\(\newcommand{\rot}[1]{\mbox{Rot}(#1)}\newcommand{\refl}[1]{\mbox{Ref}(#1)}\newcommand{\sen}{\textrm{sen}\,}\) Vamos estudar com mais detalhes os grupos \(SO_2\) e \(SO_3\). Seja \(f:\R^2\to \R^2\) uma transformação ortogonal e seja \(A\) a sua matriz na base canônica. Assuma que \[
A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}
\] Note que \(a^2+c^2=1\) e assim, podemos assumir sem perder generalidade que \(a=\cos\alpha\) e \(b=\mbox{sen}\,\alpha\) com algum ângulo \(\alpha\). Além disso, \((a,c)\perp (b,d)\) e temos que \((b,d)=(-\mbox{sen}\,\alpha,\cos\alpha)\) ou \((b,d)=(\mbox{sen}\,\alpha,-\cos\alpha)\). Obtivemos o seguinte resultado
Teorema 79.1 Seja \(A\in O_2\) uma matriz ortogonal. Então, existe um ângulo \(\alpha\in [0,2\pi)\) tal que \[
A=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\mbox{sen}\,\alpha\\ \mbox{sen}\,\alpha & \cos \alpha\end{pmatrix}
\] ou \[
A=\begin{pmatrix} \cos \alpha & \mbox{sen}\,\alpha\\ \mbox{sen}\,\alpha & -\cos \alpha\end{pmatrix}.
\] Além disso, \(A\in SO_2\) se e somente se \(A\) é como no primeiro caso.
Note que a primeira matriz da teorema anterior é a matriz de uma rotação por \(\alpha\) ao redor da origem no sentido antihorário. A segunda matriz é a matriz da reflexão em relação a um eixo que tem ângulo \(\alpha/2\) com o eixo \(x\).
Teorema 79.2 Uma transformação de \(O_2\) ou é uma rotação ao redor da origem ou uma reflexão em relação a um eixo que passa pela origem. As transformações de \(SO_2\) são precisamente as rotações ao redor da origem e as transformações com determinante \(-1\) são as reflexões.
Exercício 79.1 Seja \(R_\alpha:\R^2\to \R^2\) o elemento de \(SO_2\) realizada pela rotação por ângulo \(\alpha\). Seja \[
z_\alpha=\cos\alpha+i\mbox{sen}=\exp(i\alpha),\alpha\in\R
\] Denote por \(S^1\) o círculo \(S^1=\{z\in \C\mid |z|=1\}\) e defina \(f:SO_2\to S^1\) pela regra \(R_\alpha\mapsto z_\alpha\). Demonstre que
- \(f\) é uma bijeção;
- \(f(R_\alpha R_\beta)=f(R_\alpha)f(R_\beta)\) para todo \(R_\alpha,R_\beta\in SO_2\).
Na linguávem algébrica, podemos dizer que \(SO_2\) e \(S^1\) são grupos isomorfos.
Exercício 79.2 Sejam \(\varphi\) e \(\psi\) ângulos. Seja \(\rot{\varphi}\) a rotação em \(SO_2\) por \(\alpha\) graus e \(\refl{\psi}\) a reflexão pelo eixo que passa pela origem e tem ângulo \(\psi\) com o eixo \(x\). Demonstre que
- \(\rot\varphi\rot\psi=\rot{\varphi+\psi}\)
- \(\refl\psi\refl\varphi=\rot{2(\psi-\varphi)}\)
- \(\refl\psi \rot\varphi=\refl{\psi-\varphi/2}\);
- \(\rot\psi\refl\varphi=\refl{\varphi+\psi/2}\).
Deduza que toda rotação de \(SO_2\) pode ser escrita como uma composição de duas reflexões.
Para estudar as rotações em \(\R^3\), seja \(k=(k_x,k_y,k_z)\in\R^3\) um vetor não nulo e defina a matiz \[
K=\begin{pmatrix}0 & -k_z & k_y\\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0\end{pmatrix}.
\]
Lema 79.1 Temos para um vetor coluna \(v\in\R^3\) que \(k\times v=Kv\) onde \(k\times v\) denota o produto vetorial. Em particular, \(Kk=0\)
Comprovação. Temos que \[\begin{align*}
k\times v&=\det\begin{pmatrix} i & j & k \\ k_x & k_y & k_z \\ v_x & v_y & v_z \end{pmatrix}
=(k_yv_z-k_zv_y,-k_xv_z+k_zv_x,k_xv_y-k_yv_x)\\
&=\begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}.
\end{align*}\] Ora, \(Kk=k\times k=0\).
Teorema 79.3 (A fórmiula de Rodriguez) Seja \(R:\R^3\to \R^3\) a rotação ao redor de um eixo \(k=(k_x,k_y,k_z)\) unitário por ângulo \(\vartheta\). A matriz de \(R\) na base canônica é \[
[R]=I+(\sen\vartheta)K+(1-\cos\vartheta)K^2=I+(\sen\vartheta)K+(1-\cos\vartheta)k^tk
\]
Comprovação. Escolha uma base ortonormal de \(\R^3\) na forma \(k,u,v\) em tal forma que \(k\times u = v\), \(u\times v=k\) e \(v\times k=u\) e seja \(X=I+(\sen\vartheta)K+(1-\cos\vartheta)K^2\). Como \(Kk=K^2k=0\), temos que \[
Xk=(I+(\sen\vartheta) K+(1-\cos\vartheta)K^2)k=Ik=k.
\] Agora \[\begin{align*}
Xu&=(I+(\sen\vartheta) K+(1-\cos\vartheta)K^2)u=u+(\sen\vartheta) v-(1-\cos\vartheta)u\\&=
(\cos\vartheta) u +(\sen\vartheta) v
\end{align*}\] e \[\begin{align*}
Xv&=(I+(\sen\vartheta) K+(1-\cos\vartheta)K^2)v=v-(\sen\vartheta)u-(1-\cos\vartheta)v\\&=
-(\sen\vartheta)u +(\cos\vartheta)v
\end{align*}\] Logo a matriz de \(R\) na base \(k,u,v\) é \[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\vartheta & -\sen\vartheta \\ 0 & \sen\vartheta & \cos\vartheta
\end{pmatrix}.
\] Portanto \([R]=X\). Para provar a segunda igualdade do lema, note que \(\|k\|=k_x^2+k_y^2+k_z^2=1\) e assim \[\begin{align*}
K^2&=\begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} -k_z^2-k_y^2 & k_yk_x & k_zk_x \\
k_xk_y & -k_z^2-k_x^2 & k_zk_y\\
k_xk_z & k_yk_z & -k_y^2-k_x^2
\end{pmatrix}
=k^t\cdot k-I
\end{align*}\] Logo a matriz de \(R\) é \[\begin{align*}
X&=I+(\sen\vartheta) K+(1-\cos)K^2=I+(\sen\vartheta) K+(1-\cos\vartheta)(k^t\cdot k-I)
\\&=
(\cos\vartheta) I+(\sen\vartheta) K+(1-\cos\vartheta)k^t\cdot k\\
\end{align*}\]
Exercício 79.3 Mostre para um vetor unitário \(k=(k_x,k_y,k_z)\) que a matriz \(K\) em cima satisfaz \(K^3=-K\). Deduza que para \(n\geq 1\) que \[\begin{align*}
K^{2n-1}&=(-1)^{n-1} K\\
K^{2n}&=(-1)^{n-1}K^2.
\end{align*}\]
Teorema 79.4 A matriz \([R]\) no resultado anterior pode ser escrito como \[
\exp(\vartheta K)=\sum_{n\geq 0}\frac{(\vartheta K)^n}{n!}.
\]
Comprovação. Usando o exercício anterior, obtemos que \[\begin{align*}
\exp(\vartheta K)&=
\sum_{n\geq 0}\frac{(\vartheta K)^n}{n!}\\&=
I+\sum_{n\geq 1}\frac{\vartheta^{2n-1}K^{2n-1}}{(2n-1)!}+\sum_{n\geq 1}\frac{\vartheta^{2n}K^{2n}}{(2n)!}\\
&=
I+\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}\frac{\vartheta^{2n-1}K}{(2n-1)!}+\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}\frac{\vartheta^{2n}K^2}{(2n)!}\\
&=I+K\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}\frac{\vartheta^{2n-1}}{(2n-1)!}+K^2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}\frac{\vartheta^{2n}}{(2n)!}
\\
&=I+K\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}\frac{\vartheta^{2n+1}}{(2n+1)!}+K^2(1-\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}\frac{\vartheta^{2n}}{(2n)!}
\\
&=I+K\sen\vartheta+K^2(1-\cos\vartheta).
\end{align*}\] Ora o resultado segue do Teorema de Rodriguez.