcelas no lado esquerdo da última equação, logo \(f(x)\) precisa dividir \(h(x)\) e é isso que precisamos provar

Comprovação. ((O Teorema da Fatoração) Existência: Vamos provar a existência por indução em \(\grau{f(x)}\). Se \(\grau{f(x)}=1\), então \(f(x)\) é irredutível e \[ f(x)=\alpha f_0(x) \] onde \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\) é o coeficiente líder de \(f(x)\) e \(f_0(x)\) é irredutível e mônico.

Assumamos que a afirmação da existência do teorema está válida para polinômios de grau menor ou igual a \(k-1\geq 1\) e seja \(f(x)\) um polinômio de grau \(k\). Se \(f(x)\) é irredutível, então \[ f(x)=\alpha f_0(x) \] onde \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\) é o coeficiente líder de \(f(x)\) é \(f_0(x)\) é irredutível e mônico e \(f(x)\) pode ser fatorado. Se \(f(x)\) não é irredutível, então \(f(x)=f_1(x)f_2(x)\) onde \(f_1(x),f_2(x)\in\F[x]\) e \(\grau{f_i(x)}\geq 1\). Pela hipótese da indução, \[\begin{align*} f_1(x)&=\alpha_1 q_1(x)\cdots q_k(x)\\ f_2(x)&=\alpha_2 q_{k+1}(x)\cdots q_\ell(x) \end{align*}\] onde \(\alpha_1,\alpha_2\in\F[x]\setminus\{0\}\) e os \(q_i(x)\) são mônicos e irredutíveis. Ora, \[ f(x)=f_1(x)f_2(x)=(\alpha_1\alpha_2) q_1(x)\cdots q_k(x)q_{k+1}(x)\cdots q_\ell. \]

Unicidade. Demonstremos agora a unicidade por indução sobre o número minimal de fatores. Assuma que \(f(x)\in\F[x]\) tem apenas um fator; ou seja \(f(x)=\alpha f_0(x)\) onde \(\alpha\in\F\setminus\{0\}\) e \(f_0(x)\) é irredutível e mônico. Então \(f(x)\) também é irreditúvel e qualquer outra fatoração tem também um único fator e tem a forma \(f(x)=\beta f_1(x)\) onde \(f_1(x)\) é mônico e irredutível. Agora \(f_0(x)\mid f_1(x)\) e \(f_1(x)\mid f_0(x)\). Como estes dois são mônicos temos que \(f_0(x)=f_1(x)\). A igualdade \(\alpha=\beta\) segue do fato que os dois são iguais ao coeficiente líder de \(f(x)\).

Assuma que a afirmação da unicidade está válida para polinômios que podem ser escritos com \(k-1\) fatores. Assuma que \[ f(x)=\beta_1q_1(x)\cdots q_k(x)=\beta_2r_1(x)\ldots r_m(x) \] onde \(m\geq k\), \(\beta_1,\beta_2\in\F\setminus\{0\}\) e os \(q_i(x)\) e \(r_j(x)\) são mônicos e irredutíveis. Agora \[ q_1(x)\mid f(x)=\beta_2r_1(x)\ldots r_m(x) \] e pelo lema no início desta página \(q_1(x)\mid r_j(x)\) com algum \(j\). Como \(q_1(x)\) e \(r_j(x)\) são mônicos e irredutíveis segue que \(q_1(x)=r_j(x)\). Assuma sem perder a generalidade que \(q_1(x)=r_1(x)\). Então \[ f(x)=\beta_1q_1(x)q_2(x)\cdots q_k(x)=\beta_2q_1(x)r_2(x)\ldots r_m(x). \] Como \(\F[x]\) é um domínio, a lei cancelativa aplica-se e obtemos que \[ \beta_1q_2(x)\cdots q_k(x)=\beta_2r_2(x)\ldots r_m(x). \] Agora a hipótese de indução implica que \(k=m\) e que os fatores \(q_2(x),\ldots,q_k(x)\) e \(r_2(x),\ldots,r_m(x)\) são os mesmos exceto possivelmente a sua ordem. Portanto os fatores \(q_1(x),\ldots,q_k(x)\) e \(r_1(x),\ldots,r_m(x)\) são os mesmos exceto possivelmente a sua ordem. O fato que \(\beta_1=\beta_2\) segue, pois os dois são iguais ao coeficiente líder de \(f(x)\).

Exemplo 34.3 Seja \(f(x)\in\C[x]\) um polinômio de grau maior ou igual a um. Seja \[ f(x)=\beta_n x^n+\cdots+\beta_1x+\beta_0 \] com \(\beta_n\neq 0\). Então \(f(x)=\beta_n f_0(x)\) onde \(f_0(x)\in\C[x]\) é um polinômio mônico. Pelo teorema demonstrado na semana passada, \[ f_0(x)=\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i) \] onde os \(\alpha_i\) são as raízes de \(f_0(x)\) (e assim também as raízes de \(f(x)\)) contando com multiplicidade. Ora, a fatoração de \(f(x)\) em produto de irredutíveis é \[ f(x)=\beta_n\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i). \]

Exemplo 34.4 Agora, seja \(f(x)\in\R[x]\) um polinômio de grau maior ou igual a um. Seja \[ f(x)=\beta_n x^n+\cdots+\beta_1x+\beta_0 \] com \(\beta_i\in\R\) e \(\beta_n\neq 0\). Como acima, \(f(x)=\beta_n f_0(x)\) onde \(f_0(x)\in\R[x]\) é um polinômio mônico. Pelo teorema demonstrado na semana passada sobre polinômios em \(\R[x]\), \[ f_0(x)=\prod_{i=1}^s(x-\alpha_i)\prod_{j=1}^r(x^2+\gamma_jx+\delta_j) \] onde \(\alpha_i,\gamma_j,\delta_j\in\R\) e \(\gamma_j^2-4\delta_j < 0\) para todo \(j\geq 1\). Os fatores na fatoração na equação anterior podem ser determinados usando as raízes de \(f(x)\). De fato, as raízes de \(f(x)\) (contando com multiplicidade) são \[ \alpha_1,\ldots,\alpha_s,\alpha_{s+1},\overline{\alpha_{s+1}},\ldots,\alpha_{s+r},\overline{\alpha_{s+r}} \] onde \(n=s+2r\) e \(\alpha_i\in\R\) se e somente se \(i\in\{1,\ldots,s\}\). A fatoração de \(f_0(x)\) pode ser escrita como \[ f_0(x)=\prod_{i=1}^s(x-\alpha_i)\prod_{j={s+1}}^{s+r}(x^2-(\alpha_j+\overline{\alpha_j})x+\alpha_j\cdot\overline{\alpha_j}). \] Consequentemente a fatoração de \(f(x)\) é \[ f(x)=\beta_n\prod_{i=1}^s(x-\alpha_i)\prod_{j={s+1}}^{s+r}(x^2-(\alpha_j+\overline{\alpha_j})x+\alpha_j\cdot\overline{\alpha_j}). \]

Exemplo 34.5 No terceiro exemplo considere \[ f(x)=x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1\in\Q[x]. \] Dá para verificar que \(\alpha_1=1\) e \(\alpha_2=-1\) são raízes de \(f(x)\) e assim \(f(x)\) é divisível por \((x-1)(x+1)=x^2-1\). Calculando o quociente, obtemos que \[ f(x)=(x-1)(x+1)(x^3-x+1). \] O Teorema das Raízes Racionais implica que \(x^3-x+1\) não possui raízes em \(\Q\) e (sendo um polinômio de grau \(3\)) é irredutível. Então a fatoração de \(f(x)\) é \[ f(x)=x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1=(x-1)(x+1)(x^3-x+1) \]