76  Unicidade da forma normal de Jordan

Vamos denotar por \(J_k(\lambda)\) a matriz que é um bloco de Jordan \(k\times k\) com autovalor \(\lambda\).

Lema 76.1 Seja \(f:V\to V\) um endomorfismo com matriz \(J_{k}(\lambda)\). Então \(m_f(t)=(t-\lambda)^k\).

Comprovação. Exercício.

Exercício 76.1 Seja \(f:V\to V\) um endomorfismo e assuma que \(V=V_1\oplus \cdots \oplus V_k\) é uma decomposição \(f\)-invariante. Ponha \(f_i=f|_{V_i}\) para \(i\in\{1,\ldots,k\}\). Demonstre que \[ m_f(t)=\mbox{mmc}(m_{f_1}(t),\ldots,m_{f_k}(t)). \]

Corolário 76.1 Assuma que \(f:V\to V\) é um endomorfismo cuja matriz está na forma normal de Jordan com blocos \[ J_{i_{1,1}}(\lambda_1),\ldots,J_{i_{1,m_1}}(\lambda_1), J_{i_{2,1}}(\lambda_2),\ldots, J_{i_{2,m_2}}(\lambda_2), \ldots,J_{i_{k,1}}(\lambda_k),\ldots, J_{i_{k,m_k}}(\lambda_k) \] com \(i_{j,1}\geq i_{j,2}\geq\cdots \geq i_{j,m_j}\) para todo \(j\). Então \[ m_f(t)=(t-\lambda_1)^{i_{1,1}}\cdots (t-\lambda_k)^{i_{k,1}}. \] Em particular, os autovalores de \(f\) são \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\).

Teorema 76.1 Seja \(f:V\to V\) um endomorfismo tal que a matriz de \(f\) é diagonal em blocos e cada bloco é um bloco de Jordan. Assuma que estes blocos são \[ J_{i_{1,1}}(\lambda_1),\ldots,J_{i_{1,m_1}}(\lambda_1), J_{i_{2,1}}(\lambda_2),\ldots, J_{i_{2,m_2}}(\lambda_2), \ldots,J_{i_{k,1}}(\lambda_k),\ldots, J_{i_{k,m_k}}(\lambda_k) \] com \(i_{j,1}\geq i_{j,2}\geq\cdots \geq i_{j,m_j}\) para todo \(j\). Então os \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) são os autovalores de \(f\) e em particular estes são determinados unicamente. Além disso, as dimensões \(i_{j,l}\) também são determinados unicamente.

Comprovação. Usamos indução pela dimensão de \(V\). Se \(\dim V=1\), então o teorema estã trivialmente válido.

Assuma que \(\dim V\geq 2\). Note que os autovalores de \(f\) são \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) e estes são determinados unicamente por \(f\). Seja \(\lambda\) um autovalor de \(f\) e assuma sem perder generalidade que \(\lambda=\lambda_1\). Temos que \((t-\lambda_1)\) divide \(m_f(t)\). Pelas considerações anteriores, \((t-\lambda_1)^{i_{1,1}}\) é a maior potência de \(t-\lambda_1\) que divide \(m_f(t)\). Em particular, \(i_{1,1}\) estã determinado por \(f\). Seja \(W\) o subespaço que corresponde ao bloco \(J_{i_{1,1}}(\lambda_1)\). Então \(W\) é \(f\)-invariante. Se \(W=V\), então obtemos que a decomposição de \(f\) está unicamente determinada. No caso contrário, considere o endomorfismo \[ \bar f:V/W\to V/W \] induzido por \(f\). A matriz de \(\bar f\) é diagonal em blocos com os blocos sendo os blocos de \(f\) exceto \(J_{i_{1,1}}(\lambda_1)\). Pela hipótese da indução, os blocos de \(\bar f\) estão unicamente determinados e assim os blocos de \(f\) estão também unicamente determinados.

Uma maneira alternativa para provar a unicidade é consequência do exercício seguinte.

Exercício 76.2 Assuma que \(V\) é um \(\C\)-espaço e \(f:V\to V\) com polinômio minimal \[ m_f(t) = (t-\lambda_1)^{\alpha_1}\cdots (t-\lambda_k)^{\alpha_k}. \] Seja \(\lambda=\lambda_i\) e \(\alpha=\alpha_i\) com algum \(i\). Assuma que a matriz de \(f\) está na forma normal de Jordan. Pelo que vimos nesta página, o maior bloco com autovalor \(\lambda\) é \(J_\alpha(\lambda)\). Assuma que \([f]\) tem \(\mu_i\) blocos de tamanho \(i\times i\) para \(i=1,\ldots,\alpha\) e seja \(\delta_i=\dim\ker(f-\lambda\mbox{id})^i\) para \(i=1,\ldots,\alpha\).

• Mostre que \[\begin{align*} \mu_1+\mu_2+\mu_3+\cdots +\mu_{\alpha-1}+\mu_\alpha&=\delta_1\\ \mu_1+2\mu_2+2\mu_3+\cdots +2\mu_{\alpha-1}+2\mu_\alpha&=\delta_2\\ \mu_1+2\mu_2+3\mu_3+\cdots +3\mu_{\alpha-1}+3\mu_\alpha&=\delta_3\\ &\vdots\\ \mu_1+2\mu_2+3\mu_3+\cdots +(\alpha-1)\mu_{\alpha-1}+(\alpha-1)\mu_\alpha&=\delta_1\\ \mu_1+2\mu_2+3\mu_3+\cdots +(\alpha-1)\mu_{\alpha-1}+r\mu_\alpha&=\delta_1. \end{align*}\]
• Mostre que o sistema no item anterior tem única solução.
• Deduza que a forma normal de \(f\) é única.