12  Lista de Exercícios

Exercício 12.1 Demonstre, usando apenas os Axiomas de Peano e a definição da adição, que \(1\neq a+b\) para todo \(a,b\in\N\).

Exercício 12.2 Defina \(m^n\), para \(m,n\in\N\), usando as regras

  1. \(m^1=m\);
  2. \(m^{S(n)}=m^n\cdot m\).

Demonstre, para todo \(a,b,c\in\N\), usando indução e as propriedades da adição e multiplicação enunciadas e provadas na aula que

  1. \(a^{b+c}=a^b\cdot a^c\);
  2. \(a^{bc}=(a^b)^c\);
  3. \((ab)^c=a^c\cdot b^c\).

Exercício 12.3 Demonstre as seguintes afirmações por indução.

  1. \(2(1+2+\cdots+n)=n(n+1)\);
  2. \(6(1^2+\cdots+n^2)=n(n+1)(n+2)\);
  3. \(4(1^3+\cdots+n^3)=n^2(n+1)\).

Exercício 12.4 Demonstre is items do Lema 10.8 que aparecem sem demonstração.