25  Classes residuais

25.1 Classes residuais

Nesta página \(n\in\N\) é um número fixado. De modo geral, para evitar trivialidades, pode assumir também que \(n\geq 2\), mas isso não é necessário.

Seja \(a\in\Z\). Denotaremos por \(\bar a\) a classe de equivalência de \(a\) sob a relação de equivalência \(\equiv_n\) definida na página anterior. Em outras palavras, \[ \bar a=\{b\in\Z\mid a\equiv b\pmod n\}. \] Temos então que \(\bar a\subseteq\Z\) e que \(\bar a\) contém os inteiros que têm o mesmo resto que \(a\) quando divididos por \(n\). O conjunto \(\bar a\) é chamado de classe residual ou classe de congruência do elemento \(a\) (módulo \(n\)).

Exemplo 25.1 Considere \(n=5\). Temos \(5\) classes residuais que são as seguintes: \[\begin{align*} \bar 0&=\{0,\pm 5,\pm 10,\pm 15,\ldots\};\\ \bar 1&=\{1,-4,6,-9,11,-14,\ldots\};\\ \bar 2&=\{2,-3,7,-8,12,-13,\ldots\};\\ \bar 3&=\{3,-2,8,-7,13,-12,\ldots\};\\ \bar 4&=\{4,-1,9,-6,14,-11,\ldots\}. \end{align*}\] É fácil verificar que se \(a\in\Z\), então \(a\) pertence a exatamente uma destas classes; ou seja \(\bar a\) coincide com exatamente uma destas classes

Lema 25.1 Sejam \(a,b\in\Z\).

  • \(a\in\bar a\);
  • \(\bar a=\bar b\) se e somente se se \(a\in\bar b\) se e somente se \(b\in\bar a\) se e somente se \(a\equiv b\pmod n\).

Comprovação. EExercício

Corolário 25.1 Há \(n\) classes residuais módulo \(n\); nomeadamenta, \(\bar 0,\bar 1,\ldots,\overline{n-1}\). Além disso, cada número \(a\in\Z\) pertence a exatamente uma dessas classes. Mais precisamente, se \(a=qn+r\) com \(r\in\{0,\ldots,n-1\}\), então \(a\in\bar r\) e \(\bar a=\bar r\)

Comprovação. SSe \(a\in\Z\), então escreva \(a=qn+r\) como no enunciado do corolário. O Lema anterior implica que \(\bar a=\bar r\). Por outro lado, as classes \(\bar 0,\bar 1,\ldots,\overline{n-1}\) são distintas, pois se \(0\leq a < b\leq n-1\), então \(a\not\equiv b\pmod n\), e \(\bar a \neq \bar b\) pelo lema anterior. As classes \(\bar 0,\bar 1,\ldots,\overline{n-1}\) são ainda disjuntas dois a dois e assim todo número \(a\in\Z\) pertence a exatamente uma destas classes