Aplicações \(k\)-lineares alternadas
Relembra da definição de aplicações \(k\)-lineares da Definição 62.5.
Definição 63.1 Seja \(f:V^k\to W\) uma aplicação \(k\)-linear. A aplicação \(f\) é dita simétrica se \[\begin{align*}
&f(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_{j-1},v_j,v_{j+1},\ldots,v_n)\\&=f(v_1,\ldots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\ldots,v_{j-1},v_i,v_{j+1},\ldots,v_n)
\end{align*}\] para todo \(i,j\in\{1,\ldots,k\}\) e \(v_m\in V\). A aplicação \(f\) é dita alternada se \[
f(v_1,\ldots,v_n)=0
\] sempre que \(v_i\in V\) e \(v_i=v_j\) com algum \(i\neq j\). Os espaços de aplicações \(k\)-lineares simétricas e alternadas \(V^k\to W\) estão denotados por \(S^k(V,W)\) e \(A^k(V,W)\), respetivamente. Escrevemos também \(S^k(V)=S^k(V,\F)\) e \(A^k(V,\F)=A^k(V)\).
Exemplo 63.1 O produto interno \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) em \(\R^n\) é uma forma simétrica bilinear. O determinante no Exemplo 62.4 de uma matriz pode ser visto como uma aplicação \(n\)-linear \(d:(\F^n)^n\to\F\) é alternada.
Lema 63.1 Seja \(f:V^k\to W\) uma aplicação \(k\)-linear alternada. As seguintes afirmações são válidas:
- \(f(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)=-f(\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots)\)
- Se \(v_1,\ldots,v_k\) são linearmente dependentes, então \(f(v_1,\ldots,v_k)=0\).
Comprovação.
Calculamos que \[\begin{align*}
0&=f(\ldots,v_i+v_j,\ldots,v_i+v_j,\ldots)\\&=f(\ldots,v_i,\ldots,v_i,\ldots)+f(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)\\&+f(\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots)+f(\ldots,v_j,\ldots,v_j,\ldots)\\&=f(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)+f(\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots).
\end{align*}\]
Se os \(v_i\) são L.D., então algum \(v_i\) é combinação linear dos demais vetores no sistema. Assuma que \(v_1\) é combinação linear de \(v_2,\ldots,v_k\). Ou seja, \[
v_1=\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k.
\] Então \[\begin{align*}
&f(v_1,v_2,\ldots,v_k)\\&=
f(\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k,v_2,\ldots,v_k)\\&=
\alpha_2 f(v_2,v_2,\ldots,v_k)+\cdots+\alpha_k f(v_k,v_2,\ldots,v_k)=0.
\end{align*}\]
O sinal de uma permutação
Se \(X\) é um conjunto, uma aplicação \(\sigma:X\to X\) invertível (ou seja, sobrejetiva e injetiva) é chamada de permutação de \(X\). A composição de permutações de \(X\) é uma permutação de \(X\). Uma transposição de \(X\) é uma permutação que troca \(i,j\in X\) distintos e deixa os demais elementos de \(X\) fixados. Quando \(X\) é finito, qualquer permutação de \(X\) pode ser obtida como uma composição de transposições (qualquer configuração de um baralho pode ser atingida trocando duas cartas e repetindo tais trocas). É um fato na teoria das permutações que se \(\sigma:X\to X\) é uma permutação e \[
\sigma=\sigma_1\circ\cdots\circ \sigma_m
\] onde os \(\sigma_i\) são transposições, então a paridade do número \(m\) depende apenas da permuação \(\sigma\). Se a paridade de \(m\) é par, então a permutação \(\sigma\) é par, caso contrário \(\sigma\) é ímpar. Além disso, escrevemos \[
(-1)^\sigma=\left\{\begin{array}{cc}
1 & \mbox{se $\sigma$ for par;}\\ -1 & \mbox{se $\sigma$ for ímpar.}\end{array}\right.
\]
Exemplo 63.2 Considere a seguinte permutação \(\sigma\) do conjunto \(\{1,2,3,4\}\): \[\left [
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1 \end{array}\right].
\] Se \(i,j\in\{1,2,3,4\}\), então denotamos por \((i,j)\) a transposição que troca \(i\) e \(j\) e deixa os demais elementos fixados. Então pode verificar com conta simples que \[
\sigma=(1,4)\circ (1,3)\circ(1,2)=(2,4)\circ(1,2)\circ (1,3)\circ(1,4)\circ(2,4).
\] Ou seja, a mesma permutação \(\sigma\) pode ser escrita como uma composição de \(3\) transposições, mas também como uma composição de \(5\) transposições. Portanto que \((-1)^\sigma=-1\).
Aplicações \(k\)-lineares alternadas
Corolário 63.1 Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) com base \(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\) e \(f:V^k\to W\) uma aplicação \(k\)-linear alternada.
- Se \(v_1,\ldots,v_k\in V\) e \(\sigma\) é uma permutação do conjunto \(\{1,\ldots,k\}\), então \[
f(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})=(-1)^\sigma f(v_1,\ldots,v_k).
\]
- \(f\) está determinada pelos valores \(f(b_{i_1},\ldots,b_{i_k})\) com \(i_1<\cdots<i_k\).
Comprovação.
Se \(\sigma\) é a composição de \(m\) transposições, então a permutação \(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)}\) de vetores pode ser obtida da configuração original \(v_1,\ldots,v_k\) aplicando as \(k\) transposições, cada uma depois a outra. Cada transposição multiplica o valor de \(f\) por \(-1\), logo depois de aplicar \(m\) transposições, o valor original \(f(v_1,\ldots,v_k)\) será multiplicado por \((-1)^m=(-1)^\sigma\).
Por ?exm-bilin-mat, \(f\) está determinado pelos valores \(f(b_{i_1},\ldots,b_{i_k})\) com \(i_j\in\{1,\ldots,n\}\). Pela definição da aplicação \(k\)-linear alternada, se \(i_j=i_l\) com \(j\neq l\), então \(f(b_{i_1},\ldots,b_{i_k})=0\). Logo pode-se dizer que \(f\) está determinado pelos valores \(f(b_{i_1},\ldots,b_{i_k})\) onde os \(i_j\) são distintos. Existe uma única permutação \(\sigma\) de \(\{1,\ldots,k\}\) tal que \(i_{\sigma(1)}< i_{\sigma(2)}< \cdots <i_{\sigma(k)}\). Pelo item 1., temos que \[
(-1)^\sigma f(b_{i_1},\ldots,b_{i_k})=f(b_{i_{\sigma(1)}},\ldots,b_{i_{\sigma(k)}})
\]
Exemplo 63.3 Seja \(V\) um \(\F\)-espaço vetorial de dimensão \(n\). Afirmamos que existe uma transformação \(V^n\to \F\) que seja \(n\)-linear alternada. De fato, o determinante é uma tal transformação, mas precisa de uma pequena modificação. Já foi observado que o determinante pode ser visto como uma transformação \(n\)-linear \((\F^n)^n\to \F\). Seja \(B\) uma base de \(V\). Defina \[
d_B(v_1,\ldots,v_n)=d([v_1]_B,\ldots,[v_n]_B)
\] onde \(d(a_1,\ldots,a_n)\) é o determinante da matriz cujas linhas são \(a_1,\ldots,a_n\). É fácil verificar que \(d_B:V^n\to \F\) é \(n\)-linear e alternada.
Lema 63.2 Seja \(V\) um espaço vetorial com base \(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\) e seja \(W\) um outro espaço sobre o mesmo corpo \(\F\). Seja \[
B^{\{k\}}=\{(b_{i_1},\ldots,b_{i_k})\mid i_1<\cdots<i_k\}.
\] Considerando \(A^k(V,W)\) como um \(\F\)-espaço vetorial, temos que \[
A^k(V,W)\cong\mbox{Func}(B^{\{k\}},W).
\]
Comprovação. Este lema nós não vamos provar, pois a prova é trabalhosa. A ideia é que uma função \(f\in \mbox{Func}(B^{\{k\}},W)\) determina uma aplicação \(k\)-linear \(B_f:V^k\to W\) por Corolário 63.1. A parte não trivial é que esta aplicação é alternada. Depois disso, o fato que a correspondência \(f\mapsto B_f\) é um isomorfismo é relativamente simples.
Vamos provar este resultado no caso particular quando \(k=n=\dim V\) e \(W=\F\), pois é este caso que nós precisamos entender aqui. Considere então \(A^n(V,\F)=A^n(V)\) e observe que \[
B^{\{n\}}=\{(b_1,\ldots,b_n)\}
\] e em particlar \(|B^{\{n\}}|=1\). Se \(B:V^n\to \F\) é uma aplicação \(n\)-linear alternada, então Corolário 63.1 diz que \(B\) está determinada pelo valor \(B(b_1,\ldots,b_n)=\lambda_B\in \F\). Em outras palavras, a aplicação \(A^n(V)\to \mbox{Func}(B^{\{n\}},\F)\) é injetiva e em particular \(\dim A^n(V)\leq 1\). Então precisa verificar apenas que \(\dim A^n(V)\neq 0\); ou seja, existe elemento não nulo em \(A^n(V)\) mas isso segue do fato que o mapa determinante \(d_B:V^n\to \F\) (com uma base \(B\) fixada) no Exemplo 63.3 é um elemento não nulo de \(A^n(V)\).
Exercício 63.1 Determine a dimensão de \(A^k(V,W)\) onde \(\dim V=m\) e \(\dim W=n\). Demonstre em particular que \[
\dim A^k(V,W)=\binom mkn.
\]
Corolário 63.2 Ou seja, para todo \(\alpha\in\F\), existe uma única forma \(n\)-linear \(f:V^n\to \F\) tal que \(f(b_1,\ldots,b_n)=\alpha\). Consequentemente \(\dim A^n(V)=1\).
Corolário 63.3 Existe uma única forma \(n\)-linear \(f:(\F^n)^n\to \F\) tal que \(f(e_1,\ldots,e_n)=1\) onde \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) é a base canônica de \(\F^n\). Se \(a_i=\sum_j a_{i,j} e_j\in V\), então \[
f(a_1,\ldots,a_n)=\sum_{\sigma} (-1)^\sigma a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)}
\] onde a soma está tomada sobre o conjunto das permutações do conjunto \(\{1,\ldots,n\}\). Em outras palávras, \[
f(a_1,\ldots,a_n)=\det A
\] onde \(A\) é a matriz com linhas \(a_1,\ldots,a_n\).
Comprovação. A unicidade da forma no corolário é consequência do Corolário 63.2. Seja \(f:(\F^n)^n\to \F\) a forma \(n\)-linear alternada única tal que \(f(e_1,\ldots,e_n)=1\), onde \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) é a base canônica de \(\F^n\). Para qualquer \(a_i=\sum_{j=1}^n a_{i,j} e_j\), temos que \[
f(a_1,\ldots,a_n) = f\left(\sum_{j=1}^n a_{1,j} e_j, \ldots, \sum_{j=1}^n a_{n,j} e_j\right).
\] Usando a \(n\)-linearidade de \(f\), expandimos: \[
f(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{j_1,\ldots,j_n} a_{1,j_1} \cdots a_{n,j_n} f(e_{j_1},\ldots,e_{j_n}).
\] Como \(f\) é alternada, \(f(e_{j_1},\ldots,e_{j_n}) = 0\) se \(j_1,\ldots,j_n\) não forem todos distintos. Caso contrário, existe uma permutação \(\sigma\) tal que \((j_1,\ldots,j_n) = (\sigma(1),\ldots,\sigma(n))\), e temos: \[
f(e_{j_1},\ldots,e_{j_n}) = (-1)^\sigma f(e_1,\ldots,e_n) = (-1)^\sigma.
\] Portanto, \[
f(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^\sigma a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)},
\] onde \(S_n\) é o conjunto de permutações de \(\{1,\ldots,n\}\). Isso coincide com a definição do determinante da matriz \(A = [a_{i,j}]\), ou seja, \[
f(a_1,\ldots,a_n) = \det A.
\]
O pullback e o determinante de operadores
Vamos definir o conceito de determinante para operadores \(V\to V\) de espaços de dimensão finita independentemente das suas matrizes.
Definição 63.2 Sejam \(U\) e \(V\) espaços vetoriais, seja \(f:U\to V\) uma aplicação linear, e assuma que \(k\geq 1\) fixado. Seja \(L^k(V)\) o espaço das transformações \(k\)-lineares \(V^k\to \F\) e assuma que \(T\in L^k(V)\). Defina \(f^*T\in L^k(U)\) como \[
f^*T\in L^k(U): (u_1,\ldots,u_k)\mapsto T(f(u_1),\ldots,f(u_k)).
\] É fácil verificar que quando \(T\) é uma forma \(k\)-linear, então \(f^*T\) também é uma forma \(k\)-linear. Assim, obtemos uma aplicação \[
f^*:L^k(V)\to L^k(U).
\tag{63.1}\] Esta aplicação chama-se o pullback de \(f\).
Lema 63.3 Se \(T\) é uma forma \(k\)-linear alternada, então \(f^*T\) é também uma forma \(k\)-linear alternada. Portanto a restrição de \(f^*\) definida na equação Equação 63.1 resulta em uma aplicação linear \[
f^*_A:A^k(V)\to A^k(U)
\] para todo \(k\).
Assuma agora que \(f:V\to V\) onde \(V\) é espaço de dimensão \(n\) (finita). Pelo Corolário 63.2, \(A^n(V)\) é um espaço de dimensão \(1\) e ele pode ser identificado com o corpo \(\F\). Além disso, se \(f:V\to V\), então o pullback \[
f^*_A:A^n(V)\to A^n(V)
\] pode ser visto como uma aplicação linear \(\F\to \F\). As aplicações lineares \(\F\to \F\) são dadas por multiplicação escalar com algum elemento de \(\F\). Portanto \(f_A^*\) também pode ser visto como multiplicação por um escalar \(\delta\in\F\) que depende apenas de \(f\).
Definição 63.3 O número \(\delta\) no parágrafo anterior depende apenas da transformação \(f:V\to V\) e chama-se o determinante de \(f\) e será denotado por \(\det f\).
Exercício 63.2 Usando a Definição 63.3, demonstre as propriedades comuns do determinante.
- Se \(f,g: V\to V\), então \(\det (f\circ g)=\det f\cdot \det g\).
- \(\det f\) coincide com o determinante da matriz de \(f\) em uma base de \(V\).
- \(\det f=0\) se e somente se \(f\) não é invertível.