7  Lista de Exercícios

Exercício 7.1 Sejam \(A=\{0,2,4\}\) e \(B=\{1,2,3,4\}\). Faça uma lista dos elementos de \(A\times A\), \(A\times B\), \(B\times A\) e \(B\times B\).

Exercício 7.2 Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) conjuntos.

  1. O que pode dizer sobre \(\emptyset\times A\) e \(A\times \emptyset\)? Justifique.
  2. Demonstre que \(B=C\) se e somente se \(\forall A:A\times B=A\times C\).
  3. Assumindo que \(A\times B=B\times A\), o que pode dizer sobre \(A\) e \(B\)?

Exercício 7.3 Demonstre as seguintes igualdades para conjuntos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\):

  1. \((A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)\);
  2. \((A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)\);
  3. \(A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\);
  4. \(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\);
  5. \((A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)\).

Exercício 7.4 Sejam \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) conjuntos. Será que a igualdade \[ (A\times B)\cup (C\times D)=(A\cup B)\times (B\cup D) \] é sempre verdadeira. Se sim, dê prova; se não, dê contraexemplo.

Exercício 7.5 Seja \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\). Faça uma lista dos pares ordenados que pertencem às seguintes relações:

  1. igualdade (\(=\))
  2. menor (\(<\))
  3. menor ou igual (\(\leq\))
  4. divisor (\(\mid\))

Exercício 7.6 Seja \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\). Dê exemplo de relação \(R\) no conjunto \(A\) para cada item que satisfaz as propriedades indicadas no item.

  1. \(R\) é reflexiva, mas não é simétrica.
  2. \(R\) é simétrica, mas não é reflexiva.
  3. \(R\) é simétrica e antisimétrica.

Exercício 7.7 Determine quais das seguintes relações são reflexivas, simétricas, antisimétricas, ou transitivas no conjunto \(\mathbb R\):

  1. \(aRb\) se e somente se \(a-b\leq 1\);
  2. \(aRb\) se e somente se \(|a-b|\leq 1\);
  3. \(aRb\) se e somente se \(a-b\) é inteiro;
  4. \(aRb\) se e somente se \(a^2+b^2=0\);
  5. \(aRb\) se e somente se \(a^2+b^2=1\);
  6. \(aRb\) se e somente se \(a-b\) é irracional.

Exercício 7.8 Sejam \(R\) e \(Q\) duas relações em um conjunto \(A\). Considere \(R\cup Q\) e \(R\cap Q\) como relações em \(A\) e demonstre as seguintes afirmações.

  1. Se \(R\) e \(Q\) são reflexivas, então \(R\cup Q\) e \(R\cap Q\) são reflexivas.
  2. Se \(R\) e \(Q\) são simétricas, então \(R\cup Q\) e \(R\cap Q\) são simétricas.
  3. Se \(R\) e \(Q\) são transitivas, então \(R\cap Q\) é transitiva, mas \(R\cup Q\) pode não ser transitiva.

Exercício 7.9 Um aluno gostaria de provar que se \(R\) é uma relação transitiva e simétrica sobre um conjunto \(A\), então \(R\) é reflexiva. O aluno fez o seguinte argumento:

Seja \(R\) uma relação transitiva e simétrica sobre um conjunto \(A\). Assuma que \(a\in A\) é um elemento qualquer. Seja \(b\in A\) tal que \(aRb\). Como \(R\) é simétrica, temos que \(bRa\). Como \(R\) é transitiva, \(aRb\) e \(bRa\) implicam que \(aRa\). Portanto, provamos para um elemento \(a\in A\) qualquer que \(aRa\) e assim \(R\) é reflexiva.

  1. Será que a prova do aluno está certa? Critique a resposta.
  2. Se você não concorda com o argumento do aluno, dê exemplo explícito de uma relação \(R\) que seja transitiva e simétrica, mas não é reflexiva.