64  Exercícios: Bloco 1

Exercício 64.1 Seja \(\F\) um corpo. Mostre que

  1. O elemento neutro aditivo \(0_\F\) é único.
  2. O elemento neutro multiplicativo \(1_\F\) é único.
  3. Se \(a\in\F\), então o negativo \(-a\) é único.
  4. Se \(a\in\F\setminus\{0_\F\}\), então o inverso \(a^{-1}\) é único.

Apresentamos a solução dos itens 1. e 3. O leitor poderá fazer itens 2. e 4.

  1. O elemento neutro aditivo \(0_\F\) é único. Suponha que existam dois elementos neutros aditivos \(0_\F\) e \(0'_\F\). Então, por definição de elemento neutro aditivo, temos que \(0_\F + 0'_\F = 0'_\F\) e \(0_\F + 0'_\F = 0_\F\). Portanto, \(0_\F = 0'_\F\), mostrando que o elemento neutro aditivo é único.

  2. Se \(a\in\F\), então o negativo \(-a\) é único. Suponha que existam dois negativos de \(a\), denotados por \(-a\) e \(-a'\). Então, usando a definição do negativo e a associatividade, \[ -a = -a+(a+(-a'))=(-a+a)+(-a')=-a'. \]

Exercício 64.2 Seja \(\F\) um corpo. Demonstre as seguintes leis cancelativas.

  1. Se \(a+b=a+c\), então \(b=c\) para todo \(a,b,c\in\F\).
  2. Se \(ab=ac\), então \(b=c\) para todo \(a,b,c\in\F\) com \(a\neq 0_\F\).
  1. Suponha que \(a + b = a + c\). Podemos adicionar o elemento neutro aditivo \(-a\) em ambos os lados da equação: \[ -a + (a + b) = -a + (a + c). \] Pela associatividade da adição, temos: \[ (-a + a) + b = (-a + a) + c. \] Como \(-a + a = 0_\F\), obtemos: \[ 0_\F + b = 0_\F + c. \] E, pela propriedade do elemento neutro aditivo, concluímos que \(b = c\).

  2. Suponha que \(ab = ac\) com \(a \neq 0_\F\). Podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso multiplicativo de \(a\), denotado por \(a^{-1}\): \[ a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac). \] Pela associatividade da multiplicação, temos: \[ (a^{-1}a)b = (a^{-1}a)c. \] Como \(a^{-1}a = 1_\F\), obtemos: \[ 1_\F b = 1_\F c. \] E, pela propriedade do elemento neutro multiplicativo, concluímos que \(b = c\).

Exercício 64.3 Decide quais dos seguintes conjuntos são corpos (com as operações \(+\) e \(\cdot\) usuais). Justifique sua resposta.

  1. \(\Z[i]=\{a+bi\mid a,b\in\Z\}\) (como subconjunto de \(\C\)).
  2. \(\Q[i]=\{a+bi\mid a,b\in\Q\}\) (como subconjunto de \(\C\)).
  3. \(\Z_{10}=\{0,\ldots,9\}\) com as operações mod \(10\).
  4. \[ \left\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\right\} \] considerado como subconjunto de \(M_2(\Z_2)\).
  1. \(\Z[i]\) não é um corpo. Embora \(\Z[i]\) seja fechado sob adição e multiplicação, ele não é fechado sob inversão multiplicativa. Por exemplo, o inverso de \(1 + i\) em \(\C\) é \(\frac{1}{2}(1 - i)\), que não está em \(\Z[i]\).

  2. \(\Q[i]\) é um corpo. \(\Q[i]\) é fechado sob adição, multiplicação e inversão multiplicativa. Para qualquer \(a + bi \in \Q[i]\) com \(a, b \in \Q\) e \(a + bi \neq 0\), o inverso multiplicativo é \[ \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i, \] que também está em \(\Q[i]\).

  3. \(\Z_{10}\) não é um corpo. Embora \(\Z_{10}\) seja fechado sob adição e multiplicação módulo 10, ele não possui inversos multiplicativos para todos os elementos não nulos. Por exemplo, 2 não tem inverso multiplicativo em \(\Z_{10}\).

  4. O conjunto dado é um corpo. Ele contém quatro matrizes \(2 \times 2\) sobre \(\Z_2\) e é fechado sob adição e multiplicação de matrizes. Além disso, cada elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. Por exemplo, o inverso de \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] é ele mesmo, o inverso de \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] é \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] e vice-versa. Portanto, todas as propriedades de um corpo são satisfeitas.

Exercício 64.4 A caraterística de um corpo \(\F\) é definida na seguinte forma. Se não existir um número \(n\geq 1\) tal que \(1+\cdots+1=0\) (tomando \(n\) cópias de \(1\)), então a caraterística de \(\F\) é zero. Se existir tal \(n\), então a caraterística de \(\F\) é o menor tal \(n\). Mostre que a caraterística de um corpo ou é zero ou é um número primo.

Seja \(\F\) um corpo e suponha que a característica de \(\F\) não é zero. Então, existe um número \(n \geq 1\) tal que \(1 + 1 + \cdots + 1 = 0\) (com \(n\) cópias de \(1\)). Seja \(n\) o menor tal número. Vamos mostrar que \(n\) é primo.

Suponha, por contradição, que \(n\) não é primo. Então, existem inteiros \(a, b \geq 2\) tais que \(n = ab\). Considere a soma \[ (1 + 1 + \cdots + 1)(1 + 1 + \cdots + 1) \] onde cada parêntese contém \(a\) e \(b\) cópias de \(1\), respectivamente. Pela associatividade e comutatividade da adição, temos \[ (1 + 1 + \cdots + 1)(1 + 1 + \cdots + 1) = ab = n = 0. \] Portanto, temos \[ (1 + 1 + \cdots + 1) = 0 \quad \text{ou} \quad (1 + 1 + \cdots + 1) = 0, \] onde cada parêntese contém \(a\) ou \(b\) cópias de \(1\), respectivamente. Isso contradiz a minimalidade de \(n\), pois \(a, b < n\).

Portanto, \(n\) deve ser primo. Concluímos que a característica de um corpo ou é zero ou é um número primo.

Exercício 64.5 Seja \(V\) um espaço vetorial sobre um corpo \(\F\).

  1. Mostre que o vetor nulo \(0_V\) é único.
  2. Mostre que o negativo \(-v\) é único para todo \(v\in V\).
  3. Mostre que \(\alpha v=0_V\) se e somente se \(\alpha=0_\F\) ou \(v=0_V\).
  4. Mostre que \((-1_\F)\cdot v=-v\) para todo \(v\in V\).

Exercício 64.6 Seja \(\F\) um corpo, \(n\in\N\), \(X=\{1,\ldots,n\}\), e seja \(\mbox{Func}(X,\F)=\{f:X\to\F\}\) o \(\F\)-espaço vetorial das funções de \(X\) para \(\F\). Para \(i\in X\), defina \[ f_i:X\to \F,\quad f_i(j)=\left\{\begin{array}{ll}1\mbox{ caso $i=j$}\\0\mbox{ caso $i\neq j$} \end{array}\right.\quad \mbox{para todo $j\in X$}. \] Mostre que \(\{f_1,\ldots,f_n\}\) é uma base de \(\mbox{Func}(X,\F)\).

Para mostrar que \(\{f_1, \ldots, f_n\}\) é L.I., considere uma combinação linear arbitrária dos elementos de \(\{f_1, \ldots, f_n\}\) que resulta no vetor nulo: \[ \alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \cdots + \alpha_n f_n = 0, \] onde \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \F\). Para cada \(j \in X\), temos: \[ (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \cdots + \alpha_n f_n)(j) = 0. \] Por definição de \(f_i\), isso se torna: \[ \alpha_1 f_1(j) + \alpha_2 f_2(j) + \cdots + \alpha_n f_n(j) = 0. \] Note que \(f_i(j) = 1\) se \(i = j\) e \(f_i(j) = 0\) se \(i \neq j\). Portanto, para cada \(j \in X\), a equação acima se reduz a: \[ \alpha_j = 0. \] Como isso é válido para todo \(j \in X\), concluímos que \(\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0\). Portanto, \(\{f_1, \ldots, f_n\}\) é L.I.

Para mostrar que \(\{f_1, \ldots, f_n\}\) é um sistema gerador de \(\mbox{Func}(X, \F)\), precisamos mostrar que qualquer função \(f \in \mbox{Func}(X, \F)\) pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de \(\{f_1, \ldots, f_n\}\).

Seja \(f \in \mbox{Func}(X, \F)\). Para cada \(j \in X\), defina \(\alpha_j = f(j)\). Então, podemos escrever \(f\) como: \[ f = \alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \cdots + \alpha_n f_n. \] Para ver isso, considere qualquer \(i \in X\). Então, \[ (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \cdots + \alpha_n f_n)(i) = \alpha_1 f_1(i) + \alpha_2 f_2(i) + \cdots + \alpha_n f_n(i). \] Por definição de \(f_i\), temos \(f_i(i) = 1\) e \(f_i(j) = 0\) para \(j \neq i\). Portanto, a expressão acima se reduz a: \[ \alpha_i f_i(i) = \alpha_i \cdot 1 = \alpha_i. \] Como \(\alpha_i = f(i)\), obtemos: \[ (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \cdots + \alpha_n f_n)(i) = f(i). \] Como isso é válido para todo \(i \in X\), concluímos que: \[ f = \alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \cdots + \alpha_n f_n. \] Portanto, \(\{f_1, \ldots, f_n\}\) é um sistema gerador de \(\mbox{Func}(X, \F)\).

Exercício 64.7 Considere o espaço \(\mbox{Func}(X,\F)\) como no Exercício 64.6, mas agora ponha \(X=\N\). Para todo \(i\in\N\), defina \(f_i\) na mesma forma como no Exercício 64.6 que pode dizer sobre o conjunto \(\{f_1,f_2,f_3,\ldots\}\)? Ele é L.I.? Ele é gerador? Ele é base?

O conjunto \(\{f_1, f_2, f_3, \ldots\}\) é L.I. Para ver isso, considere uma combinação linear finita arbitrária dos elementos de \(\{f_1, f_2, f_3, \ldots\}\) que resulta no vetor nulo: \[ \alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \alpha_3 f_3 + \cdots + \alpha_k f_k = 0, \] onde \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_k \in \F\). Para cada \(j \in \{1, 2, \ldots, k\}\), temos: \[ (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 + \alpha_3 f_3 + \cdots + \alpha_k f_k)(j) = 0. \] Por definição de \(f_i\), isso se torna: \[ \alpha_1 f_1(j) + \alpha_2 f_2(j) + \alpha_3 f_3(j) + \cdots + \alpha_k f_k(j) = 0. \] Note que \(f_i(j) = 1\) se \(i = j\) e \(f_i(j) = 0\) se \(i \neq j\). Portanto, para cada \(j \in \{1, 2, \ldots, k\}\), a equação acima se reduz a: \[ \alpha_j = 0. \] Como isso é válido para todo \(j \in \{1, 2, \ldots, k\}\), concluímos que \(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \cdots = \alpha_k = 0\). Portanto, \(\{f_1, f_2, f_3, \ldots\}\) é L.I.

No entanto, \(\{f_1, f_2, f_3, \ldots\}\) não é um sistema gerador de \(\mbox{Func}(\N, \F)\). Para ver isso, considere uma função \(f \in \mbox{Func}(\N, \F)\) tal que \(f(i) = 1\) para todo \(i \in \N\). Não existe uma combinação linear finita dos elementos de \(\{f_1, f_2, f_3, \ldots\}\) que resulta em \(f\), pois qualquer combinação linear finita de \(f_i\) terá apenas um número finito de entradas não nulas, enquanto \(f\) tem infinitas entradas não nulas.

Portanto, \(\{f_1, f_2, f_3, \ldots\}\) não é uma base de \(\mbox{Func}(\N, \F)\), pois não é um sistema gerador.

Exercício 64.8 Usando o Lema de Zorn, demonstre as seguintes afirmações em um espaço vetorial \(V\) não nulo qualquer.

  1. Se \(X\subseteq V\) é um conjunto L.I., então existe uma base \(\overline X\subseteq V\) tal que \(X\subseteq \overline X\).
  2. Se \(X\subseteq V\) é um conjunto gerador, então existe uma base \(\widetilde X\subseteq V\) tal que \(\widetilde X\subseteq X\).
  1. Seja \(X \subseteq V\) um conjunto L.I. Considere a coleção \(\mathcal{C}\) de todos os conjuntos L.I. em \(V\) que contêm \(X\). Note que \(\mathcal{C}\) é não vazia, pois \(X \in \mathcal{C}\). Ordenamos \(\mathcal{C}\) por inclusão. Seja \(\{Y_i\}_{i \in I}\) uma cadeia em \(\mathcal{C}\). Defina \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\). Usando o argumento na aula, pode-se verificar que \(Y\) é L.I. e contém \(X\). Portanto, \(Y \in \mathcal{C}\), mostrando que toda cadeia em \(\mathcal{C}\) tem uma cota superior em \(\mathcal{C}\). Pelo Lema de Zorn, \(\mathcal{C}\) tem um elemento maximal, denotado por \(\overline{X}\). Mostraremos que \(\overline{X}\) é uma base de \(V\). Suponha, por contradição, que \(\overline{X}\) não é um sistema gerador de \(V\). Então, existe \(v \in V \setminus \overline{X}\) tal que \(\overline{X} \cup \{v\}\) é L.I., contradizendo a maximalidade de \(\overline{X}\). Portanto, \(\overline{X}\) é uma base de \(V\) que contém \(X\).

  2. Seja \(X \subseteq V\) um conjunto gerador. Considere a coleção \(\mathcal{C}\) de todos os subconjuntos de \(X\) que são L.I. Ordenamos \(\mathcal{C}\) por inclusão. O resto do argumento é como no item 1 e deixamos ao leitor.

Exercício 64.9 Considere o conjunto \(X=\{(1,-1,0,0),(0,1,-1,0,),(0,0,1,-1),(1,0,-1,0)\}\subseteq\R^4\).

  1. Mostre que \(X\) não é sistema gerador de \(\R^4\).
  2. Ache todos os subconjuntos L.I. de \(X\).

Exercício 64.10 Se \(\F\) é corpo e \(k\geq 1\), defina \[ \F[x]_k=\{f\in\F[x]\mid \mbox{grau}f\leq k\}. \] Considere \(X=\{1+x+x^2+x^3,1-x+x^2+x^3,1+x-x^2+x^3\}\subseteq \R[x]_3\).

  1. Mostre que \(X\) é L.I.
  2. Ache uma base \(\overline X\) de \(\R[x]_3\) tal que \(X\subseteq \overline X\).

Exercício 64.11 Sejam \(U,W\) subespaços de um espaço vetorial \(V\). Demonstre que \(U\cup W\) é um subespaço de \(V\) se e somente se \(U\subseteq W\) ou \(W\subseteq U\). (Dica: veja a conversa na página de stackexchange.)

(\(\Leftarrow\)): Suponha sem perda de generalidade que \(U \subseteq W\) . Então, \(U \cup W = W\). Como \(W\) é um subespaço de \(V\), \(U \cup W\) é um subespaço de ( V ). O caso \(W \subseteq U\) é análogo.

(\(\Rightarrow\)): Suponhamos que \(U \cup W\) é um subespaço de \(V\) e que tenhamos o caso \(U \not\subseteq W\); afirmamos então que
\(W \subseteq U\). De fato, por nossa suposição existe um vetor \(u \in U \setminus W\). Agora, se \(w\) é um vetor qualquer em \(W\)
temos que \(u+w \in U \cup W\) pois um subespaço é fechado por soma. Daí note que \(u+w\) não pode pertencer a \(W\), pois se não $(u + w) + (-w) = u $ estaria em \(W\) e isso iria contradizer nossa hipótese de que $ U W$. Logo a única opção é que \(u+w\) esteja em \(U\) e como \(u\) já pertence a \(U\) temos que \((u+w) +(-u) = w\) também
percente a \(U\), logo como \(w\) é arbitrário concluímos que \(W \subseteq U\). Analogamente o leitor pode supor o caso em que \(W \not\subseteq U\) e, utilizando o mesmo argumento, provar que \(U\subseteq W\).

(Caio Monteiro)

Exercício 64.12 Seja \(\F\) um corpo de caraterística diferente de 2 e seja \(V=M_n(\F)\) (espaço de matrizes \(n\times n\) sobre \(\F\)). Para \(A\in V\), denotamos a transposta de \(A\) com \(A^t\). Defina \[\begin{align*} U_1&=\{A\in V\mid A^t=A\};\\ U_2&=\{A\in V\mid A^t=-A\}. \end{align*}\] Ou seja, \(U_1\) é o conjunto das matrizes simétricas, enquanto \(U_2\) é o conjunto das matrizes antisimétricas em \(V\).

  1. Mostre que \(V=U_1\oplus U_2\).
  2. Explique a necessidade da condição que a caraterística de \(\F\) é diferente de 2. Dica: Consulte o 57.2

Exercício 64.13 Sejam \(U_1,U_2,\ldots,U_k\) subespaçose de um espaço vetorial \(V\). Mostre que as segunites afirmações são equivalentes:

  1. Todo elemento \(v\in V\) pode ser escrito unicamente como \(v=u_1+\cdots+u_k\) com \(u_i\in U_i\).
  2. \(V=U_1+\cdots+U_k\) e \(U_i\cap (\sum_{j\neq i}U_j)=0\) para todo \(i\in\{1,\ldots,k\}\).

Exercício 64.14 Decide quais dos seguintes conjuntos são subespaços de \(V=\mbox{Func}([0,1],\R)\).

  1. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é limitado}\}\);
  2. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é limitado superiormente}\}\);
  3. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é limitado inferiormente}\}\);
  4. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é diferenciável}\}\);
  5. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é contínua}\}\);
  6. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é crescente}\}\);
  1. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é limitado}\}\) é um subespaço de \(V\). A soma de funções limitadas é limitada, e o produto de uma função limitada por um escalar também é limitado.

  2. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é limitado superiormente}\}\) não é um subespaço de \(V\). Por exemplo se \(f(0)=0\) e f(x)=x$ para \(x\in (0,1)\) então, \(f\) é limitado superiormente, mas \(-f\) não é limitado superiormente.

  3. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é limitado inferiormente}\}\) não é um subespaço de \(V\). O mesmo argumento do item anterior se aplica.

  4. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é diferenciável}\}\) é um subespaço de \(V\). A soma de funções diferenciáveis é diferenciável, e o produto de uma função diferenciável por um escalar também é diferenciável.

  5. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é contínua}\}\) é um subespaço de \(V\). A soma de funções contínuas é contínua, e o produto de uma função contínua por um escalar também é contínua.

  6. \(\{f\in V\mid f\mbox{ é crescente}\}\) não é um subespaço de \(V\), pois a função nula não é cresdente e não pertence ao subespaço.

Exercício 64.15 Defina os seguintes vetores em \(\R^6\): \[\begin{align*} v_1 &=( 1, 1, -1, -1, 0, 0)\\ v_2 &= ( 1, 1, 0, 0, -1, 1)\\ v_3 &= (-1, -1, -1, -1, 0, 0)\\ v_4 &= ( 0, 0, -1, -1, 2, 0)\\ v_5 &= ( 0, 0, 0, 0, 1, 0)\\ v_6 &= ( 0, 0, 0, 0, -1, -1)\\ \end{align*}\] Defina \(U_1=\left<v_1,v_2,v_3\right>\) e \(U_2=\left<v_4,v_5,v_6\right>\).

  1. Determine uma base para \(U_1\cap U_2\).
  2. Estenda a base determinada no primeiro ponto para uma base de \(U_1\) e também para uma base de \(U_2\).
  3. Determina uma base de \(U_1+U_2\).

Exercício 64.16 Ache um complemento para o espaço \(U_1\) em \(V\) no exercício anterior.

Exercício 64.17 Seja \(\F\) um corpo com cardinalidade finita.

  1. Deduza do Exercício 64.4 que a caraterística de \(\F\) é um primo \(p\).
  2. Mostre que \(\F\) é um espaço vetorial sobre o corpo \(\Z_p\).
  3. Deduza que \(\dim \F\) (considerado como \(\Z_p\)-espaço) é finita e ponha \(\dim \F=d\).
  4. Mostre que \(|\F|=p^d\).
  5. Parabens! Você acabou de demonstrar o seguinte teorema: ``Se \(\F\) é um corpo finito, então a cardinalidade de \(\F\) é uma potência de um primo’’. (Dica: página no stackexchange)
  1. Se a característica de um corpo é \(0\) poderíamos somar a unidade \(1\) de \(\mathbb{F}\) quantas vezes quisermos que sempre obteríamos elementos diferentes dentro do corpo, portanto um corpo de característica 0 só pode ser infinito. Por contrapositiva concluímos que um corpo finito deve possuir característica estritamente positiva e, pelo Exercício 64.4, característica prima, para algum primo \(p\). No entanto, se a característica for diferente de zero isso não significa que o corpo tenha que ser finito, procure um exemplo em que isso aconteça.

  2. Como \(\mathbb{F}\) é um corpo ele já é fechado por soma e satisfaz a comutatividade da adição de vetores, associatividade da adição de vetores, existência de vetor nulo (o \(0\) de \(\mathbb{F}\)) e de inverso aditivo, uma vez que o inverso do vetor \(v\) em \(\mathbb{F}\) é o negativo de \(v\) como elemento do corpo, isto é , \(-v\). Resta verificar a multiplicação por escalar, que pode ser assim definida. Para cada \(\alpha\) em \(\mathbb{Z}_{p} =\{\overline{0},\overline{1}, ..., \overline{p-1} \}\) e \(v \in \mathbb{F}\) defina \(\alpha \cdot v\) como somar o vetor \(v\) em \(\mathbb{F}\) uma quantidade \(\alpha\) de vezes (\(\alpha\) visto como um número natural). Ao utilizarmos a aritmética módulo \(p\) e o fato de que \(\mathbb{F}\) tem característica \(p\), isto é, somar um vetor qualquer de \(\mathbb{F}\) \(p\) vezes sempre retorna \(0\), podemos verificar que essa multiplicação por escalar satisfaz os demais axiomas de espaço vetorial. Mais que isso, ao somarmos o elemento \(1\) de \(\mathbb{F}\) um número \(p\) de vezes poderemos ver que temos uma cópia de \(\mathbb{Z}_{p}\) contido em \(\mathbb{F}\) e que neste contexto é geralmente chamado subcorpo primo de \(\mathbb{F}\).

  3. Como mostrado no item \(2\) temos que \(\mathbb{F}\) é espaço vetorial sobre \(\mathbb{Z}_{p}\) e portanto possui uma base, que é um subconjunto de \(\mathbb{F}\) e como esse último é finito segue que a cardinalidade da base também é finita. Vamos denotar por \(d\) a dimensão de \(\mathbb{F}\) visto como \(\mathbb{Z}_{p}\) - espaço vetorial.

  4. Como todo elemento de \(\mathbb{F}\) pode ser escrito unicamente como combinação linear de elementos de uma base com cardinalidade \(d\) existe pelo Princípio fundamental da contagem \(p\) elevado a \(d\) combinações lineares distintas possíveis para elementos de \(\mathbb{F}\) e portanto \(|\mathbb{F}| = p^d\).

(Caio Monteiro)

Exercício 64.18 Se \(B\) é o sistema \(b_1,\ldots,b_k\) de vetores de \(\F^n\), denote por \(M_B\) a matriz \(k\times n\) cujas linhas são \(b_1,\ldots,b_k\).

  1. Seja \(V\leq \F^n\). Mostre que \(V\) possui uma base \(B\) tal que \(M_B\) está na forma escalonada reduzida.
  2. Mostre que a base \(B\) no item anterior é única para o espaço \(V\).

Exercício 64.19 Escreva uma função em uma linguagem de programação (por exemplo, Python) que toma duas matrizes (arrays) \(A\) e \(B\) com entradas no mesmo corpo e devolva True se os espaços gerados pelas linhas de \(A\) e \(B\) (respectivamente) são iguais. A função deve devolver False no caso contrário.

Use o exercício anterior e ache as formas escalonadas reduzidas de \(A\) e \(B\) usando alguma implementação da Eliminação de Gauss-Jordan. Se usar Python, pode usar a função rref na biblioteca SymPy.

Exercício 64.20 Seja \(V\leq\F^n\) e assuma que \(B=\{b_1,\ldots,b_k\}\) é base de \(V\) tal que \(M_B\) está na forma escalonada reduzida. Assuma que o pivô da linha \(i\) está na coluna \(p_i\). Seja \(v=(v_1,\ldots,v_n)\in \F^n\) arbitrário e defina \[ v_B=v-\sum_{i=1}^kv_{p_i}b_i. \]

  1. Mostre que \(v+V=v_B+V\).
  2. Mostre que \((v_B)_{p_i}=0\) para todo \(i\).
  3. Mostre, para \(v,w\in\F^n\), que \(v+V=w+V\) se e somente se \(v_B=w_B\).

Exercício 64.21 O exercício anterior pode ser usado para decidir igualdade da forma algorítmica no quociente \(\F^n/V\). Escreva uma função em uma linguagem de programação (por exemplo, Python) que toma uma matriz \(B\) \((k\times n)\) na forma escalonada reduzida e toma dois vetores \(v,w\in\F^n\) e devolve True se e somente se \(v+V=w+V\), onde \(V\) denota o espaço gerado pelas linhas de \(B\).

Implemente o procedimento no exercício anterior e verifique se \(v_B=w_B\).

Exercício 64.22 Sejam \(V\) e \(W\) \(\F\)-espaços vetoriais de dimensão finita com \(\dim V=k\) e \(\dim W=m\). Assuma que \(B=\{b_1,\ldots,b_k\}\) e \(C=\{c_1,\ldots,c_m\}\) são bases de \(V\) e \(W\), respectivamente.

  1. Considere o mapa \[ \psi:\mbox{Hom}(V,W)\to W^{k\oplus},\quad f\mapsto (f(b_1),\ldots,f(b_k)) \] onde \(W^{k\oplus}=W\oplus\cdots\oplus W\) (soma direta externa de \(k\) cópias de \(W\)). Mostre que \(\psi\) é um isomorfismo.
  2. Mostre que \(f\mapsto [f]_C^B\) é um isomorfismo \(\mbox{Hom}(V,W)\to M_{m\times k}(\F)\).
  1. Para mostrar que \(\psi\) é um isomorfismo, precisamos verificar que \(\psi\) é linear, injetiva e sobrejetiva.

    • Linearidade: Seja \(f, g \in \mbox{Hom}(V, W)\) e \(\alpha \in \F\). Então: \[ \psi(\alpha f + g) = ((\alpha f + g)(b_1), \ldots, (\alpha f + g)(b_k)). \] Pela linearidade de \(f\) e \(g\), isso se torna: \[ \psi(\alpha f + g) = (\alpha f(b_1) + g(b_1), \ldots, \alpha f(b_k) + g(b_k)). \] Por outro lado: \[ \alpha \psi(f) + \psi(g) = \alpha (f(b_1), \ldots, f(b_k)) + (g(b_1), \ldots, g(b_k)). \] Isso é igual a: \[ (\alpha f(b_1) + g(b_1), \ldots, \alpha f(b_k) + g(b_k)). \] Portanto, \(\psi(\alpha f + g) = \alpha \psi(f) + \psi(g)\), mostrando que \(\psi\) é linear.

    • Injetividade: Para verificar que \(\psi\) é injetiva, verificamos que \(\ker \psi = \{0\}\). Suponha que \(f \in \ker \psi\). Isso significa que: \[ \psi(f) = (f(b_1), \ldots, f(b_k)) = (0, \ldots, 0). \] Portanto, \(f(b_i) = 0\) para todo \(i = 1, \ldots, k\). Como \(B\) é uma base de \(V\), qualquer vetor em \(V\) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de \(B\). Assim, \(f(v) = 0\) para todo \(v \in V\), o que implica que \(f\) é a transformação nula. Concluímos que \(\ker \psi = \{0\}\), mostrando que \(\psi\) é injetiva.

    • Sobrejetividade: Seja \((w_1, \ldots, w_k) \in W^{k\oplus}\). Defina \(f \in \mbox{Hom}(V, W)\) por \(f(b_i) = w_i\) para \(i = 1, \ldots, k\) e estenda linearmente. Então \(\psi(f) = (w_1, \ldots, w_k)\). Portanto, \(\psi\) é sobrejetiva.

    Concluímos que \(\psi\) é um isomorfismo.

Exercício 64.23 Seja \(V=\F_3[x]_3\) e considere as bases \(B=\{1,x,x^2,x^3\}\) e \(C=\{1,1-x,1-x^2,1-x^3\}\). Seja \(d:V\to V\) o endomorfismo definido com \(d(f)=f'\) (derivado formal).

  1. Ache as matrizes \([\mbox{id}_V]_B^C\) e \([\mbox{id}_V]_C^B\).
  2. Ache as matrizes \([f]_B^B\), \([f]_B^C\), \([f]_C^B\) e \([f]_C^C\).

Exercício 64.24 Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais de dimensão finita sobre \(\F\) com bases \(B\) e \(C\), respetivamente. Denote por \(B^∗\) e \(C^∗\) as bases duais de \(B\) e \(C\) em \(V^∗\) e \(W^∗\), respetivamente. Seja \(f : V \to W\) linear e considere o dual \(f^∗ : W^∗ \to V^∗\). Mostre que \[ [f^∗]^{C^∗}_{B^*} = ([f]^B_C)^t. \] Dica:

Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais de dimensão finita sobre \(\F\) com bases \(B\) e \(C\), respectivamente. Denote por \(B^∗\) e \(C^∗\) as bases duais de \(B\) e \(C\) em \(V^∗\) e \(W^∗\), respectivamente. Seja \(f : V \to W\) linear e considere o dual \(f^∗ : W^∗ \to V^∗\). Vamos mostrar que \[ [f^∗]^{C^∗}_{B^*} = ([f]^B_C)^t. \]

  1. Definição do dual:
    • O dual \(f^∗ : W^∗ \to V^∗\) é definido por \(f^∗(\varphi) = \varphi \circ f\) para todo \(\varphi \in W^∗\).
    • Isso significa que \(f^∗\) “puxa para trás” os funcionais lineares de \(W^∗\) para \(V^∗\).
  2. Representação matricial:
    • Seja \([f]^B_C\) a matriz que representa \(f\) em relação às bases \(B\) e \(C\).
    • Seja \([f^∗]^{C^∗}_{B^*}\) a matriz que representa \(f^∗\) em relação às bases duais \(C^∗\) e \(B^∗\).
  3. Propriedade das bases duais:
    • Por definição, as bases duais \(B^∗ = \{\beta_1^∗, \ldots, \beta_n^∗\}\) e \(C^∗ = \{\gamma_1^∗, \ldots, \gamma_m^∗\}\) satisfazem: \[ \beta_i^∗(b_j) = \delta_{ij}, \quad \gamma_i^∗(c_j) = \delta_{ij}, \] onde \(\delta_{ij}\) é o delta de Kronecker.
  4. Cálculo de \([f^∗]^{C^∗}_{B^*}\):
    • Para calcular \([f^∗]^{C^∗}_{B^*}\), precisamos determinar as coordenadas de \(f^∗(\gamma_j^∗)\) em relação à base \(B^∗\).
    • Por definição de \(f^∗\), temos: \[ f^∗(\gamma_j^∗)(b_i) = \gamma_j^∗(f(b_i)). \]
    • Isso significa que a entrada \((i, j)\) de \([f^∗]^{C^∗}_{B^*}\) é dada por \(\gamma_j^∗(f(b_i))\).
  5. Relação com \([f]^B_C\):
    • A matriz \([f]^B_C\) é definida por \(f(b_i) = \sum_{j=1}^m a_{ji} c_j\), onde \(a_{ji}\) são as entradas de \([f]^B_C\).
    • Portanto, \(\gamma_j^∗(f(b_i)) = a_{ji}\).
  6. Conclusão:
    • As entradas de \([f^∗]^{C^∗}_{B^*}\) são dadas por \(a_{ji}\), que são as entradas transpostas de \([f]^B_C\).
    • Assim, temos: \[ [f^∗]^{C^∗}_{B^*} = ([f]^B_C)^t. \]

Exercício 64.25 Seja \(V\) um espaço vetorial e \(U \leq V\). Defina \[ U^0 =\{\varphi\in V^∗ \mid \varphi(u)=0\mbox{ para todo }u\in U\}. \]

  1. Demonstre que \(U^0 \leq V^*\).
  2. Mostre que \(\dim U + \dim U^0 = \dim V\) no caso quando \(\dim V\) é finita.

Seja \(f : V \to W\) uma aplicação linear e considere o dual \(f^∗ : W^∗ \to V^∗\).

  1. Mostre que \(\ker f^∗ = (\mbox{Im}\,f)^0\).
  2. Mostre que \(\mbox{Im}\,f^∗ = (\ker f)^0\).
  1. Demonstre que \(U^0 \leq V^*\):
    • Para mostrar que \(U^0\) é um subespaço de \(V^*\), verificamos as condições de fechamento para soma e multiplicação escalar:
      • Seja \(\varphi_1, \varphi_2 \in U^0\). Então, para todo \(u \in U\), temos: \[ (\varphi_1 + \varphi_2)(u) = \varphi_1(u) + \varphi_2(u) = 0 + 0 = 0. \] Logo, \(\varphi_1 + \varphi_2 \in U^0\).
      • Seja \(\varphi \in U^0\) e \(\alpha \in \F\). Então, para todo \(u \in U\), temos: \[ (\alpha \varphi)(u) = \alpha \varphi(u) = \alpha \cdot 0 = 0. \] Logo, \(\alpha \varphi \in U^0\).
      • Assim, \(U^0\) é fechado para soma e multiplicação escalar, e portanto \(U^0 \leq V^*\).
  2. Mostre que \(\dim U + \dim U^0 = \dim V\) no caso quando \(\dim V\) é finita:
    • Seja \(B = \{b_1, \ldots, b_k\}\) uma base de \(U\) e complete \(B\) para uma base \(B' = \{b_1, \ldots, b_k, b_{k+1}, \ldots, b_n\}\) de \(V\).
    • Considere a base dual \(B^* = \{b_1^*, \ldots, b_n^*\}\) de \(V^*\).
    • Note que \(U^0 = \langle b_{k+1}^*, \ldots, b_n^* \rangle\), pois os funcionais \(b_{k+1}^*, \ldots, b_n^*\) anulam todos os vetores de \(U\).
    • Assim, \(\dim U^0 = n - k\) e \(\dim U = k\). Como \(\dim V = n\), temos: \[ \dim U + \dim U^0 = k + (n - k) = n = \dim V. \]
  3. Mostre que \(\ker f^∗ = (\mbox{Im}\,f)^0\):
    • Por definição, \(\ker f^* = \{\varphi \in W^* \mid f^*(\varphi) = 0\}\).
    • Para \(\varphi \in W^*\), temos \(f^*(\varphi)(v) = \varphi(f(v))\) para todo \(v \in V\).
    • Assim, \(f^*(\varphi) = 0\) significa que \(\varphi(f(v)) = 0\) para todo \(v \in V\), ou seja, \(\varphi\) anula todos os vetores de \(\mbox{Im}\,f\).
    • Portanto, \(\ker f^* = (\mbox{Im}\,f)^0\).
  4. Mostre que \(\mbox{Im}\,f^∗ = (\ker f)^0\):
    • Por definição, \(\mbox{Im}\,f^* = \{f^*(\varphi) \mid \varphi \in W^*\}\).
    • Para \(\psi \in V^*\), temos \(\psi \in \mbox{Im}\,f^*\) se e somente se existe \(\varphi \in W^*\) tal que \(\psi(v) = \varphi(f(v))\) para todo \(v \in V\).
    • Isso significa que \(\psi\) anula todos os vetores de \(\ker f\), pois se \(v \in \ker f\), então \(f(v) = 0\) e \(\psi(v) = \varphi(0) = 0\).
    • Assim, \(\mbox{Im}\,f^* \subseteq (\ker f)^0\).
    • Por outro lado, se \(\psi \in (\ker f)^0\), então \(\psi\) anula todos os vetores de \(\ker f\), e podemos definir \(\varphi \in W^*\) tal que \(\psi(v) = \varphi(f(v))\) para todo \(v \in V\).
    • Portanto, \(\mbox{Im}\,f^* = (\ker f)^0\).

Exercício 64.26 Deduza do exercício anterior que \(f\) é injetiva se e somente se \(f^∗\) é sobresetiva e que \(f\) é sobrejetiva se e somente se \(f^∗\) é injetiva.

  1. Deduza que \(f\) é injetiva se e somente se \(f^∗\) é sobrejetiva:
    • Se \(f\) é injetiva, então \(\ker f = \{0\}\). Pelo exercício anterior, temos \(\mbox{Im}\,f^∗ = (\ker f)^0\). Como \(\ker f = \{0\}\), segue que \((\ker f)^0 = V^∗\). Portanto, \(\mbox{Im}\,f^∗ = V^∗\), o que implica que \(f^∗\) é sobrejetiva.
    • Reciprocamente, se \(f^∗\) é sobrejetiva, então \(\mbox{Im}\,f^∗ = V^∗\). Pelo exercício anterior, \(\mbox{Im}\,f^∗ = (\ker f)^0\). Como \((\ker f)^0 = V^∗\), segue que \(\ker f = \{0\}\). Portanto, \(f\) é injetiva.
  2. Deduza que \(f\) é sobrejetiva se e somente se \(f^∗\) é injetiva:
    • Se \(f\) é sobrejetiva, então \(\mbox{Im}\,f = W\). Pelo exercício anterior, \(\ker f^∗ = (\mbox{Im}\,f)^0\). Como \(\mbox{Im}\,f = W\), segue que \((\mbox{Im}\,f)^0 = \{0\}\). Portanto, \(\ker f^∗ = \{0\}\), o que implica que \(f^∗\) é injetiva.
    • Reciprocamente, se \(f^∗\) é injetiva, então \(\ker f^∗ = \{0\}\). Pelo exercício anterior, \(\ker f^∗ = (\mbox{Im}\,f)^0\). Como \((\mbox{Im}\,f)^0 = \{0\}\), segue que \(\mbox{Im}\,f = W\). Portanto, \(f\) é sobrejetiva.

Exercício 64.27 [Segundo Teorema de Isomorfismo] Seja \(V\) um espaço vetorial e \(U,W \leq V\). Mostre, exibindo um isomorfismo, que \[ (U +W)/W \cong U/(U \cap W). \]

Exercício 64.28 [Terceiro Teorema de Isomorfismo] Seja \(V\) um espaço vetorial e \(U,W \leq V\) tais que \(W \leq U\). Mostre que \[ (V/W)/(U/W)\cong V/U. \]

Exercício 64.29 Deduza do Segundo Teorema de Isomorfismo a fórmula para a dimensão de \(U +W\).

Exercício 64.30 Seja \(W\) um espaço vetorial sobre \(\F\). Define o functor \(H_W\) com as seguintes regras:

  1. Para um \(\F\)-espaço vetorial \(V\), defina \(H_W(V) = \mbox{Hom}(W,V)\).
  2. Para uma transformação linear \(f : V \to U\), defina \[ H_W (f):\mbox{Hom}(W,V)\to \mbox{Hom}(W,U),\quad H_W (f)(α)=f\circ α. \]

Demonstre as seguintes afirmações.

  1. Demonstre, para todo \(\F\)-espaço \(V\), que \(H_W(\mbox{id}_V) = \mbox{id}_{\textrm{Hom}(W,V)}\).
  2. Demonstre que se \(f : V_1 \to V_2\) e \(g : V_2 \to V_3\) são transformações lineares, então \(H_W(g\circ f) = H_W(g)\circ H_W(f)\).

As propriedades mostram que o functor \(H_W\) é um functor covariante na categoria dos \(\F\)-espaços vetoriais.

Exercício 64.31 Seja \(W\) como no Exercício 64.30. Mostre que se \(f : V \to U\) é injetiva/sobrejetiva, então \[ H_W(f):\mbox{Hom}(W,V)\to\mbox{Hom}(W,U) \] é injetiva/sobrejetiva (respetivamente).

Exercício 64.32 O functor \(H_W\) está frequentamente escrito como \(\mbox{Hom}(W,−)\) e escrevemos também \(H_W(V) = \mbox{Hom}(W,V)\) e \(H_W(f) = \mbox{Hom}(W,f)\). Defina um functor \(\mbox{Hom}(−,W)\). Este outro functor seria um functor covariante ou contravariante?

Exercício 64.33 Seja \(\F[[x]]\) o espaço das séries de potências sobre um corpo \(\F\); ou seja, \[ \F[[x]]=\left\{\sum_{k\geq 0}\alpha_ix^i\mid \alpha_i\in\F\right\}; \] Demonstre que \(\F[x]^*\cong \F[[x]]\).

Exercício 64.34 Sejam \(V\) e \(W\) \(\F\)-espaços vetoriais, sejam \(\Psi_V:V\to V^{**}\) e \(\Psi_W:W\to W^{**}\) as funções canônicas definidas no Lema 61.2, e seja \(f:V\to W\) uma transformação linear. Mostre que o seguinte diagrama comuta.

Diagrama do bidual

Dica: Consulte esta e esta conversa no Stackexhange.

Este exercícios mostra que a transformação \(\Psi_V\) é uma transformação natural entre o functor da identidade e o functor bidual \((-)^{**}\) na categoria dos \(\F\)-espaços vetoriais.