79 SO₂ e SO₃

Vamos estudar com mais detalhes os grupos $S O_{2}$ e $S O_{3}$ . Seja $f : R^{2} \to R^{2}$ uma transformação ortogonal e seja $A$ a sua matriz na base canônica. Assuma que $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ Note que $a^{2} + c^{2} = 1$ e assim, podemos assumir sem perder generalidade que $a = \cos α$ e $b = sen α$ com algum ângulo $α$ . Além disso, $(a, c) ⊥ (b, d)$ e temos que $(b, d) = (- sen α, \cos α)$ ou $(b, d) = (sen α, - \cos α)$ . Obtivemos o seguinte resultado

Teorema 79.1 Seja $A \in O_{2}$ uma matriz ortogonal. Então, existe um ângulo $α \in [0, 2 π)$ tal que $A = (\begin{matrix} \cos α & - sen α \\ sen α & \cos α \end{matrix})$ ou $A = (\begin{matrix} \cos α & sen α \\ sen α & - \cos α \end{matrix}) .$ Além disso, $A \in S O_{2}$ se e somente se $A$ é como no primeiro caso.

Note que a primeira matriz da teorema anterior é a matriz de uma rotação por $α$ ao redor da origem no sentido antihorário. A segunda matriz é a matriz da reflexão em relação a um eixo que tem ângulo $α / 2$ com o eixo $x$ .

Teorema 79.2 Uma transformação de $O_{2}$ ou é uma rotação ao redor da origem ou uma reflexão em relação a um eixo que passa pela origem. As transformações de $S O_{2}$ são precisamente as rotações ao redor da origem e as transformações com determinante $- 1$ são as reflexões.

Exercício 79.1 Seja $R_{α} : R^{2} \to R^{2}$ o elemento de $S O_{2}$ realizada pela rotação por ângulo $α$ . Seja $z_{α} = \cos α + i sen = \exp (i α), α \in R$ Denote por $S^{1}$ o círculo $S^{1} = {z \in C ∣ | z | = 1}$ e defina $f : S O_{2} \to S^{1}$ pela regra $R_{α} \mapsto z_{α}$ . Demonstre que

$f$ é uma bijeção;
$f (R_{α} R_{β}) = f (R_{α}) f (R_{β})$ para todo $R_{α}, R_{β} \in S O_{2}$ .

Na linguávem algébrica, podemos dizer que $S O_{2}$ e $S^{1}$ são grupos isomorfos.

Exercício 79.2 Sejam $φ$ e $ψ$ ângulos. Seja $Rot (φ)$ a rotação em $S O_{2}$ por $α$ graus e $Ref (ψ)$ a reflexão pelo eixo que passa pela origem e tem ângulo $ψ$ com o eixo $x$ . Demonstre que

$Rot (φ) Rot (ψ) = Rot (φ + ψ)$
$Ref (ψ) Ref (φ) = Rot (2 (ψ - φ))$
$Ref (ψ) Rot (φ) = Ref (ψ - φ / 2)$ ;
$Rot (ψ) Ref (φ) = Ref (φ + ψ / 2)$ .

Deduza que toda rotação de $S O_{2}$ pode ser escrita como uma composição de duas reflexões.

Para estudar as rotações em $R^{3}$ , seja $k = (k_{x}, k_{y}, k_{z}) \in R^{3}$ um vetor não nulo e defina a matiz $K = (\begin{matrix} 0 & - k_{z} & k_{y} \\ k_{z} & 0 & - k_{x} \\ - k_{y} & k_{x} & 0 \end{matrix}) .$

Lema 79.1 Temos para um vetor coluna $v \in R^{3}$ que $k \times v = K v$ onde $k \times v$ denota o produto vetorial. Em particular, $K k = 0$

Comprovação. Temos que $\begin{aligned} k \times v & = det (\begin{array}{c} i & j & k \\ k_{x} & k_{y} & k_{z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \end{array}) = (k_{y} v_{z} - k_{z} v_{y}, - k_{x} v_{z} + k_{z} v_{x}, k_{x} v_{y} - k_{y} v_{x}) \\ = (\begin{array}{c} 0 & - k_{z} & k_{y} \\ k_{z} & 0 & - k_{x} \\ - k_{y} & k_{x} & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{array}) . \end{aligned}$ Ora, $K k = k \times k = 0$ .

Teorema 79.3 (A fórmiula de Rodriguez) Seja $R : R^{3} \to R^{3}$ a rotação ao redor de um eixo $k = (k_{x}, k_{y}, k_{z})$ unitário por ângulo $ϑ$ . A matriz de $R$ na base canônica é $[R] = I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) K^{2} = I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) k^{t} k$

Comprovação. Escolha uma base ortonormal de $R^{3}$ na forma $k, u, v$ em tal forma que $k \times u = v$ , $u \times v = k$ e $v \times k = u$ e seja $X = I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) K^{2}$ . Como $K k = K^{2} k = 0$ , temos que $X k = (I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) K^{2}) k = I k = k .$ Agora $\begin{aligned} X u & = (I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) K^{2}) u = u + (sen ϑ) v - (1 - \cos ϑ) u \\ = (\cos ϑ) u + (sen ϑ) v \end{aligned}$ e $\begin{aligned} X v & = (I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) K^{2}) v = v - (sen ϑ) u - (1 - \cos ϑ) v \\ = - (sen ϑ) u + (\cos ϑ) v \end{aligned}$ Logo a matriz de $R$ na base $k, u, v$ é $(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos ϑ & - sen ϑ \\ 0 & sen ϑ & \cos ϑ \end{matrix}) .$ Portanto $[R] = X$ . Para provar a segunda igualdade do lema, note que $∥ k ∥ = k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} = 1$ e assim $\begin{aligned} K^{2} & = (\begin{array}{c} 0 & - k_{z} & k_{y} \\ k_{z} & 0 & - k_{x} \\ - k_{y} & k_{x} & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 & - k_{z} & k_{y} \\ k_{z} & 0 & - k_{x} \\ - k_{y} & k_{x} & 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - k_{z}^{2} - k_{y}^{2} & k_{y} k_{x} & k_{z} k_{x} \\ k_{x} k_{y} & - k_{z}^{2} - k_{x}^{2} & k_{z} k_{y} \\ k_{x} k_{z} & k_{y} k_{z} & - k_{y}^{2} - k_{x}^{2} \end{array}) = k^{t} \cdot k - I \end{aligned}$ Logo a matriz de $R$ é $\begin{aligned} X & = I + (sen ϑ) K + (1 - \cos) K^{2} = I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) (k^{t} \cdot k - I) \\ = (\cos ϑ) I + (sen ϑ) K + (1 - \cos ϑ) k^{t} \cdot k \end{aligned}$

Exercício 79.3 Mostre para um vetor unitário $k = (k_{x}, k_{y}, k_{z})$ que a matriz $K$ em cima satisfaz $K^{3} = - K$ . Deduza que para $n \geq 1$ que $\begin{aligned} K^{2 n - 1} & = (- 1)^{n - 1} K \\ K^{2 n} & = (- 1)^{n - 1} K^{2} . \end{aligned}$

Teorema 79.4 A matriz $[R]$ no resultado anterior pode ser escrito como $\exp (ϑ K) = \sum_{n \geq 0} \frac{(ϑ K)^{n}}{n!} .$

Comprovação. Usando o exercício anterior, obtemos que $\begin{aligned} \exp (ϑ K) & = \sum_{n \geq 0} \frac{(ϑ K)^{n}}{n!} \\ = I + \sum_{n \geq 1} \frac{ϑ^{2 n - 1} K^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + \sum_{n \geq 1} \frac{ϑ^{2 n} K^{2 n}}{(2 n)!} \\ = I + \sum_{n \geq 1} (- 1)^{n - 1} \frac{ϑ^{2 n - 1} K}{(2 n - 1)!} + \sum_{n \geq 1} (- 1)^{n - 1} \frac{ϑ^{2 n} K^{2}}{(2 n)!} \\ = I + K \sum_{n \geq 1} (- 1)^{n - 1} \frac{ϑ^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + K^{2} \sum_{n \geq 1} (- 1)^{n - 1} \frac{ϑ^{2 n}}{(2 n)!} \\ = I + K \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} \frac{ϑ^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + K^{2} (1 - \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} \frac{ϑ^{2 n}}{(2 n)!} \\ = I + K sen ϑ + K^{2} (1 - \cos ϑ) . \end{aligned}$ Ora o resultado segue do Teorema de Rodriguez.