44  Divisibilidade de polinômios

Definição 44.1 Seja \(R\) um anel e sejam \(f(x),g(x)\in R[x]\). Dizemos que \(f(x)\) divide \(g(x)\), ou que \(g(x)\) é divisível por \(f(x)\) ou que \(g(x)\) é um múltiplo de \(f(x)\) se existir \(h(x)\in R[x]\) tal que \(f(x)h(x)=g(x)\). Quando \(f(x)\) divide \(g(x)\), escrevemos que \(f(x)\mid g(x)\)

Exemplo 44.1 Podemos dizer por exemplo que \(x+1\mid x^2-1\) considerando estes polinômios, por exemplo, em \(\Z[x]\). De fato \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Note que a divisibilidade entre dois polinômios depende do anel \(R\) de coeficientes. Por exemplo se \(f(x)=2x+2\) e \(g(x)=x^2-1\) são polinômios em \(\Q[x]\), então \(f(x)\mid g(x)\), pois \(g(x)=f(x)h(x)\) onde \(h(x)=(1/2)(x-1)\). Por outro lado, se consideramos estes polinômios em \(\Z[x]\) então \(f(x)\nmid g(x)\)

As propriedades principais da divisibilidade entre polinômios são as mesmas que entre números inteiros. No seguinte lema nós resumimos as propriedades mais importantes. Pode notar que o conceito da divisibilidade pode ser definido em um anel arbitrário (e não apenas nos anéis \(\Z\) ou \(R[x]\)), mas nós não vamos fazer isso nesta disciplina.

Lema 44.1 Seja \(R\) um anel, sejam \(f(x),g(x),h(x)\in R[x]\). As seguintes afirmações são válidas.

  • \(f(x)\mid f(x)\).
  • Se \(f(x)\mid g(x)\) e \(g(x)\mid h(x)\) então \(f(x)\mid h(x)\).
  • Se \(R\) é um domínio, \(f(x)\mid g(x)\) e \(g(x)\mid f(x)\), então existe algum \(\alpha\in R\) invertível tal que \(g(x)=\alpha f(x)\).

Comprovação. (1), (2): Exercício.

  1. Assuma que \(R\) é um domínio, \(f(x)\mid g(x)\) e \(g(x)\mid f(x)\). Se \(f(x)=0\), então \(g(x)=0\) e a afirmação está verdadeira. Assuma agora que \(f(x)\neq 0\). Então existem \(q_1(x),q_2(x)\) tais que \(g(x)=f(x)q_1(x)\) e \(f(x)=g(x)q_2(x)\). Logo \[ f(x)=q_2(x)g(x)=q_2(x)q_1(x)f(x). \] Como \(R\) é um domínio, \(R[x]\) também é, e como \(f(x)\) é não nulo aplica-se a lei cancelativa que implica que \(1=q_2(x)q_1(x)\). Agora a definição de elementos invertíveis implica que \(q_1(x)\) e \(q_2(x)\) são invertíveis em \(R[x]\) e obtemos de um lema anterior que \(q_1(x)\) e \(q_2(x)\) são elementos invertíveis de \(R\).