Seja \(V\) um espaço vetorial e \(U\leq V\). Para \(v\in V\) definimos \[
v+U=\{v+u\mid u \in U\}.
\] Claramente \(v+U\subseteq V\) e o conjunto \(v+U\) chama-se uma classe lateral em \(V\).
Lema 54.1 As seguintes são equivalentes para \(v_1,v_2\in V\):
- \(v_1+U=v_2+U\)
- \(v_1-v_2\in U\)
Em particular, \(v+U=0+U\) se e somente se \(v\in U\).
Definição 54.1 Seja \(V\) um espaço vetorial sobre um corpo \(\F\) e \(U\leq V\). Definimos os espaço quociente \(V/U\) como o conjunto \[
V/U=\{v+U\mid v\in V\}
\] com as operações \[
(v+U)+(w+U)=(v+w)+U\quad\mbox{e}\quad\alpha(v+U)=(\alpha v)+U
\] para todo \(v,w\in V\) e \(\alpha\in \F\).
Teorema 54.1 As operações em \(V/U\) estão bem definidas e o conjunto \(V/U\) com estas operações é um \(\F\)-espaço vetorial.
Comprovação. O leitor pode verificar a maioria destas afirmações. Aqui só comentamos que \(0_{V/U}=0_V+U\) e \(-(v+U)=(-v)+U\).
Teorema 54.2 Seja \(V\) um espaço vetorial, \(U\leq V\), e seja \(X\) uma base de \(U\). Assuma que \(X\cup Y\) é uma base de \(V\) com \(X\cap Y=\emptyset\). Então \[
\bar Y=\{y+U\mid y\in Y\}
\] é uma base de \(V/U\). Em particular, se \(\dim V/U=\dim V-\dim U\).
Comprovação. Seja \(v\in V\) arbitrário. Então \[
v=\sum_{i=1}^k \alpha_ix_i+\sum_{i=1}^m\beta_i y_i
\] com \(\alpha_i,\beta_i\in \F\), \(x_i\in X\), \(y_i\in Y\). Ora, como \(x_i\in U\), segue que \[\begin{align*}
v+U&=\left(\sum_{i=1}^k \alpha_ix_i+\sum_{i=1}^m\beta_i y_i\right)+U\\
&=\left(\sum_{i=1}^k \alpha_ix_i+U\right)+\left(\sum_{i=1}^m\beta_i y_i +U\right)\\
&=\sum_{i=1}^m\beta_i y_i+U=\sum_{i=1}^m\beta_i(y_i+U)
\end{align*}\] Portanto \(\bar Y\) é um conjunto gerador de \(V/U\).
Assuma que \[
0=\sum_{i=1}^m \alpha_i (y_i+U)=\left(\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right)+U.
\] é uma combinação linear do vetor nulo de \(V/U\) com \(\alpha_i\in\F\) e \(y_i\in Y\) (distintos). Segue que \[
\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\in U
\] e assim \[
\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=\sum_{i=1}^k\beta_i x_i
\] com \(\beta_i\in \F\) e \(x_i\in X\) (distintos). Ou seja \[
\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i-\sum_{i=1}^k\beta_i x_i=0.
\] Mas como os \(x_i\) e os \(y_j\) são L.I., temos que a combinação linear na linha anterior é trivial. Logo \(\alpha_i=0\) e \(\beta_i=0\) para todo \(i\). Isso implica que \(\bar Y\) é L.I. e também que \(\bar Y\) é base de \(V/U\).
Corolário 54.1 Seja \(V\) um espaço vetorial e \(U\leq V\). Então \[
\dim U+\dim V/U=\dim V.
\] Em particular, se \(V\) tem dimensão finita, \[
\dim V/U=\dim V-\dim U.
\]