Se \(f:V\to V\) é um operador linear, e \(A\leq V\), então definimos a pré-imagem de \(A\) por \(f\) como \[
f^{-1}(A)=\{v\in V\mid f(v)\in A\}.
\] Note que \(f\) não precisa ser invertivel.
Exercício 66.1 Demonstre as seguintes aformações para um endomorfismo \(f:V\to V\) e para \(A,B\leq V\):
- \(f^{-1}(A)\leq V\);
- \(\ker f\leq f^{-1}(A)\);
- \(f^{-1}(f(A))=A+\ker f\);
- \(f^{-1}(A+B)=f^{-1}(A)+f^{-1}(B)\);
- \(f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)\).
Teorema 66.1 Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão não necessariamente finita e \(f:V\to V\) um operador nilpotente com grau de nilpotência \(d\) (ou seja, \(m_f(t)=t^d\)).
- Existe um vetor \(v\in V\) tal que \(f^{m-1}(v)\neq 0\).
- Pondo \(U=\langle v,f(v),\ldots,f^{m-1}(v)\rangle\), existe \(W\leq V\) \(f\)-invariante tal que \(V=U\oplus W\).
Comprovação. Indução por \(m\). Se \(d=0\), então \(f=0\), \(U=\langle v\rangle\) e qualquer complemento \(W\) de \(U\) em \(V\) serve.
Assuma que a afirmação está verdadeira para operadores de grau de nilpotência \(d-1\). Considere \(X=\mbox{Im}(f)\). Então a restrição \(f_X=f|_X\) tem grau de nilpotência \(m-1\) e \(U_X=U\cap X=\langle f(v),\ldots,f^{m-1}(v)\rangle\) é um espaço \(f\)-cíclico de dimensão \(m-1\) em \(X\). Pela hipótese da indução, existe \(W_X\leq X\) espaço \(f\)-invariante tal que \[
X=U_X+W_X.
\] Ponha \[
\widetilde W=f^{-1}(W_X)=\{v\in V\mid f(v)\in W_X\}
\] e note que \(W\leq \widetilde W_X\), pois \(W_X\) é \(f\)-invariante.
Afirmação 1: \(V=U+\widetilde W\).
Prova da afirmação: De fato, \[\begin{align*}
V&=f^{-1}(X)=f^{-1}(U_X+W_X)=f^{-1}(U_X)+f^{-1}(W_X)\\&=f^{-1}(f(U))+f^{-1}(W_X)=U+\ker f+\widetilde W\\&
U+\widetilde W.
\end{align*}\] A última equação vale, pois \(\ker f\leq \widetilde W=f^{-1}(W_X)\).
Afirmação 2: \(U\cap W_X=0\).
Prova da afirmação: Usando a definição de \(U_X\) e que \(W_X\) é \(f\)-invariante, obtemos que \[
f(U\cap W_X)=f(U)\cap f(W_X)\leq U_X\cap W_X=0.
\] Ou seja, \(U\cap W_X\leq \ker f\). Ora, \[
U\cap W_X\leq U\cap \ker f\cap W_X=\langle f^{m-1}(v)\rangle\cap W_X\leq U_X\cap W_X=0.
\]
Afirmação 3: \(W_X\cap (U\cap \widetilde W)=0\) e \(W_X\oplus (U\cap \widetilde W)\leq \widetilde W\).
Prova da afirmação: A primeira afirmação (com a interseção) segue da Afirmação 2, enquanto a segunda segue da primeira e do fato que \(W_X\leq \widetilde W\).
Agora escolha um complemento \(Z\) de \(W_X\oplus (U\cap \widetilde W)\) em \(\widetilde W\). Qualquer complemento linear serve, não precisa ser \(f\)-invariante. Tendo escolhido \(Z\), temos que \[\begin{equation}\label{eq:ds}
\widetilde W=(W_X\oplus (U\cap \widetilde W))\oplus Z;
\end{equation}\] em particular, \(Z\cap (W_X\oplus (U\cap \widetilde W))=0\).
Afirmação 4: \(V=U\oplus(W_X\oplus Z)\).
Prova da afirmação: Primeiro, \[
V=U+\widetilde W= U+W_X\oplus (U\cap \widetilde W)\oplus Z=U+W_X\oplus Z.
\] Ademais,\(W_X\oplus Z\leq \widetilde W\), e, usando o fato que \(\widetilde W\) é soma direta como acima, \[
U\cap (W_X\oplus Z)\leq (W_X\oplus Z)\cap(U\cap \widetilde W)=0.
\]
Afirmação 5: \(W_X\oplus Z\) é \(f\)-invariante.
Prova da afirmação: \(W_X\) é \(f\)-invariante por escolha, enquanto \(Z\leq \widetilde W=f^{-1}(W_X)\) que implica que \(f(Z)\leq W_X\). Logo \(f(Z\oplus W_X)\leq W_X\) e \(W_X\oplus Z\) é \(f\)-invariante.
Corolário 66.1 Assuma que \(f:V\to V\) é um endomorfismo nilpotente de um espaço \(V\) de dimensão finita. Então \[
V=W_1\oplus \cdots\oplus W_k
\] onde cada \(W_i\) é um espaço \(f\)-cíclico (em particular, \(W_i\) é \(f\)-invariante).
Comprovação. Indução pela dimensão de \(V\). Se \(\dim V=1\), então \(V\) é \(f\)-cíclico e a afirmação vale com \(k=1\) e \(W_1=V\). Assuma que o corolário vale para espaços de dimensão menor que algum \(k\geq 2\) e seja \(V\) um espaço de dimensão \(k\) e \(f:V\to V\) nilpotente de grau \(m\). Pelo resultado anterior, existe \(v\in V\) tal que \(f^{m-1}(v)\neq 0\) e defina \(W_1=\langle v,f(v),\ldots,f^{m-1}(v)\rangle\). Se \(m=\dim V\) e \(W_1=V\), então o corolário vale com \(k=1\) e \(W_1=V\) e não temos nada mais para provar. No caso contrário, o teorema anterior implica que \(V=W_1\oplus W\) com algum \(W\) espaço \(f\)-invariante. Agora \(\dim W < \dim V\) e aplicamos a hipótese da indução para \(W\): \[
W=W_2\oplus \cdots \oplus W_k
\] com \(W_i\) sendo \(f\)-cíclico para todo \(i\). Ora \[
W=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k.
\] é uma decomposição em espaços \(f\)-cíclicos.