58 Espaços quocientes

Seja $V$ um espaço vetorial e $U \leq V$ . Para $v \in V$ definimos $v + U = {v + u ∣ u \in U} .$ Claramente $v + U \subseteq V$ e o conjunto $v + U$ chama-se uma classe lateral em $V$ .

Lema 58.1 As seguintes são equivalentes para $v_{1}, v_{2} \in V$ :

$v_{1} + U = v_{2} + U$
$v_{1} - v_{2} \in U$

Em particular, $v + U = 0 + U$ se e somente se $v \in U$ .

Comprovação. Exercício.

Definição 58.1 Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $F$ e $U \leq V$ . Definimos os espaço quociente $V / U$ como o conjunto $V / U = {v + U ∣ v \in V}$ com as operações $(v + U) + (w + U) = (v + w) + U e α (v + U) = (α v) + U$ para todo $v, w \in V$ e $α \in F$ .

Teorema 58.1 As operações em $V / U$ estão bem definidas e o conjunto $V / U$ com estas operações é um $F$ -espaço vetorial.

Comprovação. O leitor pode verificar a maioria destas afirmações. Aqui só comentamos que $0_{V / U} = 0_{V} + U$ e $- (v + U) = (- v) + U$ .

Teorema 58.2 Seja $V$ um espaço vetorial, $U \leq V$ , e seja $X$ uma base de $U$ . Assuma que $X \cup Y$ é uma base de $V$ com $X \cap Y = \emptyset$ . Então $\bar{Y} = {y + U ∣ y \in Y}$ é uma base de $V / U$ . Em particular, se $\dim V / U = \dim V - \dim U$ .

Comprovação. Seja $v \in V$ arbitrário. Então $v = \sum_{i = 1}^{k} α_{i} x_{i} + \sum_{i = 1}^{m} β_{i} y_{i}$ com $α_{i}, β_{i} \in F$ , $x_{i} \in X$ , $y_{i} \in Y$ . Ora, como $x_{i} \in U$ , segue que $\begin{aligned} v + U & = (\sum_{i = 1}^{k} α_{i} x_{i} + \sum_{i = 1}^{m} β_{i} y_{i}) + U \\ = (\sum_{i = 1}^{k} α_{i} x_{i} + U) + (\sum_{i = 1}^{m} β_{i} y_{i} + U) \\ = \sum_{i = 1}^{m} β_{i} y_{i} + U = \sum_{i = 1}^{m} β_{i} (y_{i} + U) \end{aligned}$ Portanto $\bar{Y}$ é um conjunto gerador de $V / U$ .

Assuma que $0 = \sum_{i = 1}^{m} α_{i} (y_{i} + U) = (\sum_{i = 1}^{m} α_{i} y_{i}) + U .$ é uma combinação linear do vetor nulo de $V / U$ com $α_{i} \in F$ e $y_{i} \in Y$ (distintos). Segue que $\sum_{i = 1}^{m} α_{i} y_{i} \in U$ e assim $\sum_{i = 1}^{m} α_{i} y_{i} = \sum_{i = 1}^{k} β_{i} x_{i}$ com $β_{i} \in F$ e $x_{i} \in X$ (distintos). Ou seja $\sum_{i = 1}^{m} α_{i} y_{i} - \sum_{i = 1}^{k} β_{i} x_{i} = 0.$ Mas como os $x_{i}$ e os $y_{j}$ são L.I., temos que a combinação linear na linha anterior é trivial. Logo $α_{i} = 0$ e $β_{i} = 0$ para todo $i$ . Isso implica que $\bar{Y}$ é L.I. e também que $\bar{Y}$ é base de $V / U$ .

Corolário 58.1 Seja $V$ um espaço vetorial e $U \leq V$ . Então $\dim U + \dim V / U = \dim V .$ Em particular, se $V$ tem dimensão finita, $\dim V / U = \dim V - \dim U .$