29  O anel dos polinômios

29.1 Polinômios

Definição 29.1 Seja R um anel. Um polinômio sobre R (ou polinômio com coeficientes em R) é uma expressão formal f=f(x)=αnxn+αn−1xn−1+⋯+α1x+α0 onde αi∈R. O símbolo x é uma incógnita. Por exemplo 12x2+2x−1 pode ser considerado como um polinômio sobre Q, R ou C. O conjunto de todos os polinômios na incógnita x sobre R é denotado por R[x]. Seja f(x)∈R[x] um polinômio como acima e assuma agora que αn≠0. O termo αnxn é chamado termo líder de f(x) enquanto o coeficiente αn é o coeficiente líder. O número n é dito o grau de f(x) e é denotado por grau(f(x)). Um polinômio f(x) é dito mônico se o seu coeficiente líder é igual a 1. Para o polinômio 0 estes termos não são definidos

Se α∈R então α pode ser identificado com o elemento α=αx0∈R[x] e assim os elementos de R podem ser considerados como polinômios de grau zero em R[x]. Os polinômios de grau zero são também chamados de polinômios constantes.

Por exemplo considere f(x)∈Z5[x] onde f(x)=2―x2+1―. O termo líder de f(x) é 2―x2, o coeficiente líder é 2―, o grau de f(x) é 2 e f(x) não é mônico, pois seu coeficiente líder é diferente de 1―.

Nesta disciplina, polinômios são considerados principalmente como expressões simbólicas e não como funções. No entanto, dado um polinômio f(x)∈R[x] e α∈R pode-se substituir α em f(x) e obter f(α)∈R. O elemento α∈R é dito raiz de f(x) se f(α)=0.

Podemos também definir a função polinomial f^:R→R,f^(α)=f(α). No entanto, note que para p um primo, f(x)=x e g(x)=xp são dois polinômios distintos de Zp[x], mas pelo Pequeno Teorema de Fermat, as funções f^,g^:Zp→Zp são iguais. Assim, quando falamos de polinômios sobre um anel arbitrário, precisa-se distinguir entre o polinômio como expressão formal e a função polinomial.

29.2 O anel dos polinômios

Seja R um anel e considere o conjunto dos polinômios R[x] sobre R. Nós introduzimos duas operações + e ⋅ no conjunto R[x]. Sejam f(x),g(x)∈R[x] dados como f(x)=αnxn+αn−1xn−1+⋯+α1x+α0g(x)=βnxn+βn−1xn−1+⋯+β1x+β0 onde αi,βi∈R. (Note que nós não assumimos que αn≠0 e βn≠0) então os graus de f(x) e g(x) podem não coincidir.) Defina f(x)+g(x)=(αn+βn)xn+(αn−1+βn−1)xn−1+⋯+(α1+β1)x+α0+β0;f(x)g(x)=c2nx2n+c2n−1x2n−1+⋯+c1x+c0 onde ck=∑i,j∈{0,…,n}i+j=kaibj.

Exemplo 29.1 Considere f(x)=x3+2―x e g(x)=2―x+1― em Z3[x]. Então f(x)+g(x)=x3+x+1―f(x)g(x)=(x3+2―x)(2―x+1―)=2―x4+x3+x2+2―x.

Lema 29.1 Seja R um anel e f(x),g(x)∈R[x]∖{0}.

  • f(x)g(x)=0 ou grau(f(x)g(x))≤grau(f(x))+grau(g(x)).
  • Se R for um domínio, então f(x)g(x)≠0 e grau(f(x)g(x))=grau(f(x))+grau(g(x))

Comprovação. A primeira afirmação segue da definição do produto. Assuma que R é um domínio e sejam f(x),g(x)∈R[x] tais que f(x)=αnxn+αn−1xn−1+⋯+α1x+α0g(x)=βmxm+βm−1xm−1+⋯+β1x+β0 com αi,βj∈R e com αn,βm≠0. Em particular, grau(f(x))=n e grau(g(x))=m e f(x)g(x)=αnβmxm+n+⋯ onde ⋯ significa uma soma de termos de grau menor que m+n. Como R é um domínio, αnβm≠0 e temos que f(x)g(x)≠0 e que grau(f(x)g(x))=m+n=grau(f(x))+grau(g(x)).

Exemplo 29.2 É possível que o grau do produto seja estritamente menor que a soma dos graus. Considere por exemplo f(x)=2―x+1― e g(x)=3―x+1― em Z6[x]. Então grau(f(x))=grau(g(x))=1, mas f(x)g(x)=(2―x+1―)(3―x+1―)=5―x+1― e assim grau(f(x)g(x))=1

Teorema 29.1 Seja R um anel. As seguintes afirmações são verdadeiras.

  • R[x] é um anel com as operações de + e ⋅ entre polinômios.
  • R[x] é um domínio se e somente se R é um domínio.
  • Se R é um domínio, então os elementos invertíveis de R[x] são os elementos invertíveis de R (considerados como polinômios de grau zero).

Comprovação.

  1. Exercício.

  2. Se R é um domínio, então R[x] é domínio pelo lema anterior. Vice versa, se R[x] é um domínio e a,b∈R∖{0}, então a e b podem ser considerados como elementos de grau zero em R[x]. Como R[x] é domínio, temos que ab≠0 e obtemos que R também é domínio.

  3. Seja R um domínio. É fácil verificar que um elemento invertível α∈R é invertível em R[x]. Assuma que f(x)∈R[x] invertível. Então existe g(x)∈R[x] tal que f(x)g(x)=1. Daí temos que f(x),g(x)≠0 e 0=grau(1)=grau(f(x)g(x))=grau(f(x))+grau(g(x)). Como os graus de f(x) e de g(x) são inteiros não negativos, segue que grau(f(x))=grau(g(x))=0; ou seja f(x)=α e g(x)=β com α,β∈R e αβ=1. Portanto f(x)=α é um elemento invertível de R.