Exercício 72.1 Seja \(f:V\to V\) um operador diagonalizável. Assuma que os autovalores distintos de \(f\) são \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). Mostre que \[
m_f(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k).
\]
Exercício 72.2 Seja \(R_\alpha:\R^2\to\R^2\) a rotação por \(\alpha\) graus em torno da origem no sentido anti-horário. É conhecido e não precisa provar que \(R_\alpha\) é linear.
- Escreva a matriz \(M_\alpha\) de \(R_\alpha\) na base canônica de \(\R^2\).
- Carateriza os ângulos \(\alpha\) para os quais \(R_\alpha\) é diagonalizável.
- Seja \(\overline R_\alpha:\C^2\to \C^2\) a complexificação de \(R_\alpha\) cuja matriz na base canônica é a mesma que a matriz de \(R_\alpha\). Mostre que \(\overline R_\alpha\) é diagonalizável e determine os seus autovetores e autovalores.
Exercício 72.3 Seja \(A\in M_{n\times n}(\F)\) e considere o operador linear \(f_A:M_{n\times n}(\F)\to M_{n\times n}(\F)\), definido por \(f_A(B)=AB\). Será verdade que \(A\) e \(f_A\) possuem os mesmos autovalores? Será que \(A\) e \(f_A\) possuem o mesmo polinômio característico? Será que \(A\) e \(f_A\) possuem o mesmo polinômio mínimo?
Exercício 72.4 Sejam \(f:V\to V\) e \(v\in V\).
- Mostre que existe um único polinômio mônico não nulo de menor grau \(m_{f,v}(t)\) tal que \(m_{f,v}(f)(v)=0\).
- Mostre que \(m_{f,v}(t)\mid m_f(t)\).
Exercício 72.5 Seja \(p(t)=t^n+\alpha_{n-1} t^{n-1}+\cdots+\alpha_1 t+\alpha_0\in\F[t]\) um polinômio mônico e seja \(f:V\to V\) um operador com matriz \[
\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_0\\
1 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & - \alpha_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots &1 & -\alpha_{n-1}
\end{pmatrix}
\] em uma base \(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\).
- Mostre que \(m_{f,b_1}(t)=p(t)\).
- Deduza que \(m_f(t)=\mbox{pcar}(t)=p(t)\).
[A matriz no exercício chama-se matriz companheira do polinômio \(p(t)\).]
Exercício 72.6 Seja \(f:V\to V\) um operador linear tal que \(fg=gf\) para todo \(g:V\to V\). Mostre que existe algum \(\lambda\in\F\) tal que \(f(v)=\lambda v\) para todo \(v\in V\).
Exercício 72.7 Seja \(f:V\to V\) um operador linear e \(g:V\to V\) tal que \(fg=gf\). Lembre que um espaço \(U\leq V\) é \(g\)-invariante se \(g(u)\in U\) para todo \(u\in U\). Mostre que
- \(\ker f\) e \(\mbox{Im}(f)\) são \(g\)-invariantes.
- Os autoespaços \(V_\lambda\) de \(f\) são invariantes por \(g\).
Exercício 72.8 Seja \(f:V\to V\) diagonalizável com autovalores distintos \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). Assuma que \(d_1,\ldots,d_k\) são as multiplicidades de \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). (Como \(f\) é diagonalizável, as multiplicidades geométricas e algébricas são iguais.) Seja \[
C(f)=\{g:V\to V\mid fg=gf\}.
\] Demonstre que \(C(f)\) é uma subalgebra de \(\mbox{End}(V)\) (ou seja, ele é um subespaço e é fechado para a composição de operadores) e que \[
\dim C(f)=\sum_{i=1}^k d_i^2.
\] Dê uma descrição de \(C(f)\). (A álgebra \(C(f)\) chama-se o centralizador de \(f\) em \(\mbox{End}(V)\).)
Exercício 72.9 Seja \(\Gamma\) um grafo não direcionado com vertices \(\{1,\ldots,n\}\) sem arrestas múltiplas e sem laços. A matriz de adjacência \(A_\Gamma=(a_{i,j})\) é definida como a matriz \(n\times n\) com entrada \(a_{i,j}=1\) se e somente se os vértices \(i\) e \(j\) são adjacentes; caso contrário \(a_{i,j}=0\). Como \(A_\Gamma\) é uma matriz simétrica, sabe-se de Álgebra Linear I que os autovalores de \(A_\Gamma\) são números reais e seja \(\lambda_1\) o maior autovalor.
- Mostre que \(\lambda_1\) é menor ou igual que o máximo entre os graus (número de vizinhos) dos vertices de \(v\).
- O grafo \(\Gamma\) é dito regular, se cada vértice tem o mesmo grau (ou seja, o mesmo número de vizinhos). Mostre que se \(\Gamma\) for regular, então \(\lambda_1=k\) onde \(k\) é o número dos vizinhos de um vértice.
- Mostre que quando \(\Gamma\) é regular e conexo, então a \(\dim V_k=1\) (onde \(k\) é como no item anterior) e ache gerador para \(V_k\).
- Ache os autovalores de \(A_\Gamma\) no caso quando \(\Gamma\) é o grafo completo com \(n\) vértices.