Definição 70.1 Se \(G\) é um grupo e \(A,B\leq G\), então \[
[A,B]=\left<[a,b]\mid a\in A,\ b\in B\right>.
\]
Exercício 70.1 Se \(A,B\unlhd G\), então \([A,B]\unlhd G\).
Lema 70.1 Seja \(K\unlhd G\), e \(H\leq G\) tal que \(K\leq H\leq G\). Então \([H,G]\leq K\) se e somente se \(H/K\leq Z(G/K)\).
Definição 70.2 Uma série normal \[
G_0>\cdots> G_k
\] de um grupo \(G\) é dito série central se \[
G_i/G_{i+1}\leq Z(G/G_{i+1}).
\] Note que se \(G_i\) é uma série central, então os quocientes \(G_i/G_{i+1}\) são abelianos.
Definição 70.3 Em um grupo \(G\), definimos a série \(\gamma_i(G)\) recursivamente como \(\gamma_1(G)=G\), e \(\gamma_{i+1}(G)=[G,\gamma_i(G)]\) para \(i\geq 1\). Note que \(\gamma_2(G)=G'\). A série \(\gamma_i(G)\) é chamada de série central descendente.
Similarmente, definimos \(\zeta_0(G)=1\) e recursivamente \(\zeta_{i+1}(G)\) é definido como o subgrupo de \(G\) que contém \(\zeta_{i}(G)\) e satisfaz que \[
Z(G/\zeta_{i}(G))=\zeta_{i+1}(G)/\zeta_i(G).
\] A série \(\zeta_i(G)\) é chamada de série central ascendente de \(G\). O termo \(\zeta_i(G)\) é dito \(i\)-ésimo centro de \(G\).
Lema 70.2 As séries \(\gamma_i(G)\) e \(\zeta_i(G)\) são centrais.
Comprovação. É claro no caso de \(\zeta_i(G)\). O caso de \(\gamma_i(G)\) segue do lema anterior.
Lema 70.3 Seja \(G\) um grupo.
- Se \[
G_1=G>G_2>\cdots> G_k
\] é uma série central, então \(\gamma_i(G)\leq G_i\) para todo \(i\).
- Se \[
1=H_0<H_1<\cdots<H_m
\] é uma série central então \(H_i\leq \zeta_i(G)\) para todo \(i\).
Comprovação.
Indução por \(i\). A afirmação é clara para \(i=1\). Assuma que \(\gamma_i(G)\leq G_i\) para \(i\geq 1\). Então \[
\gamma_{i+1}(G)=[\gamma_i(G),G]=[G_i,G]\leq G_{i+1}.
\] A última desigualdade segue do lema anterior.
Indução por \(i\). É clara para \(i=0\). Assuma que \(H_i\leq \zeta_i(G)\) para algum \(i\). Então temos um homomorfismo sobrejetivo \[
\alpha:G/ H_i\rightarrow G/\zeta_i(G).
\] Como a série \(H_i\) é central, \(H_{i+1}/H_{i}\leq Z(G/ H_i)\). Aplicando o homomorfismo \(\alpha\), obtemos que \[
H_{i+1}\zeta_{i}(G)/\zeta_i(G) \leq Z(G/\zeta_i(G))=\zeta_{i+1}(G)/\zeta_i(G).
\] Portanto, \(H_{i+1}\leq \zeta_{i+1}(G)\).
Corolário 70.1 Em um grupo \(G\) tem se que \(\zeta_c(G)=G\) se e somente se \(\gamma_{c+1}(G)=1\). Neste caso \[
\gamma_{i+1}(G)\leq \zeta_{c-i}(G)
\] para todo \(i\geq 0\).
Comprovação. Segue do lema anterior.
Definição 70.4 Um grupo \(G\) é dito nilpotente se existe um \(c\geq 1\) tal que \(\gamma_{c+1}(G)=1\). O menor tal \(c\) é dito a classe de nilpotência de \(G\). Claramente, um grupo nilpotente é solúvel, mas um grupo solúvel não é necessariamente nilpotente (e.g. \(S_3\)).
Teorema 70.1 Seja \(G\) um grupo.
- Se \(G\) é nilpotente \(H\leq G\) e \(N\unlhd G\), então \(H\) e \(G/N\) são nilpotentes.
- Se \(G\) é nilpotente, então \(Z(G)\neq 1\). \(G\) é nilpotente se e somente se \(G/Z(G)\) é nilpotente.
- Se \(G\) e \(H\) são nilpotentes, então \(G\times H\) é nilpotente.
Teorema 70.2 Um \(p\)-grupo finito é nilpotente.
Comprovação. Indução pela ordem de \(G\). A afirmação é verdadeira para grupos de ordem \(p\) ou \(p^2\). Assuma que a afirmação é verdadeira para grupo cuja ordem é menor que \(p^n\) e seja \(G\) um grupo de ordem \(p^n\). Como \(Z(G)\neq 1\), temos pela hipótese de indução que \(G/Z(G)\) é nilpotente e pelo corolário anterior obtemos que \(G\) é nilpotente.
Lema 70.4 Seja \(G\) um grupo nilpotente.
- Se \(H<G\), então \(H<N_G(H)\);
- Se \(1\neq N\unlhd G\), então \(N\cap Z(G)\neq 1\).
- Se \(M\) é um subgrupo maximal de \(G\), então \(M\) é normal e \(|G:M|\) é primo.
Comprovação.
Seja \(i\) tal que \(\gamma_{i-1}(G)\not\leq H\), mas \(\gamma_i(G)\leq H\). Então \[
[\gamma_{i-1}(G),H]\leq [\gamma_{i-1}(G),G]=\gamma_i(G)\leq H.
\] Logo \(\gamma_{i-1}(G)\leq N_{G}(H)\). Como \(\gamma_{i-1}(G)\not\leq H\), obtem-se que \(N_G(H)\leq H\) e segue que \(H<N_G(H)\).
Assuma que \(m\) é minimal tal que \(\zeta_m(G)\cap N\neq 1\). Ora \[
[N\cap \zeta_m(G),G]\leq N\cap [\zeta_m(G),G]=N\cap \zeta_{m-1}(G)=1.
\] Isto implica que \(N\cap \zeta_m(G)\leq Z(G)\).
Seja \(M\) um subgrupo maximal de \(G\). Por parte (1), tem-se que \(N_G(M)=G\), então \(M\) é normal em \(G\). Pela maximalidade de \(M\), o quociente \(G/M\) não possui um subgrupo próprio, não trivial. Portanto \(G/M\cong C_p\) com algum primo \(p\). Em particular, \(|G:M|=p\).
Exercício 70.2 Seja \(G\) um grupo finito, e \(P\) um subgrupo de Sylow. Mostre que \(N_G(N_G(P))=N_G(P)\).
Teorema 70.3 Um grupo finito é nilpotente se e somente se ele é produto direto dos seus subgrupos de Sylow.
Comprovação. Se \(G\) é produto direto dos \(p\)-subgrupos de Sylow, então \(G\) é nilpotente.
Assuma que \(G\) é finito e nilpotente. Seja \(P\) um \(p\)-subgrupo de Sylow de \(G\) e seja \(N=N_G(P)\). Pelo exercício anterior, \(N_G(N)=N\). O lema anterior implica que \(N=G\), então \(P\) é normal em \(G\). Sejam \(p_1,\ldots,p_k\) os divisores primos de \(|G|\) e sejam \(P_1,\ldots,P_k\) os subgrupos de Sylow correspondentes. Como todo \(P_i\) é normal em \(G\), \([P_i,P_j]\leq P_i\cap P_j=1\) (se \(i\neq j\)), então \(P_1\times\cdots\times P_k\) é um subgrupo de \(G\). Comparando ordens, \(G=P_1\times\cdots\times P_k\).