Definição 42.1 Seja \(R\) um anel. Um polinômio sobre \(R\) (ou polinômio com coeficientes em \(R\)) é uma expressão formal \[
f=f(x)=\alpha_n x^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1 x+\alpha_0
\] onde \(\alpha_i\in R\). O símbolo \(x\) é uma incógnita. Por exemplo \[
\frac 12x^2+2x-1
\] pode ser considerado como um polinômio sobre \(\Q\), \(\R\) ou \(\C\). O conjunto de todos os polinômios na incógnita \(x\) sobre \(R\) é denotado por \(R[x]\). Seja \(f(x)\in R[x]\) um polinômio como acima e assuma agora que \(\alpha_n\neq 0\). O termo \(\alpha_nx^n\) é chamado termo líder de \(f(x)\) enquanto o coeficiente \(\alpha_n\) é o coeficiente líder. O número \(n\) é dito o grau de \(f(x)\) e é denotado por \(\grau{f(x)}\). Um polinômio \(f(x)\) é dito mônico se o seu coeficiente líder é igual a \(1\). Para o polinômio \(0\) estes termos não são definidos
Se \(\alpha\in R\) então \(\alpha\) pode ser identificado com o elemento \(\alpha=\alpha x^0\in R[x]\) e assim os elementos de \(R\) podem ser considerados como polinômios de grau zero em \(R[x]\). Os polinômios de grau zero são também chamados de polinômios constantes.
Por exemplo considere \(f(x)\in\Z_5[x]\) onde \[
f(x) = \overline 2x^2+\overline 1.
\] O termo líder de \(f(x)\) é \(\overline 2x^2\), o coeficiente líder é \(\overline 2\), o grau de \(f(x)\) é \(2\) e \(f(x)\) não é mônico, pois seu coeficiente líder é diferente de \(\overline 1\).
Nesta disciplina, polinômios são considerados principalmente como expressões simbólicas e não como funções. No entanto, dado um polinômio \(f(x)\in R[x]\) e \(\alpha\in R\) pode-se substituir \(\alpha\) em \(f(x)\) e obter \(f(\alpha)\in R\). O elemento \(\alpha\in R\) é dito raiz de \(f(x)\) se \(f(\alpha)=0\).
Podemos também definir a função polinomial \[
\hat f:R\to R,\quad \hat f(\alpha)= f(\alpha).
\] No entanto, note que para \(p\) um primo, \(f(x)=x\) e \(g(x)=x^p\) são dois polinômios distintos de \(\Z_p[x]\), mas pelo Pequeno Teorema de Fermat, as funções \(\hat f,\hat g:\Z_p\to \Z_p\) são iguais. Assim, quando falamos de polinômios sobre um anel arbitrário, precisa-se distinguir entre o polinômio como expressão formal e a função polinomial.