5  Lista de Exercícios 2

Iniciação à Matemática, 2024/I

Exercício 5.1 Sejam \(A=\{-4,-2,0,2,4\}\) e \(B=\{0,1,2,3,4\}\). Determine os seguintes conjuntos.

  1. \(A\cup B\);
  2. \(A\cap B\);
  3. \(A\smallsetminus B\);
  4. \(B\smallsetminus A\);
  5. \((A\smallsetminus B)\cup B\smallsetminus A\);
  6. \((A\smallsetminus B)\cap B\smallsetminus A\);

Exercício 5.2 Demonstre as seguintes afirmações para conjuntos \(A\), \(B\), e \(C\).

  1. \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\).
  2. Assumindo que \(A\) e \(B\) são subconjuntos de \(X\), \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\).

Exercício 5.3 Demonstre que as seguintes afirmações são equivalentes para conjuntos \(A\) e \(B\):

  1. \(A\subseteq B\);
  2. \(A\cup B=B\);
  3. \(A\cap B=A\).

[Dica: Demonstre que 1. implica 2., que 2. implica 3. e que 3. implica 1.]

Exercício 5.4 Quais dos seguintes conjuntos são vazios?

  1. \(\{x\in \mathbb R\mid x^2-6x+5=0\}\);
  2. \(\{x\in \mathbb R\mid x^2+6x+5=0\}\);
  3. \(\{x\in \mathbb N\mid x^2-x-1=0\}\);
  4. \(\{x\in \mathbb N\mid 3<x<4\}\);
  5. \(\{x\in \mathbb R\mid 3<x<4\}\).

Exercício 5.5 Demonstre para conjuntos \(A\) e \(B\) que \[ (A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)=(A\cup B)\smallsetminus(A\cap B). \]

Exercício 5.6 Assuma que \(A\) é o conjunto dos inteiros pares e \(B\) é conjunto dos inteiros que são múltiplos de \(3\). Descreva o conjunto \[ (A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A). \]

Exercício 5.7 Seja \(A=\{6k\mid k\in\mathbb N\}\) e \(B=\{9k\mid k\in\mathbb N\}\). Decida quais das seguintes proposições são verdadeiras.

  1. \(\forall a\in A:(\exists b\in B:a\mid b)\);
  2. \(\exists a\in A:(\forall b\in B:a\mid b)\);
  3. \(\forall a\in A:(\exists b\in B:a< b)\);
  4. \(\exists a\in A:(\forall b\in B:a< b)\);

Exercício 5.8 Escreva a negação de todas as proposições no exercício anterior.