Exercício 13.1 Demonstre, usando apenas os Axiomas de Peano e a definição da adição, que \(1\neq a+b\) para todo \(a,b\in\N\).
Exercício 13.2 Defina \(m^n\), para \(m,n\in\N\), usando as regras
- \(m^1=m\);
- \(m^{S(n)}=m^n\cdot m\).
Demonstre, para todo \(a,b,c\in\N\), usando indução e as propriedades da adição e multiplicação enunciadas e provadas na aula que
- \(a^{b+c}=a^b\cdot a^c\);
- \(a^{bc}=(a^b)^c\);
- \((ab)^c=a^c\cdot b^c\).
Exercício 13.3 Demonstre as seguintes afirmações por indução.
- \(2(1+2+\cdots+n)=n(n+1)\);
- \(6(1^2+\cdots+n^2)=n(n+1)(2n+1)\);
- \(4(1^3+\cdots+n^3)=n^2(n+1)^2\).
Exercício 13.4 Demonstre is items do Lema 10.8 que aparecem sem demonstração.
Exercício 13.5 Demonstre que \(ab=0\) implica que \(a=0\) ou \(b=0\) para todo \(a,b\in\Z\).
Exercício 13.6 Se \(a,b\in\N\), dizemos que \(a\) divide \(b\) (e escrevemos que \(a\mid b\)) se existir \(q\in \N\) tal que \(b=qa\). Demonstre as seguintes afrirmações, usando os Axiomas de Peano, a definição das operações e os resultados demonstrados ou enunciados na aula
- Mostre, para \(a,b\in\N\) que se \(a|b\), então \(a\leq b\).
- Mostre que a relação \(|\) é uma ordem parcial sobre o conjunto \(\N\).
- Mostre que \(|\) não é uma ordem total.
Exercício 13.7 Defina a relação \(|\) entre números inteiros na mesma forma que no Exercício 13.6 (para todo \(a,b\in\Z\), \(a\mid b\) se existir \(q\in \Z\) tal que \(b=qa\)). Mostre que a relação \(|\) não é antissimétrica e assim ela é não é uma ordem total em \(\Z\).
Exercício 13.8 Seja \(n\in \Z\) com \(n\geq 2\), e defina a seguinte relação \(\equiv\) entre \(a,b\in \Z\): \[
a\equiv b\mbox{ se e somente se }n\mid a-b.
\]
- Mostre que \(\equiv\) é uma relação de equivalência.
- Faça uma lista das classes de equivalência para valores pequenos de \(n\) (\(n=2,3,4\)).
Exercício 13.9 Demonstre as seguintes afirmações.
- \(1\cdot 1!+2\cdot 2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1\).
- \(\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom nn=2^n\)
- \(\binom n1+2\binom n2+\cdots+n\binom nn=2^{n-1}n\).
Exercício 13.11 Determine o quociente e o resto da divisão de \(a\) por \(b\), onde são os seguintes:
- \(a=27\), \(b=5\);
- \(a=111\), \(b=11\);
- \(a=-27\), \(b=5\);
- \(a=-111\), \(b=11\).
Exercício 13.12 Demonstre as seguintes afirmações para todo \(a,b,c\in\Z\):
- Se \(c\mid a\) e \(c\mid b\), então \(c\mid (a+b)\);
- Se \(c\mid a\), então \(c\mid ka\) para todo \(k\in\Z\);
- Se \(c\mid b\) e \(c\mid (a+b)\), então \(c\mid a\).
Exercício 13.13 Seja \(a\in \Z\). Demonstre as seguintes afirmações:
- Na divisão de \(a^2\) por \(4\), o resto é \(0\) ou \(1\).
- Na divisão de \(a^2\) por \(8\), o resto é \(0\), \(1\), ou \(4\).
Exercício 13.14 Seja \(k\geq 0\) um inteiro.
- Mostre que o resto de \(10^k\) na divisão por \(3\) é \(1\).
- Faça a mesma coisa para o resto de \(10^k\) na divisão por \(9\).
- Mostre que o resto de \(10^k\) na divisão por \(11\) é \(1\) se \(k\) é par e \(10\) se \(k\) é ímpar.
Exercício 13.15 Sejam \(a,\ b,\ c\in\Z\). Demonstre as seguintes afirmações ou dê contraexemplo:
- se \(ac\mid bc\), então \(a\mid b\);
- se \(a\mid b\) e \(a\mid c\), então \(a\mid (b-c)\);
- se \(c\mid (a+b)\), então \(c\mid a\) ou \(c\mid b\).
- se \(a\mid b\) e \(c\nmid a\), então \(c\nmid b\).
Exercício 13.16 Escreva o número \(a\) na base \(b\) para:
- \(a=133\), \(b=2\);
- \(a=133\), \(b=3\);
- \(a=133\), \(b=4\);
- \(a=133\), \(b=5\);
- \(a=133\), \(b=8\).
- \(a=133\), \(b=16\).
Exercício 13.17 Na aula consideramos bases \(b\geq 2\). Considere a base \(b=-2\) com os algarismos \(0\) e \(1\). Escreva os números \(a=-10,\ldots,10\) na base \(b=-2\) sem usar o sinal de menos.
Exercício 13.18 Mostre que todo número inteiro pode ser escrito de forma única na como expansão na base \(b=-2\). Ou seja, se \(a\in\Z\), então \(a\) pode ser escrito na forma \[
a=\sum_{i=0}^n a_i(-2)^i
\] e a sequência dos algarismos \(a_0,\ldots,a_n\in\{0,1\}\) é unicamente determinada por \(a\). Dica: Use indução em \(|a|\) e siga os passos da demonstração do 12.2
Exercício 13.19 Sejam \(a_0,q\in \Z\) e considere a progressão geométrica \[
a_0,\ a_1=a_0\cdot q,\ a_2=a_1\cdot q,\ldots
\] Demonstre que a soma dos \(n\) primeiros termos desta progressão é dada por \[
S_n=\begin{cases}
na_0,&\mbox{se }q=1;\\
a_0\displaystyle{\frac{q^n-1}{q-1}},&\mbox{se }q\neq 1.
\end{cases}
\]
Exercício 13.20 Demonstre os critérios de divisibilidade no Teorema 12.3 que não têm demonstração na apostila.
Exercício 13.21 Representa os números \(a,b\in\Q\) com pares ordenados \((m,n)\in\Z\times(\Z\setminus\{0\})\) e calcule \(a+b\) e \(a\cdot b\) usando estas representações para os seguintes casos:
- \(a=1/2\) e \(b=1/3\).
- \(a=2/5\) e \(b=3/4\).
- \(a=5/6\) e \(b=7/8\).
Exercício 13.22 Escreva o número \(0,10\overline{123}\) na forma de fração.
Exercício 13.23 Escreva o número racional \(a=5/7\) na forma decimal.