Grupo cíclico
Definição 59.2 Um grupo gerado por um elemento é dito grupo cíclico. Em outras palavras, \(G\) é dito cíclico se \(G=\left<g\right>\) para algum elemento \(g\in G\). Se \(G\) é cíclico e \(G=\left<g\right>\). então \[
G=\{1=g^0,g^1,g^{-1},g^2,g^{-2},g^3,g^{-3},\ldots\};
\] ou seja, \(G\) é composto pelas potências de \(g\). Como \(g^a\) e \(g^b\) comutam para todo \(a,b\in\mathbb Z\), obtemos que um grupo cíclico é abeliano.
Exercício 59.2 Seja \(g\in G\). Demonstre que \(|\left<g\right>|=|g|\). Portanto, se \(G\) é um grupo finito e \(g\in G\), então \(|g|\) divide \(|G|\). Em particular, temos neste caso que \(g^{|G|}=1\). Consequentemente, um grupo finito \(G\) é cíclico se e somente se \(G\) possui um elemento de ordem \(|G|\).
Exemplo 59.1
- O grupo \((\mathbb Z,+)\) é cíclico gerado por \(1\).
- Seja \(n\geq 2\). Então o grupo aditivo \((\mathbb Z_n,+)\) é cíclico gerado pelo elemento \(1\).
- O grupo \(\{i,-i,1,-1\}\) é cíclico gerado por \(i\).
- O grupo de rotações de um polígono com \(n\) lados é cíclico e é gerado pela rotação por \(360/n\) graus.
- O grupo simétrico \(S_3\) não é cíclico, pois ele não é abeliano.
- O grupo \(K=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\) é abeliano, mas não é cíclico pois não possui um elemento de ordem \(4\).
Lema 59.1 Se \(G\) é um grupo cíclico e \(H\leq G\), então \(H\) é cíclico.
Comprovação. Primeiro note que o subgrupo trivial de \(G\) é cíclico e podemos assumir que \(H\neq 1\). Assuma que \(G=\left<g\right>\) e seja \(k\geq 1\) menor tal que \(g^k\in H\). Afirmamos que \(H=\left<g^k\right>\). Claramente \(\left<g^k\right>\leq H\). Ora, seja \(x\in H\). Como \(G\) é cíclico, \(x=g^m\) com algum \(m\geq 0\). Pondo \(m=qk+r\) com \(r\in\{0,\ldots,k-1\}\) (Teorema 11.1), obtemos que \[
x=g^m=g^{qk+r}=(g^k)^qg^r.
\] Isso implica que
\[
g^r=(g^k)^{-q}x\in H
\] Como \(k\) foi menor positivo tal que \(x^k\in H\), obtemos que \(r=0\). Ou seja, \(x=g^{qk}=(g^k)^q\). Assim, todo elemento de \(H\) é uma potência de \(g^k\) e \(H=\left<g^k\right>\).
O seguinte teorema sai como uma consequência do Teorema de Lagrange (Teorema 58.1).
Teorema 59.1 Seja \(p\) um primo e seja \(G\) um grupo com \(p\) elementos. Então \(G\) é cíclico. Em particular, \(G\) é abeliano.
Comprovação. Seja \(g\in G\setminus\{1\}\) e seja \(H=\left<g\right>\). Temos que \(1<|H|\) e que \(|H|\mid |G|=p\). Logo, \(|H|=|G|\) e obtemos que \(H=G\). Isso significa que \(G=\left<g\right>\); ou seja, \(G\) é cíclico.
O resultado seguinte é particularmente útil no estudo de grupos multiplicativos de corpos. Antes do resultado relembremos que se \(n\in\mathbb N\), então \[
\varphi(n)=|\{k\mid 1\leq k\leq n,\ \mbox{mdc}(n,k)=1\}|.
\] A seguinte igualdade é bem conhecida: \[
\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n.
\] Um caso particular deste teorema foi provado na disciplina Fundamentos de Álgebra (Teorema 32.1 e Teorema 48.1).
Teorema 59.2 Seja \(G\) um subgrupo finito do grupo multiplicativo de um corpo \(\mathbb F\). Então \(G\) é cíclico.
Comprovação. Ponha \(n=|G|\). Se \(g\in G\), então a ordem de \(g\) divide \(|G|=n\) por um exercício anterior. Seja \(d\) um divisor de \(n\) e assuma que existe um elemento \(g\in G\) com ordem \(d\). Seja \(H=\left<g\right>\). Sabe-se que \(|H|=|g|=d\). Então \(h^d=1\) vale para todo \(h\in H\) e os elementos de \(H\) são soluções da equação polinomial \[
x^d-1=0.
\] Esta é uma equação de grau \(d\) então possui no máximo \(d\) soluções em \(\mathbb F\). Mas o subgrupo \(H\) já possui \(d\) soluções, então temos obrigatoriamente que \[
H=\{x\in \mathbb F\mid x^d=1\}.
\] Se \(h\in H\), então \(h=g^i\) com algum \(i=0,\ldots,d-1\) e \(|h|=|g|/\mbox{mdc}(d,i)\). Isto quer dizer que \(|h|=d\) se e somente se \(\mbox{mdc}(d,i)=1\); ou seja, o número de elementos em \(H\) com ordem \(d\) é \(\varphi(d)\).
Seja \(m_d\) o número de elementos de \(G\) com ordem \(d\). O que acabamos de provar com o argumento no parágrafo anterior é a seguinte afirmação: Se \(d\mid n\), então \(m_d=0\) ou \(m_d=\varphi(d)\); caso contrário \(m_d=0\). Em particular \(m_d\leq\varphi(d)\) para todo \(d\).
Contando os elementos de \(G\), obtemos que \[
|G|=n=\sum_{d\mid n}m_d\leq \sum_{d\mid n}\varphi(d)=n.
\] (A última igualdade é por causa do resultado citado sobre \(\varphi(n)\) antes do teorema.) Note que a igualdade na linha anterior implica que a desigualdade no meio precisa ser igualdade. Mas isso é possível somente quando \(m_d=\varphi(d)\) vale para todo \(d\mid n\). Em particular, \(m_n=\varphi(n)\); ou seja, \(G\) possui um elemento de ordem \(n\). Se \(g\in G\) é tal elemento, então \(G=\left<g\right>\).
Corolário 59.1 O grupo \((\mathbb Z_p\setminus\{0\},\cdot)\) é cíclico.
Definição 59.3 Se \(g\in \mathbb Z_p\setminus\{0\}\) é um gerador do grupo multiplicativo de \(\mathbb Z_p\), então o elemento \(g\) é chamado de elemento primitivo de \(\mathbb Z_p\). Se \(g\in \mathbb Z_p\) é um elemento primitivo, então \[
\mathbb Z_p=\{0,1=g^0,g^1,g^2,\ldots,g^{p-2}\}.
\]
Exercício 59.3 Mostre que o número dos elementos primitivos em \(\mathbb Z_p\) é \(\varphi(p-1)\).