Exercício 73.1 Seja \(f:V\to V\) um operador diagonalizável. Assuma que os autovalores distintos de \(f\) são \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). Mostre que \[
m_f(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k).
\]
Seja \(f:V \to V\) um operador diagonalizável com autovalores distintos \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\). Como \(f\) é diagonalizável, existe uma base de \(V\) formada por autovetores de \(f\). Assim, podemos escrever \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}\), onde \(V_{\lambda_i}\) é o autoespaço associado ao autovalor \(\lambda_i\).
Definição do polinômio mínimo: O polinômio mínimo \(m_f(t)\) é o menor polinômio mônico tal que \(m_f(f) = 0\). Como \(f\) é diagonalizável, o polinômio mínimo de \(f\) é dado pelo produto dos fatores lineares associados aos autovalores distintos de \(f\): \[
m_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k).
\]
Verificação: Para cada autovalor \(\lambda_i\), temos que \(f(v) = \lambda_i v\) para todo \(v \in V_{\lambda_i}\). Assim, \((f - \lambda_i \cdot \text{id}_V)(v) = 0\) para todo \(v \in V_{\lambda_i}\). Como \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}\), segue que \((f - \lambda_1 \cdot \text{id}_V) \cdots (f - \lambda_k \cdot \text{id}_V) = 0\) em todo \(V\). Portanto, \(m_f(t)\) anula \(f\).
Divisibilidade pelo fator \((t - \lambda_i)\): Pelo Lema 66.2, sabemos que o polinômio mínimo \(m_f(t)\) deve ser divisível por \((t - \lambda_i)\) para cada autovalor \(\lambda_i\) de \(f\). Assim, o polinômio mínimo é exatamente o produto dos fatores lineares \((t - \lambda_i)\) para todos os autovalores distintos \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\).
Conclusão: Como \(m_f(t)\) é o menor polinômio mônico que anula \(f\), concluímos que: \[
m_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k).
\]
Exercício 73.2 Seja \(R_\alpha:\R^2\to\R^2\) a rotação por \(\alpha\) graus em torno da origem no sentido anti-horário. É conhecido e não precisa provar que \(R_\alpha\) é linear.
- Escreva a matriz \(M_\alpha\) de \(R_\alpha\) na base canônica de \(\R^2\).
- Carateriza os ângulos \(\alpha\) para os quais \(R_\alpha\) é diagonalizável.
- Seja \(\overline R_\alpha:\C^2\to \C^2\) a complexificação de \(R_\alpha\) cuja matriz na base canônica é a mesma que a matriz de \(R_\alpha\). Mostre que \(\overline R_\alpha\) é diagonalizável e determine os seus autovetores e autovalores.
Matriz \(M_\alpha\) de \(R_\alpha\) na base canônica:
A rotação \(R_\alpha\) por \(\alpha\) graus em torno da origem no sentido anti-horário é representada na base canônica de \(\R^2\) pela matriz: \[
M_\alpha = \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha \\
\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}.
\]
Caracterização dos ângulos \(\alpha\) para os quais \(R_\alpha\) é diagonalizável:
Para que \(R_\alpha\) seja diagonalizável, precisamos de dois autovetores l.i. de \(M_\alpha\). Os autovalores de \(M_\alpha\) são as raízes do polinômio característico: \[
\det(tI - M_\alpha) = \det\begin{pmatrix}
t - \cos\alpha & \sin\alpha \\
-\sin\alpha & t - \cos\alpha
\end{pmatrix} = (t - \cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha = t^2 - 2t\cos\alpha + 1.
\] As raízes desse polinômio são: \[
t = \cos\alpha \pm i\sin\alpha.
\] Portanto \(R_\alpha\) possui autovalor real se e somente se \(\sin\alpha \neq 0\), ou seja, \(\alpha =0\) ou \(\alpha=\pi\) (assumindo que \(0\leq \alpha<2\pi\)). Se \(\alpha=0\), então \(R_\alpha=\mbox{id}_{\R^2}\) e quando \(\alpha=\pi\), então \(R_\alpha=-\mbox{id}_{\R^2}\) e nestes caso \(R_\alpha\) é diagonalizável. Caso contrário, \(R_\alpha\) não possui autovalor real e \(R_\alpha\) não é diagonalizável.
Diagonalizabilidade de \(\overline{R}_\alpha\) e determinação de autovalores e autovetores:
A complexificação \(\overline{R}_\alpha\) de \(R_\alpha\) tem a mesma matriz \(M_\alpha\) na base canônica, mas agora considerada sobre \(\C^2\). Os autovalores de \(\overline{R}_\alpha\) são: \[
\lambda_1 = \cos\alpha + i\sin\alpha, \quad \lambda_2 = \cos\alpha - i\sin\alpha.
\] Os autovetores associados são obtidos resolvendo \((M_\alpha - \lambda I)v = 0\) para cada autovalor:
- Para \(\lambda_1 = e^{i\alpha}\), o autovetor é \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}\).
- Para \(\lambda_2 = e^{-i\alpha}\), o autovetor é \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}\).
Assim, \(\overline{R}_\alpha\) é diagonalizável sobre \(\C\), com autovalores \(\lambda_1 = e^{i\alpha}\) e \(\lambda_2 = e^{-i\alpha}\), e autovetores \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}\) e \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}\).
Exercício 73.3 Seja \(A\in M_{n\times n}(\F)\) e considere o operador linear \(f_A:M_{n\times n}(\F)\to M_{n\times n}(\F)\), definido por \(f_A(B)=AB\). Será verdade que \(A\) e \(f_A\) possuem os mesmos autovalores? Será que \(A\) e \(f_A\) possuem o mesmo polinômio característico? Será que \(A\) e \(f_A\) possuem o mesmo polinômio mínimo?
Exercício 73.4 Sejam \(f:V\to V\) e \(v\in V\).
- Mostre que existe um único polinômio mônico não nulo de menor grau \(m_{f,v}(t)\) tal que \(m_{f,v}(f)(v)=0\).
- Mostre que \(m_{f,v}(t)\mid m_f(t)\).
Existência e unicidade de \(m_{f,v}(t)\):
Seja \(v \in V\). Considere a sequência \(v, f(v), f^2(v), \ldots\). Como \(V\) é de dimensão finita, essa sequência é linearmente dependente. Assim, existem escalares \(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_m \in \F\), não todos nulos, tais que: \[
\alpha_0 v + \alpha_1 f(v) + \cdots + \alpha_m f^m(v) = 0.
\] Defina o conjunto \(I_{f,v} = \{p(t) \in \F[t] \mid p(f)(v) = 0\}\). Pelo argumento em cima, \(I_{f,v}\neq \emptyset\). Usando o mesmo argumento que no Lema 66.1, obtemos que existe um único polinômio mônico \(m_{f,v}(t)\) de menor grau em \(I_{f,v}\) e \(I_{f,v}=m_{f,v}(t)\F[t]\). Assim, \(m_{f,v}(t)\) é o menor polinômio mônico tal que \(m_{f,v}(f)(v) = 0\), garantindo sua existência e unicidade.
Divisibilidade de \(m_{f,v}(t)\) por \(m_f(t)\):
Claramente, \(m_f(t)\in I_{f,v}=m_{f,v}(t)\F[t]\). Logo, \(m_{f,v}(t)\mid m_f(t)\).
Exercício 73.5 Seja \(p(t)=t^n+\alpha_{n-1} t^{n-1}+\cdots+\alpha_1 t+\alpha_0\in\F[t]\) um polinômio mônico e seja \(f:V\to V\) um operador com matriz \[
\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_0\\
1 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & - \alpha_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots &1 & -\alpha_{n-1}
\end{pmatrix}
\] em uma base \(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\).
- Mostre que \(m_{f,b_1}(t)=p(t)\).
- Deduza que \(m_f(t)=\mbox{pcar}(t)=p(t)\).
[A matriz no exercício chama-se matriz companheira do polinômio \(p(t)\).]
Prova de que \(m_{f,b_1}(t) = p(t)\):
Seja \(B = \{b_1, \ldots, b_n\}\) a base de \(V\) e considere a matriz companheira de \(p(t)\) dada no enunciado: \[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_0\\
1 & 0 & \cdots & 0 & -\alpha_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & -\alpha_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -\alpha_{n-1}
\end{pmatrix}.
\] O operador \(f\) atua sobre \(b_1\) como segue: \[
f(b_1) = b_2, \quad f(b_2) = b_3, \quad \ldots, \quad f(b_{n-1}) = b_n, \quad f(b_n) = -\alpha_0 b_1 - \alpha_1 b_2 - \cdots - \alpha_{n-1} b_n.
\] Assim, a sequência \(b_1, f(b_1), f^2(b_1), \ldots, f^{n-1}(b_1)\) é l.i, mas a sequência \(b_1, f(b_1), f^2(b_1), \ldots, f^{n-1}(b_1),f^n(b_1)\) satisfaz a relação: \[
f^n(b_1) + \alpha_{n-1} f^{n-1}(b_1) + \cdots + \alpha_1 f(b_1) + \alpha_0 b_1 = 0.
\] Isso mostra que \(p(f)(b_1) = 0\), ou seja, \(m_{f,b_1}(t) = p(t)\), pois \(p(t)\) é o menor polinômio mônico que anula \(b_1\).
Deduza que \(m_f(t) = \mbox{pcar}(t) = p(t)\):
Pelo Teorema 66.1, o polinômio mínimo \(m_f(t)\) divide o polinômio característico \(\mbox{pcar}_f(t)\). Além disso, como \(m_{f,b_1}(t) = p(t)\) e \(p(t)\) é de grau \(n\), segue que \(m_f(t)\) também é de grau \(n\). Como \(\mbox{pcar}_f(t)\) também é um polinômio mônico de grau \(n\), concluímos que: \[
m_f(t) = \mbox{pcar}_f(t) = p(t).
\]
Portanto, o polinômio mínimo, o polinômio característico e o polinômio \(p(t)\) coincidem neste caso.
Exercício 73.6 Seja \(f:V\to V\) um operador linear tal que \(fg=gf\) para todo \(g:V\to V\). Mostre que existe algum \(\lambda\in\F\) tal que \(f(v)=\lambda v\) para todo \(v\in V\).
Invariância de \(\mbox{Im}(g)\) sob \(f\):
Suponha que \(f\) e \(g\) comutam, ou seja, \(fg = gf\). Seja \(v \in \mbox{Im}(g)\). Então, existe \(u \in V\) tal que \(v = g(u)\). Aplicando \(f\) a \(v\), temos: \[
f(v) = f(g(u)) = g(f(u)),
\] onde usamos a comutatividade de \(f\) e \(g\). Como \(g(f(u)) \in \mbox{Im}(g)\), segue que \(f(v) \in \mbox{Im}(g)\). Portanto, \(\mbox{Im}(g)\) é \(f\)-invariante.
\(f\) age por multiplicação escalar em todo \(v\in V\):
A partir do item 1, sabemos que \(\mbox{Im}(g)\) é \(f\)-invariante para qualquer operador \(g\) que comuta com \(f\). Agora, considere um vetor não nulo \(v \in V\) e um operador \(g: V \to V\) cuja imagem é \(\langle v \rangle\), o subespaço gerado por \(v\). Como \(f\) comuta com \(g\), segue que \(\mbox{Im}(g) = \langle v \rangle\) é \(f\)-invariante. Isso implica que \(f(v) \in \langle v \rangle\), ou seja, \(f\) deixa \(\langle v \rangle\) invariante.
Como isso vale para qualquer vetor \(v \in V\), segue que para todo \(v\in V\), existe \(\lambda_v\in\F\) tal que \(f(v)=\lambda_vv\).
Igualdade de \(\lambda_v\) e \(\lambda_u\) para \(v, u \in V\):
A partir do item 2, sabemos que para todo \(v \in V\), existe \(\lambda_v \in \F\) tal que \(f(v) = \lambda_v v\). Precisa provar que \(\lambda_u=\lambda_v\) para todo \(u,v\in V\) não nulo. Suponha que \(u, v \in V\) são linearmente dependentes. Isso significa que existe um escalar \(c \in \F\) tal que \(v = c u\). Aplicando \(f\) a \(v\), temos: \[
f(v) = f(c u) = c f(u).
\] Como \(f(u) = \lambda_u u\), segue que: \[
f(v) = c (\lambda_u u) = \lambda_u (c u) = \lambda_u v.
\] Por outro lado, sabemos que \(f(v) = \lambda_v v\). Comparando as duas expressões para \(f(v)\), obtemos: \[
\lambda_v v = \lambda_u v.
\] Como \(v \neq 0\), podemos cancelar \(v\) e concluir que: \[
\lambda_v = \lambda_u.
\] Ora assuma que \(u\) e \(v\) são l.i. Neste caso, \[
f(v + u) = \lambda_v v + \lambda_u u.
\] Por outro lado, pelo item 2, \(f(v + u)\) também deve ser da forma \(\lambda_{v+u}(v + u)\), ou seja: \[
f(v + u) = \lambda_{v+u}(v + u).
\] Comparando as duas expressões, segue que: \[
\lambda_{v+u}(v + u) = \lambda_v v + \lambda_u u.
\] Como \(v\) e \(u\) são l.i., isso só é possível se \(\lambda_v = \lambda_u\) para todos os \(v, u \in V\).
Assim, concluímos que \(\lambda_v = \lambda\) é constante para todos os vetores \(v \in V\).
Exercício 73.7 Seja \(f:V\to V\) um operador linear e \(g:V\to V\) tal que \(fg=gf\). Lembre que um espaço \(U\leq V\) é \(g\)-invariante se \(g(u)\in U\) para todo \(u\in U\). Mostre que
- \(\ker f\) e \(\mbox{Im}(f)\) são \(g\)-invariantes.
- Os autoespaços \(V_\lambda\) de \(f\) são invariantes por \(g\).
\(\ker f\) e \(\mbox{Im}(f)\) são \(g\)-invariantes:
Invariância de \(\ker f\): Seja \(v \in \ker f\), ou seja, \(f(v) = 0\). Como \(fg = gf\), temos: \[
f(g(v)) = g(f(v)) = g(0) = 0.
\] Isso implica que \(g(v) \in \ker f\). Portanto, \(\ker f\) é \(g\)-invariante.
Invariância de \(\mbox{Im}(f)\): Seja \(v \in V\) e \(f(v) \in \mbox{Im}(f)\). Como \(fg = gf\), temos: \[
g(f(v)) = f(g(v)).
\] Isso mostra que \(g(f(v)) \in \mbox{Im}(f)\). Portanto, \(\mbox{Im}(f)\) é \(g\)-invariante.
Os autoespaços \(V_\lambda\) de \(f\) são invariantes por \(g\):
Seja \(\lambda \in \F\) um autovalor de \(f\) e \(v \in V_\lambda\), ou seja, \(f(v) = \lambda v\). Como \(fg = gf\), temos: \[
f(g(v)) = g(f(v)) = g(\lambda v) = \lambda g(v).
\] Isso implica que \(g(v) \in V_\lambda\). Portanto, \(V_\lambda\) é \(g\)-invariante.
Exercício 73.8 Seja \(f:V\to V\) diagonalizável com autovalores distintos \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). Assuma que \(d_1,\ldots,d_k\) são as multiplicidades de \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\). (Como \(f\) é diagonalizável, as multiplicidades geométricas e algébricas são iguais.) Seja \[
C(f)=\{g:V\to V\mid fg=gf\}.
\] Demonstre que \(C(f)\) é uma subalgebra de \(\mbox{End}(V)\) (ou seja, ele é um subespaço e é fechado para a composição de operadores) e que \[
\dim C(f)=\sum_{i=1}^k d_i^2.
\] Dê uma descrição de \(C(f)\). (A álgebra \(C(f)\) chama-se o centralizador de \(f\) em \(\mbox{End}(V)\).)
\(C(f)\) é um subespaço de \(\mbox{End}(V)\):
Para mostrar que \(C(f)\) é um subespaço de \(\mbox{End}(V)\), verificamos as seguintes propriedades:
- Fechamento sob adição: Se \(g, h \in C(f)\), então \(fg = gf\) e \(fh = hf\). Para \(g + h\), temos: \[
f(g + h) = fg + fh = gf + hf = (g + h)f.
\] Assim, \(g + h \in C(f)\).
- Fechamento sob multiplicação por escalares: Seja \(g \in C(f)\) e \(\alpha \in \F\). Então: \[
f(\alpha g) = \alpha fg = \alpha gf = (\alpha g)f.
\] Assim, \(\alpha g \in C(f)\).
Portanto, \(C(f)\) é um subespaço de \(\mbox{End}(V)\).
\(C(f)\) é fechado para a composição de operadores:
Seja \(g, h \in C(f)\). Então, \(fg = gf\) e \(fh = hf\). Para \(gh\), temos: \[
f(gh) = (fg)h = (gf)h = g(fh) = g(hf) = (gh)f.
\] Assim, \(gh \in C(f)\), o que mostra que \(C(f)\) é fechado para a composição de operadores.
Dimensão de \(C(f)\):
Como \(f\) é diagonalizável com autovalores distintos \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\), temos a decomposição de \(V\) como soma direta dos autoespaços: \[
V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}.
\] Seja \(g \in C(f)\). Como \(fg = gf\), segue que \(g\) preserva cada autoespaço \(V_{\lambda_i}\), ou seja, \(g(V_{\lambda_i}) \subseteq V_{\lambda_i}\) para todo \(i\). Assim, \(g\) pode ser representado como uma matriz bloco diagonal, onde cada bloco corresponde a uma transformação linear em \(V_{\lambda_i}\). Por outro lado, suponha que \(g\) preserva todos os autoespaços \(V_{\lambda_i}\). Isso significa que, para cada \(v \in V_{\lambda_i}\), temos \(g(v) \in V_{\lambda_i}\). Como \(f(v) = \lambda_i v\) para \(v \in V_{\lambda_i}\), temos: \[
f(g(v)) = \lambda_i g(v).
\] Por outro lado, como \(g(v) \in V_{\lambda_i}\), também temos: \[
g(f(v)) = g(\lambda_i v) = \lambda_i g(v).
\] Assim, \(f(g(v)) = g(f(v))\) para todo \(v \in V_{\lambda_i}\). Como \(V\) é a soma direta dos autoespaços \(V_{\lambda_i}\), segue que \(f(g(v)) = g(f(v))\) para todo \(v \in V\). Portanto, \(fg = gf\), ou seja, \(g \in C(f)\).
A dimensão de \(C(f)\) é dada pela soma das dimensões dos espaços de endomorfismos de cada \(V_{\lambda_i}\). Como \(\dim V_{\lambda_i} = d_i\), temos: \[
\dim C(f) = \sum_{i=1}^k \dim \mbox{End}(V_{\lambda_i}) = \sum_{i=1}^k d_i^2.
\]
Descrição de \(C(f)\):
O centralizador \(C(f)\) consiste em todos os operadores lineares \(g: V \to V\) que preservam a decomposição em autoespaços de \(f\). Explicitamente, \(g\) pode ser representado como uma matriz bloco diagonal, onde cada bloco é uma matriz arbitrária de dimensão \(d_i \times d_i\) correspondente ao autoespaço \(V_{\lambda_i}\).
Assim, temos: \[
C(f) = \bigoplus_{i=1}^k \mbox{End}(V_{\lambda_i}),
\] onde cada \(\mbox{End}(V_{\lambda_i})\) é o espaço de todas as transformações lineares em \(V_{\lambda_i}\).
Exercício 73.9 Seja \(\Gamma\) um grafo não direcionado com vertices \(\{1,\ldots,n\}\) sem arrestas múltiplas e sem laços. A matriz de adjacência \(A_\Gamma=(a_{i,j})\) é definida como a matriz \(n\times n\) com entrada \(a_{i,j}=1\) se e somente se os vértices \(i\) e \(j\) são adjacentes; caso contrário \(a_{i,j}=0\). Como \(A_\Gamma\) é uma matriz simétrica, sabe-se de Álgebra Linear I que os autovalores de \(A_\Gamma\) são números reais e seja \(\lambda_1\) o maior autovalor.
- Mostre que \(\lambda_1\) é menor ou igual que o máximo entre os graus (número de vizinhos) dos vertices de \(v\).
- O grafo \(\Gamma\) é dito regular, se cada vértice tem o mesmo grau (ou seja, o mesmo número de vizinhos). Mostre que se \(\Gamma\) for regular, então \(\lambda_1=k\) onde \(k\) é o número dos vizinhos de um vértice.
- Mostre que quando \(\Gamma\) é regular e conexo, então a \(\dim V_k=1\) (onde \(k\) é como no item anterior) e ache gerador para \(V_k\).
- Ache os autovalores de \(A_\Gamma\) no caso quando \(\Gamma\) é o grafo completo com \(n\) vértices.
Prova de que \(\lambda_1 \leq \max \deg(v)\):
Seja \(x \in \R^n\) um autovetor associado ao maior autovalor \(\lambda_1\) de \(A_\Gamma\), com \(\|x\| = 1\). Então, temos: \[
\lambda_1 = x^\top A_\Gamma x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_i x_j.
\] Como \(a_{i,j} = 1\) se e somente se os vértices \(i\) e \(j\) são adjacentes, podemos reescrever a soma como: \[
\lambda_1 = \sum_{i=1}^n x_i \sum_{j \sim i} x_j,
\] onde \(j \sim i\) indica que \(j\) é vizinho de \(i\). Pelo valor absoluto, temos: \[
|\lambda_1| \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \cdot \deg(i) \cdot \max |x_j| \leq \max \deg(v).
\] Assim, \(\lambda_1 \leq \max \deg(v)\).
Prova de que \(\lambda_1 = k\) quando \(\Gamma\) é regular:
Se \(\Gamma\) é regular, todos os vértices têm o mesmo grau \(k\). Para qualquer vetor constante \(x = (1, 1, \ldots, 1)^\top\), temos: \[
A_\Gamma x = kx,
\] pois cada vértice tem exatamente \(k\) vizinhos. Assim, \(x\) é um autovetor associado ao autovalor \(\lambda_1 = k\). Como \(\lambda_1\) é o maior autovalor, segue que \(\lambda_1 = k\).
Prova de que \(\dim V_k = 1\) quando \(\Gamma\) é regular e conexo: Let \(x\) be an eigenvector of \(A_\Gamma\) with eigenvalue \(\lambda_1 = k\), and assume \(|x_i|\) is the largest among all entries of \(x\). Without loss of generality, let \(|x_i| = 1\). For each vertex \(j\) adjacent to \(i\), we have the eigenvector equation: \[
(A_\Gamma x)_i = k x_i.
\] Expanding the left-hand side, we get: \[
\sum_{j \sim i} x_j = k x_i,
\] where the sum is over all vertices \(j\) adjacent to \(i\). Since \(|x_i| = 1\) is the largest, we must have \(|x_j| \leq |x_i| = 1\) for all \(j\). For the equality to hold in the sum, it must be the case that \(x_j = x_i\) for all \(j\) adjacent to \(i\). Thus, \(x_i = x_j\) for all \(j \sim i\). Agora, repita o argumento para os vertices que são adjacentes com \(j\), e depois para os vertices que são adjacentes com os vizinhos de \(j\). Como \(\Gamma\) é conexo, vamos atingir todo vértices de \(\Gamma\) que implica que \(x_i=x_j\) para todo \(j\).
Autovalores de \(A_\Gamma\) para o grafo completo:
No caso do grafo completo com \(n\) vértices, cada vértice tem grau \(n-1\). A matriz de adjacência \(A_\Gamma\) é dada por: \[
A_\Gamma = J_n - I_n,
\] onde \(J_n\) é a matriz \(n \times n\) de todos os \(1\)s e \(I_n\) é a matriz identidade. O maior autovalor de \(A_\Gamma\) é \(\lambda_1 = n-1\), com autovetor \(x = (1, 1, \ldots, 1)^\top\). Os outros autovalores são \(\lambda_2 = \lambda_3 = \cdots = \lambda_n = -1\), pois \(J_n\) tem posto \(1\) e \(I_n\) subtrai \(1\) da diagonal.
Exercício 73.10 Deduza do Teorema da Decomposição Primária que um endomorfismo \(f:V\to V\) é diagonalizável se e somente se \[
m_f(t)=(t-\lambda_1)\cdots (t-\lambda_k)
\] com \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in \F\) distintos.
Se \(f\) é diagonalizável, então \(m_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k)\) com \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) distintos:
Se \(f\) é diagonalizável, existe uma base de \(V\) formada por autovetores de \(f\). Assim, podemos escrever \(V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}\), onde \(V_{\lambda_i}\) é o autoespaço associado ao autovalor \(\lambda_i\). Por Lema 66.2, segue que \(t-\lambda_i\) divide \(m_{f}(t)\) e assim \(\prod_i(t-\lambda_i)\) divide \(m_f(t)\). Por outro lado, se \(v\in V_{\lambda_j}\), e como os operadores \(f-\lambda_i\mbox{id}_V\) comutam, temos que \[
\prod_{i=1}^k(f-\lambda_i\mbox{id}_V)(v)=0.
\] Como isso vale para todo autovetor de \(f\) e \(V\) é soma direta dos autoespaços de \(f\), temos que \(\prod_i(f-\lambda_i\mbox{id}_V)=0\). Logo, \(\prod_i(t-\lambda_i)=m_f(t)\).
Se \(m_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k)\) com \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) distintos, então \(f\) é diagonalizável:
Suponha que \(m_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k)\), com \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) distintos. Pelo Teorema da Decomposição Primária, temos que: \[
V = \ker(f - \lambda_1 \text{id}_V) \oplus \cdots \oplus \ker(f - \lambda_k \text{id}_V).
\] Cada \(\ker(f - \lambda_i \text{id}_V)\) é o autoespaço associado ao autovalor \(\lambda_i\). Assim, \(V\) é soma direta de autoespaços e \(f\) é diagonalizável.
Conclusão:
Pelo Teorema da Decomposição Primária, \(f\) é diagonalizável se e somente se o polinômio mínimo de \(f\) é da forma: \[
m_f(t) = (t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k),
\] com \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \F\) distintos.
Exercício 73.11 Seja \(p:V\to V\) uma projeção e \(f:V\to V\) um endomorfismo qualquer. Mostre que \(pf=fp\) se e somente se \(\ker p\) e \(\mbox{Im}(p)\) são \(f\)-invariantes.
Se \(pf = fp\), então \(\ker p\) e \(\mbox{Im}(p)\) são \(f\)-invariantes:
Invariância de \(\ker p\): Seja \(v \in \ker p\), ou seja, \(p(v) = 0\). Aplicando \(p\) a \(f(v)\), temos: \[
p(f(v)) = (pf)(v) = (fp)(v) = f(p(v)) = f(0) = 0.
\] Isso implica que \(f(v) \in \ker p\). Portanto, \(\ker p\) é \(f\)-invariante.
Invariância de \(\mbox{Im}(p)\): Seja \(v \in V\) e \(p(v) \in \mbox{Im}(p)\). Aplicando \(p\) a \(f(p(v))\), temos: \[
p(f(p(v))) = (pf)(p(v)) = (fp)(p(v)) = f(p(p(v))) = f(p(v)).
\] Isso mostra que \(f(p(v)) \in \mbox{Im}(p)\). Portanto, \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante.
Se \(\ker p\) e \(\mbox{Im}(p)\) são \(f\)-invariantes, então \(pf = fp\):
- Seja \(v \in V\). Podemos escrever \(v = u + w\), onde \(u \in \ker p\) e \(w \in \mbox{Im}(p)\). Como \(p\) é uma projeção, temos \(p(u) = 0\) e \(p(w) = w\).
- Aplicando \(pf\) a \(v\), temos: \[
pf(v) = pf(u + w) = pf(u) + pf(w).
\] Como \(u \in \ker p\), temos \(pf(u) = p(f(u)) = 0\) (pois \(\ker p\) é \(f\)-invariante). Como \(w \in \mbox{Im}(p)\), temos \(pf(w) = p(f(w)) = f(p(w))\) (pois \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante). Assim: \[
pf(v) = 0 + f(p(w)) = f(p(u + w)) = f(p(v)).
\] Portanto, \(pf = fp\).
Conclusão:
Mostramos que \(pf = fp\) se e somente se \(\ker p\) e \(\mbox{Im}(p)\) são \(f\)-invariantes.
Exercício 73.12 Um endomorfismo \(f:V\to V\) é dito triangularizável se existe uma base \(B\) de \(V\) tal que \([f]_B^B\) é matriz triangular superior. Deduza do Teorema da Decomposição Primária, que \(f\) é triangularizável se e somente se \[
m_f(t)=(t-\lambda_1)\cdots (t-\lambda_k)
\] com \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\F\) não necessáriamente distintos.
Se \(f\) é triangularizável, então \(m_f(t)\) é produto de fatores lineares:
Suponha que \(f\) seja triangularizável. Isso significa que existe uma base \(B\) de \(V\) tal que \([f]_B^B\) é uma matriz triangular superior. O polinômio característico de uma matriz triangular superior é o produto dos fatores lineares \((t - \lambda_i)\), onde \(\lambda_i\) são os elementos da diagonal. Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, o polinômio mínimo \(m_f(t)\) divide o polinômio característico e, portanto, também é um produto de fatores lineares.
Se \(m_f(t)\) é produto de fatores lineares, então \(f\) é triangularizável:
Suponha que o polinômio mínimo de \(f\) seja da forma: \[
m_f(t) = (t - \lambda_1)^{m_1} \cdots (t - \lambda_k)^{m_k},
\] com \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \F\) distintos. Pelo Teorema da Decomposição Primária, o espaço \(V\) pode ser escrito como uma soma direta dos autoespaços generalizados: \[
V = \bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i},
\] onde \(V_{\lambda_i} = \ker((f - \lambda_i \cdot \text{id})^{m_i})\) é o autoespaço generalizado associado ao autovalor \(\lambda_i\).
Triangularizabilidade de operadores nilpotentes: Pelo Teorema da Decomposição Primária, em cada subespaço \(V_{\lambda_i}\) é \(f\)-invariante e o polinômio minimal da restrição \(f_i\) de \(f\) para \(V_{\lambda_i}\) é \((t-\lambda_i)^{m_i}\). Logo, o operador \(f_i - \lambda_i \cdot \text{id}_{V_{\lambda_i}}\) é nilpotente. Pelo argumento apresentado nas notas de aula ou no Exercício 73.17, operadores nilpotentes são triangularizáveis. Assim, \(f_i-\lambda_i\text{id}_{V_{\lambda_i}}\) é triangularizável em \(V_{\lambda_i}\). Daqui, segue que \(f_i=f_i-\lambda_i\text{id}_{V_{\lambda_i}}+\lambda_i\text{id}_{V_{\lambda_i}}\) também é triangularizável em \(V_{\lambda_i}\).
Triangularizabilidade de \(f\) em \(V\): Como \(V\) é a soma direta dos subespaços \(V_{\lambda_i}\) \(f\)-invariantes e \(f\) é triangularizável em cada \(V_{\lambda_i}\). Se escolhemos bases \(B_i\) para cada \(V_{\lambda_i}\) tais que \([f_i]_{B_i}^{B_i}\) é triangular, \(B=B_1\cup\cdots\cup B_k\) é base de \(V\) tal que \([f]^B_B\) é triangular. Segue que \(f\) é triangularizável em \(V\).
Conclusão:
Pelo argumento acima, mostramos que \(f\) é triangularizável se e somente se o polinômio mínimo \(m_f(t)\) é um produto de fatores lineares da forma \((t - \lambda_1) \cdots (t - \lambda_k)\), com \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \F\).
Exercício 73.13 Deduza do Exercício 73.12 que no caso de \(\F=\C\), todo endomorfismo \(f:V\to V\) é triangularizável e ache um endomorfismo \(\R^2\to \R^2\) que não seja triangularizável.
Triangularizabilidade de \(f\) sobre \(\C\):
Pelo Exercício 73.12 e pelo Teorema Espectral (Teorema 68.2), sabemos que, no caso de \(\F = \C\), todo endomorfismo \(f: V \to V\) é triangularizável. Isso ocorre porque o polinômio mínimo \(m_f(t)\) de \(f\) pode ser fatorado como um produto de fatores lineares da forma \((t - \lambda_i)\), onde \(\lambda_i \in \C\) são os autovalores de \(f\).
Exemplo de um endomorfismo em \(\R^2\) que não é triangularizável:
Considere o endomorfismo \(f: \R^2 \to \R^2\) definido por: \[
f(x, y) = (-y, x).
\] A matriz de \(f\) na base canônica é: \[
[f] = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\] O polinômio característico de \(f\) é: \[
\mbox{pcar}_f(t) = \det(tI - [f]) = \det\begin{pmatrix}
t & 1 \\
-1 & t
\end{pmatrix} = t^2 + 1.
\] O polinômio mínimo de \(f\) também é \(m_f(t) = t^2 + 1\). Note que \(t^2 + 1\) não pode ser fatorado em \(\R\), pois não possui raízes reais. Assim, \(f\) não possui autovalores reais e, portanto, não é triangularizável sobre \(\R\).
Conclusão:
- Sobre \(\C\), todo endomorfismo é triangularizável.
- Sobre \(\R\), o endomorfismo \(f(x, y) = (-y, x)\) é um exemplo de um operador que não é triangularizável, pois seu polinômio mínimo não pode ser fatorado em fatores lineares sobre \(\R\).
Exercício 73.14 Seja \(p:V\to V\) uma projeção e \(f:V\to V\) um operador arbitrário. Mostre que \(\mbox{Im}(p)\) é invariante por \(f\) se e somente se \(pfp=fp\).
Se \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante, então \(pfp = fp\):
Suponha que \(\mbox{Im}(p)\) seja \(f\)-invariante. Isso significa que, para todo \(v \in V\), temos \(f(p(v)) \in \mbox{Im}(p)\). Como \(p\) é a projeção sobre \(\mbox{Im}(p)\), segue que \(p(f(p(v))) = f(p(v))\). Assim, \(pfp = fp\).
Se \(pfp = fp\), então \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante:
Suponha agora que \(pfp = fp\). Para mostrar que \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante, seja \(v \in \mbox{Im}(p)\). Isso significa que existe \(u \in V\) tal que \(v = p(u)\). Aplicando \(f\) a \(v\), temos: \[
f(v) = f(p(u)).
\] Usando a hipótese \(pfp = fp\), obtemos: \[
p(f(v)) = p(f(p(u))) = f(p(u)) = f(v).
\] Isso mostra que \(f(v) \in \mbox{Im}(p)\), ou seja, \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante.
Conclusão:
Mostramos que \(\mbox{Im}(p)\) é \(f\)-invariante se e somente se \(pfp = fp\).
Exercício 73.15 Seja \(f:V\to V\) um operador tal que \(f\) comuta com toda projeção \(p:V\to V\). O que pode dizer sobre \(f\)?
Seja \(v\in V\) não nulo e seja \(p\) uma projeção tal que \(\mbox{Im}(p)=\left<v\right>\). Como \(f\) comuta com toda projeção, \(f\) comuta com \(p\), e \(mbox{Im}(p)=\left<v\right>\) é \(f\)-invariante (@ex-f-invar). Ora, o argumento no Exercício 73.6 mostra que \(f=\lambda\text{id}_V\).
Exercício 73.16 Seja \(f(t)=\alpha_k t^k+\alpha_{k-1}t^{k-1}+\cdots+\alpha_1 t+\alpha_0\in \F[t]\) e \(p:V\to V\) uma projeção. Determine \(f(p)\).
Exercício 73.17 Seja \(f: V\to V\) um endomorfismo nilpotente. Mostre que existe uma base \(B\) de \(V\) tal que \([f]_B^B\) está na forma triangular superior com zeros na diagonal.
Exercício 73.18 Seja \(f:\R^4\to \R^4\) dado pela segiuinte matriz na base canônica: \[
\begin{pmatrix} 0 & -9 & -7 & -5\\1 & 6 & 4 & 4\\ -2 & -11 & -7 & -7\\ -1 & 3 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\]
- Mostre que \(f\) é nilpotente e determine o grau de nilpotência de \(f\).
- Ache uma base \(B\) de \(\R^4\) tal que a matriz de \(f\) nesta base é triangular superior com zeros na diagonal.
Exercício 73.19 Seja \(f:V\to V\) um endomorfismo de \(V\) sobre um corpo qualquer de caraterística diferente de \(2\) tal que \(f^2=\mbox{id}_V\).
- Mostre que existe uma base \(B\) de \(V\) na qual a matriz de \(f\) é diagonal com \(1\) ou \(-1\) na diagonal.
- Mostre que a afirmação do item anterior é falsa sobre caraterística \(2\).
Prova para característica diferente de \(2\):
Seja \(f: V \to V\) um endomorfismo tal que \(f^2 = \mbox{id}_V\). Isso implica que \(f\) é uma involução, ou seja, \(f \circ f = \mbox{id}_V\). Vamos mostrar que existe uma base \(B\) de \(V\) na qual a matriz de \(f\) é diagonal com \(1\) ou \(-1\) na diagonal.
Os autovalores de \(f\) são raízes de \(m_f(t)\): Pelo Lema 66.2, sabemos que os autovalores de \(f\) são raízes do polinômio mínimo \(m_f(t)\). Como \(f^2 = \mbox{id}_V\), temos que \(m_f(t)\) divide o polinômio \(t^2 - 1\). Assim, as únicos autovores possíveis de \(f\) são \(\lambda = 1\) e \(\lambda = -1\).
Autoespaços de \(f\): Defina os autoespaços \(V_1 = \ker(f - \mbox{id}_V)\) e \(V_{-1} = \ker(f + \mbox{id}_V)\). Se \(\F\) tem caraterística diferente de \(2\), temos que \(V_1\cap V_{-1}=0\). Esses subespaços são \(f\)-invariantes. Para \(v\in V\), escreva \[
v=\frac{v+f(v)}2+\frac{v-f(v)}2.
\] Note que o primeiro termo desta decomposição está em \(V_1\) e o segundo está em \(V_{-1}\), Logo \(V=V_1+V_{-1}\) e \(V=V_1\oplus V_{-1}\). Como \(V\) é soma direta de autoespaços, temos que \(f\) é diagonalizável.
Contraexemplo para característica \(2\):
Agora, considere o caso em que o corpo \(\F\) tem característica \(2\). Nesse caso, \(1 = -1\) em \(\F\), e o polinômio \(t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)\) se reduz a \(t^2 - 1 = (t - 1)^2\). Isso significa que \(f\) não é necessariamente diagonalizável, pois \(f\) possui dois autovalores distintos.
- Exemplo: Seja \(V = \F^2\) e \(f: V \to V\) definido por: \[
[f] = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\] Aqui, \(f^2 = \mbox{id}_V\), mas \(f\) não é diagonalizável, pois a matriz de \(f\) não pode ser reduzida a uma forma diagonal. O único autovalor de \(f\) é \(1\), mas o autoespaço associado tem dimensão \(1\), enquanto \(\dim V = 2\).
Portanto, a afirmação do item 1 é falsa em característica \(2\).
Exercício 73.20 Seja \(f:V\to V\) um endomorphismo nilpotente. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
- \(V\) é \(f\)-cíclico;
- \(\mbox{pcar}_f(t)=m_f(t)\);
- existe \(v\in V\) tal que \(\mbox{pcar}_f(t)=m_{f,v}(t)\).
Prova de que (1) \(\implies\) (2):
Suponha que \(V\) é \(f\)-cíclico. Isso significa que existe \(v \in V\) tal que \(V = \langle v, f(v), f^2(v), \ldots \rangle\). Nesse caso, o espaço \(V\) é gerado pelos vetores \(v, f(v), f^2(v), \ldots, f^{m-1}(v)\), onde \(m\) é o menor inteiro positivo tal que \(f^m(v) = 0\). Assim, a matriz de \(f\) na base \(\{v, f(v), \ldots, f^{m-1}(v)\}\) tem a forma: \[
[f]_B^B = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}.
\] Nesse caso, o polinômio característico de \(f\) é \(\mbox{pcar}_f(t) = t^m\). Além disso, temos que \(m_{f,v}(t)=t^m\) also. Como \[
m_{f,v}(t)\mid m_f(t)\mid \mbox{pcar}(t)
\] temos que os três polinîmios são iguais e o polinômio mínimo de \(f\) também é \(m_f(t) = t^m\). Portanto, \(\mbox{pcar}_f(t) = m_f(t)\).
Prova de que (2) \(\implies\) (3):
Suponha que \(\mbox{pcar}_f(t) = m_f(t)\). Como \(f\) é nilpotente, temos que \(\mbox{pcar}_f(t) = m_f(t)=t^m\) com algum \(m\).
Se \(v\in V\), então \(m_{f,v}(t)=t^{m_v}\) com \(m_v\leq m\). Se \(m_v\leq m-1\) para todo \(v\), então \(f^{m-1}(v)=0\) para todo \(v\in V\), e \(f^{m-1}=0\). Mas isso contradiz ao fato que \(m_f(t)=t^m\). Portanto existe \(v\in V\) tal que \(m_{f,v}(t)=t^m\).
Prova de que (3) \(\implies\) (1):
Suponha que existe \(v \in V\) tal que \(\mbox{pcar}_f(t) = m_{f,v}(t)\). Isso significa que \(v,f(v),f^2(v),\ldots,f^{m-1}(v)\) são l.i. e \(v\) gera um espaço \(f\)-cíclico \(U = \langle v, f(v), f^2(v), \ldots \rangle\) tal que \(\dim U = \deg m_{f,v}(t)\). Como \(\mbox{pcar}_f(t) = m_{f,v}(t)\), segue que \(\dim U = \dim V\). Portanto, \(V = U\), e \(V\) é \(f\)-cíclico.
Conclusão:
Mostramos que as três afirmações são equivalentes:
- \(V\) é \(f\)-cíclico;
- \(\mbox{pcar}_f(t) = m_f(t)\);
- Existe \(v \in V\) tal que \(\mbox{pcar}_f(t) = m_{f,v}(t)\).
Exercício 73.21 Seja \(f:V\to V\) um endomorphismo e assuma que \(V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k\) onde todo \(V_i\) é \(f\)-invariante. Seja \(f_i=f|_{V_i}\). Mostre que \[\begin{align*}
\mbox{pcar}_f(t)&=\mbox{pcar}_{f_1}(t)\cdots \mbox{pcar}_{f_k}(t);\\
m_f(t)&=\mbox{MMC}(m_{f_1}(t),\ldots, m_{f_k}(t)).
\end{align*}\]
Exercício 73.22 Seja \(f:V\to V\) com polinômio mínimo \[
m_f(t)=(t-\lambda_1)^{\alpha_1}\cdots (t-\lambda_k)^{\alpha_k}.
\] Seja \(\lambda=\lambda_j\) e \(\alpha=\alpha_j\) com algum \(j\). Assuma, para \(i\in\{1,\ldots,\alpha\}\) que a forma normal de Jordan de \(f\) tem \(\mu_i\) blockos \(i\times i\) com o autovalor \(\lambda\) e seja \(\delta_i=\dim\ker(f-\lambda\mbox{id}_V)^i\).
- Mostre que \[\begin{align*}
\mu_1+\mu_2+\mu_3+\cdots+\mu_{\alpha-1}+\mu_\alpha&=\delta_1\\
\mu_1+2\mu_2+2\mu_3+\cdots+2\mu_{\alpha-1}+2\mu_\alpha&=\delta_2\\
\mu_1+2\mu_2+3\mu_3+\cdots+3\mu_{\alpha-1}+3\mu_\alpha&=\delta_3\\
&\vdots\\
\mu_1+2\mu_2+3\mu_3+\cdots+(\alpha-1)\mu_{\alpha-1}+(\alpha-1)\mu_\alpha&=\delta_{\alpha-1}\\
\mu_1+2\mu_2+3\mu_3+\cdots+(\alpha-1)\mu_{\alpha-1}+\alpha\mu_\alpha&=\delta_{\alpha}
\end{align*}\]
- Mostre que o sistema no item anterior tem única solução.
- Deduza a unicidade da forma normal de Jordan para \(f\).
[Dica: Consulte as apostilas do Rodney.]
Exercício 73.23 Assuma que \(\dim V=10\) and \(f:V\to V\) é linear com \[
m_f(t)=(t-1)(t+1)^3(t-2)^3.
\]
- Quais são as possibilidades para os blocos de Jordan na decomposição de \(f\)?
- Qual é o polinômio caraterístico de \(f\) nos casos listados no item anterior?
Possibilidades para os blocos de Jordan:
O polinômio mínimo de \(f\) é dado por: \[
m_f(t) = (t-1)(t+1)^3(t-2)^3.
\] Pelo Corolário 69.2, sabemos que os blocos de Jordan de \(f\) correspondem aos autovalores \(1\), \(-1\), e \(2\), e que o maior tamanho de bloco associado a cada autovalor é determinado pela maior potência de \((t-\lambda)\) que aparece em \(m_f(t)\). Assim:
- Para \(\lambda = 1\), há apenas blocos \(1 \times 1\).
- Para \(\lambda = -1\), o maior bloco associado tem tamanho \(3\times 3\)
- Para \(\lambda = 2\), o maior bloco é de tamanho \(3 \times 3\).
Além disso, os tamanhas dos blocos têm de somar 10.
As possibilidades para os blocos são:
- \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_{3}(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)^4(t+1)^3(t-2)^3\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_{3}(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)^3(t+1)^4(t-2)^3\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(2)\), \(J_{3}(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)^3(t+1)^3(t-2)^4\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_1(2)\), \(J_{3}(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)^2(t+1)^4(t-2)^4\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_2(-1)\), \(J_{3}(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)^2(t+1)^5(t-2)^3\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(1)\), \(J_2(2)\), \(J_{3}(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)^2(t+1)^3(t-2)^5\).
- \(J_1(1)\), \(J_3(-1)\), \(J_3(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^6(t-2)^3\).
- \(J_1(1)\), \(J_3(-1)\), \(J_3(2)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^3(t-2)^6\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_2(-1)\), \(J_3(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^6(t-2)^3\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_3(-1)\), \(J_2(2)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^4(t-2)^5\).
- \(J_1(1)\), \(J_3(-1)\), \(J_1(2)\), \(J_2(2)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^3(t-2)^6\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_1(-1)\), \(J_1(-1)\), \(J_3(-1)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^6(t-2)^3\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_1(-1)\), \(J_3(-1)\), \(J_1(2)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^5(t-2)^4\).
- \(J_1(1)\), \(J_1(-1)\), \(J_3(-1)\), \(J_1(2)\), \(J_1(2)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^4(t-2)^5\).
- \(J_1(1)\), \(J_3(-1)\), \(J_1(2)\), \(J_1(2)\), \(J_1(2)\), \(J_3(2)\); \(\mbox{pcar}(t)=(t-1)(t+1)^3(t-2)^6\).
Exercício 73.24 Usando a notação introduzida na Seção 72.2, seja \(V\) um \(\R\)-espaço vetorial e considere a complexificação \(V_\C=\C\otimes V\). Seja \(W\leq \C\otimes V\) e ponha \[
\mbox{Re}(W)=\{\mbox{Re}(w)\mid w\in W\}\quad\mbox{e}\quad \mbox{Im}(W)=\{\mbox{Im}(w)\mid w\in W\}.
\] Mostre que as seguintes são equivalentes.
- \(W\) é \(\varepsilon\)-invariante;
- \(\mbox{Re}(W)\) e \(\mbox{Im}(W)\) são \(\R\)-subespaços de \(W\);
- \(W=\mbox{Re}(W)\oplus \mbox{Im}(W)\) considerado como \(\R\)-subespaço.