Seja um espaço vetorial e . Para definimos Claramente e o conjunto chama-se uma classe lateral em .
Lema 58.1 As seguintes são equivalentes para :
Em particular, se e somente se .
Definição 58.1 Seja um espaço vetorial sobre um corpo e . Definimos os espaço quociente como o conjunto com as operações para todo e .
Teorema 58.1 As operações em estão bem definidas e o conjunto com estas operações é um -espaço vetorial.
Comprovação. O leitor pode verificar a maioria destas afirmações. Aqui só comentamos que e .
Teorema 58.2 Seja um espaço vetorial, , e seja uma base de . Assuma que é uma base de com . Então é uma base de . Em particular, se .
Comprovação. Seja arbitrário. Então com , , . Ora, como , segue que Portanto é um conjunto gerador de .
Assuma que é uma combinação linear do vetor nulo de com e (distintos). Segue que e assim com e (distintos). Ou seja Mas como os e os são L.I., temos que a combinação linear na linha anterior é trivial. Logo e para todo . Isso implica que é L.I. e também que é base de .
Corolário 58.1 Seja um espaço vetorial e . Então Em particular, se tem dimensão finita,