58  Espaços quocientes

Seja V um espaço vetorial e UV. Para vV definimos v+U={v+uuU}. Claramente v+UV e o conjunto v+U chama-se uma classe lateral em V.

Lema 58.1 As seguintes são equivalentes para v1,v2V:

  • v1+U=v2+U
  • v1v2U

Em particular, v+U=0+U se e somente se vU.

Comprovação. Exercício.

Definição 58.1 Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F e UV. Definimos os espaço quociente V/U como o conjunto V/U={v+UvV} com as operações (v+U)+(w+U)=(v+w)+Ueα(v+U)=(αv)+U para todo v,wV e αF.

Teorema 58.1 As operações em V/U estão bem definidas e o conjunto V/U com estas operações é um F-espaço vetorial.

Comprovação. O leitor pode verificar a maioria destas afirmações. Aqui só comentamos que 0V/U=0V+U e (v+U)=(v)+U.

Teorema 58.2 Seja V um espaço vetorial, UV, e seja X uma base de U. Assuma que XY é uma base de V com XY=. Então Y¯={y+UyY} é uma base de V/U. Em particular, se dimV/U=dimVdimU.

Comprovação. Seja vV arbitrário. Então v=i=1kαixi+i=1mβiyi com αi,βiF, xiX, yiY. Ora, como xiU, segue que v+U=(i=1kαixi+i=1mβiyi)+U=(i=1kαixi+U)+(i=1mβiyi+U)=i=1mβiyi+U=i=1mβi(yi+U) Portanto Y¯ é um conjunto gerador de V/U.

Assuma que 0=i=1mαi(yi+U)=(i=1mαiyi)+U. é uma combinação linear do vetor nulo de V/U com αiF e yiY (distintos). Segue que i=1mαiyiU e assim i=1mαiyi=i=1kβixi com βiF e xiX (distintos). Ou seja i=1mαiyii=1kβixi=0. Mas como os xi e os yj são L.I., temos que a combinação linear na linha anterior é trivial. Logo αi=0 e βi=0 para todo i. Isso implica que Y¯ é L.I. e também que Y¯ é base de V/U.

Corolário 58.1 Seja V um espaço vetorial e UV. Então dimU+dimV/U=dimV. Em particular, se V tem dimensão finita, dimV/U=dimVdimU.