Equações quadráticas
Considere um polinômio \[
f(x)=x^2+bx+c\in\F[x]
\] onde \(\F\) é corpo arbitrário no qual \(1+1\neq 0\). Queremos determinar as raízes de \(f(x)\). Note que \[
x^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c,
\] e assim a equação \(f(x)=0\) é equivalente à equação \[
(x+b/2)^2=b^2/4-c=\frac{b^2-4c}4;
\] ou seja \[
x+b/2=\pm\frac{\sqrt{b^2-4c}}2.
\] Assim as raízes do polinômio são \(x_1\) e \(x_2\) onde \[
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}2\quad\mbox{e}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}2.
\] As duas raízes são frequentemente escritas na forma \[
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}2.
\]
Quando o polinômio \(f(x)\in\F[x]\) está na forma mais geral \(f(x)=ax^2+bx+c\) com \(a\neq 0\), as raízes de \(f(x)\) são as mesmas que as raízes de \[
x^2+(b/a)x+c/a
\] que são \[
\frac{-b/a\pm\sqrt{(b/a)^2-4c/a}}2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
\]
Exemplo 37.1 Vamos achar todos os números inteiros \(x\in\Z\) para os quais \(2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}\). A congruência é equivalente à equação quadrática \[
\overline 2x^2+\overline 3x+\overline 4=\overline 0
\] sobre \(\Z_{11}\). As soluções nesta equação são \[\begin{align*}
x_{1,2}&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{\overline 3^2-4\cdot \overline 2\cdot \overline 4}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline {23}}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline 1}}{\overline 4}.
\end{align*}\] Como \(11\equiv 3\pmod 4\), \(-\overline 1\) não é quadrado em \(\Z_{11}\); ou seja, \(\sqrt{-\overline 1}\) não existe em \(\Z_{11}\) e a equação não possui soluções. Portanto não existe \(x\in\Z\) tal que \(2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}\)
Equações cúbicas
Nesta página vamos estudar equações do terceiro grau. Para um tratamento mais detalhado, divertido, histórico, assista os vídeos nos canais Mathologer e Veritasium.
Considere uma equação na forma \[\begin{equation}
ax^3+bx^2+cx+d=0
\end{equation}\] onde \(a,b,c,d\in\C\) com \(a\neq 0\). Nós vamos determinar as raízes complexas desta equação. O procedimento será apresentado em vários passos.
Passo 1. A equação original tem as mesmas raízes que a equação \[
x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0.
\] Assim nós consideremos apenas equações na forma \[\begin{equation}\label{eq:orig}
x^3+ax^2+bx+c=0\tag{1}.
\end{equation}\]
Passo 2. Introduza uma nova variável \(y=x+a/3\). Substituindo, \[
0=x^3+ax^2+bx+c=(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c.
\] Abrindo as parênteses, obtemos que o coeficiente de \(y^2\) na equação anterior é \(-3a/3+a=0\) e a equação fica na forma \[\begin{equation}\label{eq:pq}
y^3+py+q=0\tag{2}
\end{equation}\] onde \[
p=b-\frac{a^2}3\quad\mbox{e}\quad q=c-\frac{ab}3+\frac{2a^3}{27}.
\] Se \(\alpha\in\C\) é raiz da equação \(\eqref{eq:pq}\), então \(\beta=\alpha-a/3\) é raiz da equação (\(\ref{eq:orig}\)).
Passo 3. Assuma que \(\alpha\in\C\) é raiz da equação \(\eqref{eq:pq}\). Escreva \(\alpha=u+v\) com \(u,v\in\C\) onde \(u\) e \(v\) serão determinados mais tarde. Obtem-se que \[\begin{align*}
0&=(u+v)^3+p(u+v)+q\\&=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q\\&=(u^3+v^3+q)+(3uv+p)(u+v).
\end{align*}\] Vamos escolher \(u,v\in\C\) tais que \[\begin{align*}
u^3+v^3&=-q\\
uv&=-p/3
\end{align*}\] pois esta escolha garante a igualdade na equação anterior. O sistema das duas equações para \(u\) e \(v\) implica que \[\begin{align*}
u^3+v^3&=-q\\
u^3v^3&=-p^3/27.
\end{align*}\] Assim \(u^3\) e \(v^3\) são soluções da equação \[
t^2+qt-p^3/27=0
\] e obtemos da fórmula quadrática que \[\begin{equation}\label{eq:u3}
u^3=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+4p^3/27}}2\tag{3}
\end{equation}\] Logo \[
u = \sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt{q^2+4p^3/27}}2}
\] e \[
v = \frac{-p}{3u}.
\] Agora \(\alpha=u+v\) é solução da equação \(\eqref{eq:pq}\) e \[
\beta=\alpha-a/3=u+v-a/3
\] é solução da equação \(\eqref{eq:orig}\). Observe que na equação \(\eqref{eq:u3}\), temos três escolhas para \(u\) que resulta em três soluções para a equação \(\eqref{eq:orig}\).
Exemplo 37.2 Considere a equação \[
f(x)=x^3-6x^2+9x-3=0.
\] Substituímos \(y=x-2\), e obtemos que \[
g(y)=f(y+2)=y^3-3y-1=0.
\] Assuma que \(\alpha=u+v\) é uma raiz da equação \(g(y)=0\). Então \(u^3\) e \(v^3\) são raízes de \[
t^2-t+1
\] e assim \[
u^3=\frac{1+\sqrt{-3}}2=\frac 12+\frac{\sqrt 3}2i=\cos(\pi/3)+i\mbox{sen}(\pi/3).
\] As três raízes cúbicas de \(u^3\) são \[\begin{align*}
u_1&=\cos(\pi/9)+i\mbox{sen}(\pi/9)\\
u_2&=\cos(7\pi/9)+i\mbox{sen}(7\pi/9)\\
u_3&=\cos(13\pi/9)+i\mbox{sen}(13\pi/9)\\
\end{align*}\] e os valores de \(v\) correspondentes são \[\begin{align*}
v_1&=u_1^{-1}=\cos(\pi/9)-i\mbox{sen}(\pi/9)\\
v_2&=u_2^{-1}=\cos(7\pi/9)-i\mbox{sen}(7\pi/9)\\
v_3&=u_3^{-1}=\cos(13\pi/9)+i\mbox{sen}(13\pi/9).
\end{align*}\] As soluções da equação \(g(y)=0\) são obtidos como \[\begin{align*}
\alpha_1&=u_1+v_1=2\cos(\pi/9)\\
\alpha_2&=u_2+v_2=2\cos(7\pi/9)\\
\alpha_3&=u_3+v_3=2\cos(13\pi/9).
\end{align*}\] As soluções da equação original \(f(x)=0\) são \[\begin{align*}
\beta_1&=\alpha_1+2=2\cos(\pi/9)+2\\
\beta_2&=\alpha_2+2=2\cos(7\pi/9)+2\\
\beta_3&=\alpha_3+2=2\cos(13\pi/9)+2.
\end{align*}\]
O procedimento acima poderia ser escrito na forma de uma fórmula cúbica, mas esta fórmula, devido a sua complexidade, não seria útil na prática. Existe um procedimento similar, mas bem mais complicado, para resolver equações do quarto grau e este procedimento também poderia ser escrito como uma fórmula quártica. O vídeo do canal Mathologer inserido no início da página mostra a fórmula geral cúbica. A partir de grau cinco, não existe mais tais fórmulas e este resultado é conhecido como o Teorema de Abel-Ruffini.
Teorema 37.1 (O Teorema de Abel-Ruffini) Se \(k\geq 5\), então não existe fórmula para obter as raízes complexas de um polinômio arbitrário de grau \(k\) usando apenas os coeficientes do polinômio, constantes, as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, e tomando \(n\)-esimas raízes para \(n\geq 2\)