54  Equações quadráticas

Considere um polinômio \[ f(x)=x^2+bx+c\in\F[x] \] onde \(\F\) é corpo arbitrário no qual \(1+1\neq 0\). Queremos determinar as raízes de \(f(x)\). Note que \[ x^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c, \] e assim a equação \(f(x)=0\) é equivalente à equação \[ (x+b/2)^2=b^2/4-c=\frac{b^2-4c}4; \] ou seja \[ x+b/2=\pm\frac{\sqrt{b^2-4c}}2. \] Assim as raízes do polinômio são \(x_1\) e \(x_2\) onde \[ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}2\quad\mbox{e}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}2. \] As duas raízes são frequentemente escritas na forma \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}2. \]

Quando o polinômio \(f(x)\in\F[x]\) está na forma mais geral \(f(x)=ax^2+bx+c\) com \(a\neq 0\), as raízes de \(f(x)\) são as mesmas que as raízes de \[ x^2+(b/a)x+c/a \] que são \[ \frac{-b/a\pm\sqrt{(b/a)^2-4c/a}}2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]

Exemplo 54.1 Vamos achar todos os números inteiros \(x\in\Z\) para os quais \(2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}\). A congruência é equivalente à equação quadrática \[ \overline 2x^2+\overline 3x+\overline 4=\overline 0 \] sobre \(\Z_{11}\). As soluções nesta equação são \[\begin{align*} x_{1,2}&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{\overline 3^2-4\cdot \overline 2\cdot \overline 4}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline {23}}}{\overline 4}\\&=\frac{-\overline 3\pm\sqrt{-\overline 1}}{\overline 4}. \end{align*}\] Como \(11\equiv 3\pmod 4\), \(-\overline 1\) não é quadrado em \(\Z_{11}\); ou seja, \(\sqrt{-\overline 1}\) não existe em \(\Z_{11}\) e a equação não possui soluções. Portanto não existe \(x\in\Z\) tal que \(2x^2+3x-7\equiv 0\pmod{11}\)