14  Lista de Exercícios

Exercício 14.1 Demonstre, usando apenas os Axiomas de Peano e a definição da adição, que \(1\neq a+b\) para todo \(a,b\in\N\).

Exercício 14.2 Defina \(m^n\), para \(m,n\in\N\), usando as regras

  1. \(m^1=m\);
  2. \(m^{S(n)}=m^n\cdot m\).

Demonstre, para todo \(a,b,c\in\N\), usando indução e as propriedades da adição e multiplicação enunciadas e provadas na aula que

  1. \(a^{b+c}=a^b\cdot a^c\);
  2. \(a^{bc}=(a^b)^c\);
  3. \((ab)^c=a^c\cdot b^c\).

Exercício 14.3 Demonstre as seguintes afirmações por indução.

  1. \(2(1+2+\cdots+n)=n(n+1)\);
  2. \(6(1^2+\cdots+n^2)=n(n+1)(2n+1)\);
  3. \(4(1^3+\cdots+n^3)=n^2(n+1)^2\).

Exercício 14.4 Demonstre is items do Lema 10.8 que aparecem sem demonstração.

Exercício 14.5 Demonstre que \(ab=0\) implica que \(a=0\) ou \(b=0\) para todo \(a,b\in\Z\).

Exercício 14.6 Se \(a,b\in\N\), dizemos que \(a\) divide \(b\) (e escrevemos que \(a\mid b\)) se existir \(q\in \N\) tal que \(b=qa\). Demonstre as seguintes afrirmações, usando os Axiomas de Peano, a definição das operações e os resultados demonstrados ou enunciados na aula

  1. Mostre, para \(a,b\in\N\) que se \(a|b\), então \(a\leq b\).
  2. Mostre que a relação \(|\) é uma ordem parcial sobre o conjunto \(\N\).
  3. Mostre que \(|\) não é uma ordem total.

Exercício 14.7 Defina a relação \(|\) entre números inteiros na mesma forma que no Exercício 14.6 (para todo \(a,b\in\Z\), \(a\mid b\) se existir \(q\in \Z\) tal que \(b=qa\)). Mostre que a relação \(|\) não é antissimétrica e assim ela é não é uma ordem total em \(\Z\).

Exercício 14.8 Seja \(n\in \Z\) com \(n\geq 2\), e defina a seguinte relação \(\equiv\) entre \(a,b\in \Z\): \[ a\equiv b\mbox{ se e somente se }n\mid a-b. \]

  1. Mostre que \(\equiv\) é uma relação de equivalência.
  2. Faça uma lista das classes de equivalência para valores pequenos de \(n\) (\(n=2,3,4\)).

Exercício 14.9 Demonstre as seguintes afirmações.

  1. \(1\cdot 1!+2\cdot 2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1\).
  2. \(\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom nn=2^n\)
  3. \(\binom n1+2\binom n2+\cdots+n\binom nn=2^{n-1}n\).

Exercício 14.10 Demonstre as afirmações dos Lema 11.2, Lema 11.3, Lema 11.4 (que não têm demonstração nas apostilas).

Exercício 14.11 Determine o quociente e o resto da divisão de \(a\) por \(b\), onde são os seguintes:

  1. \(a=27\), \(b=5\);
  2. \(a=111\), \(b=11\);
  3. \(a=-27\), \(b=5\);
  4. \(a=-111\), \(b=11\).

Exercício 14.12 Demonstre as seguintes afirmações para todo \(a,b,c\in\Z\):

  1. Se \(c\mid a\) e \(c\mid b\), então \(c\mid (a+b)\);
  2. Se \(c\mid a\), então \(c\mid ka\) para todo \(k\in\Z\);
  3. Se \(c\mid b\) e \(c\mid (a+b)\), então \(c\mid a\).

Exercício 14.13 Seja \(a\in \Z\). Demonstre as seguintes afirmações:

  1. Na divisão de \(a^2\) por \(4\), o resto é \(0\) ou \(1\).
  2. Na divisão de \(a^2\) por \(8\), o resto é \(0\), \(1\), ou \(4\).

Exercício 14.14 Seja \(k\geq 0\) um inteiro.

  1. Mostre que o resto de \(10^k\) na divisão por \(3\) é \(1\).
  2. Faça a mesma coisa para o resto de \(10^k\) na divisão por \(9\).
  3. Mostre que o resto de \(10^k\) na divisão por \(11\) é \(1\) se \(k\) é par e \(10\) se \(k\) é ímpar.

Exercício 14.15 Sejam \(a,\ b,\ c\in\Z\). Demonstre as seguintes afirmações ou dê contraexemplo:

  1. se \(ac\mid bc\), então \(a\mid b\);
  2. se \(a\mid b\) e \(a\mid c\), então \(a\mid (b-c)\);
  3. se \(c\mid (a+b)\), então \(c\mid a\) ou \(c\mid b\).
  4. se \(a\mid b\) e \(c\nmid a\), então \(c\nmid b\).

Exercício 14.16 Escreva o número \(a\) na base \(b\) para:

  1. \(a=133\), \(b=2\);
  2. \(a=133\), \(b=3\);
  3. \(a=133\), \(b=4\);
  4. \(a=133\), \(b=5\);
  5. \(a=133\), \(b=8\).
  6. \(a=133\), \(b=16\).

Exercício 14.17 Na aula consideramos bases \(b\geq 2\). Considere a base \(b=-2\) com os algarismos \(0\) e \(1\). Escreva os números \(a=-10,\ldots,10\) na base \(b=-2\) sem usar o sinal de menos.

Exercício 14.18 Mostre que todo número inteiro pode ser escrito de forma única na como expansão na base \(b=-2\). Ou seja, se \(a\in\Z\), então \(a\) pode ser escrito na forma \[ a=\sum_{i=0}^n a_i(-2)^i \] e a sequência dos algarismos \(a_0,\ldots,a_n\in\{0,1\}\) é unicamente determinada por \(a\). Dica: Use indução em \(|a|\) e siga os passos da demonstração do 12.2

Exercício 14.19 Sejam \(a_0,q\in \Z\) e considere a progressão geométrica \[ a_0,\ a_1=a_0\cdot q,\ a_2=a_1\cdot q,\ldots \] Demonstre que a soma dos \(n\) primeiros termos desta progressão é dada por \[ S_n=\begin{cases} na_0,&\mbox{se }q=1;\\ a_0\displaystyle{\frac{q^n-1}{q-1}},&\mbox{se }q\neq 1. \end{cases} \]

Exercício 14.20 Demonstre os critérios de divisibilidade no Teorema 12.3 que não têm demonstração na apostila.

Exercício 14.21 Representa os números \(a,b\in\Q\) com pares ordenados \((m,n)\in\Z\times(\Z\setminus\{0\})\) e calcule \(a+b\) e \(a\cdot b\) usando estas representações para os seguintes casos:

  1. \(a=1/2\) e \(b=1/3\).
  2. \(a=2/5\) e \(b=3/4\).
  3. \(a=5/6\) e \(b=7/8\).

Exercício 14.22 Escreva o número \(0,10\overline{123}\) na forma fracional.

Exercício 14.23 Seja \(a=5/7\). 1. Escreva o número racional \(a=5/7\) na forma decimal. 2. Determine o período e o pré-período da expansão decimal de \(a\). 3. Escreva o mesmo número \(a\) como expansão na base \(3\).

Exercício 14.24 Considere o número \(x=a/b\) onde \(a,b\in\N\) são tais que \(0<a<b\). Assuma ainda que não existe nenhum \(c\in\N\), com \(c>1\), que divide simultaneamente \(a\) e \(b\) (ou seja, a fração \(a/b\) está na sua forma irredutível). Mostre que a expansão decimal de \(x\) é finita se e somente se \(b\) é da forma \(b=2^m5^n\) para alguns inteiros \(m,n\geq 0\).

Exercício 14.25 Seja \(x=a/b\) um número racional com \(a,b\in\N\) e \(0<a<b\). Mostre que o comprimento do período da expansão decimal de \(x\) é o menor que \(b\).

Exercício 14.26 Demonstre que o número \(0,\overline{9}=0,999\cdots\) é igual a \(1\).

Exercício 14.27 Seja \(a=[a_n\cdots a_1a_0]_b\) um número natural escrito na base \(b\geq 2\).

  1. Mostre que \(b\mid a\) se e somente se \(a_0=0\).
  2. Mostre que \(b-1\mid a\) se e somente se a soma dos dígitos de \(a\) é múltiplo de \(b-1\).
  3. Mostre que \(b+1\mid a\) se e somente se a soma dos dígitos de \(a\) com sinais alternados (começando com sinal positivo) é múltiplo de \(b+1\).

Exercício 14.28 Caclule a soma e o produto dos seguintes números complexos:

  1. \(z_1=2+i\) e \(z_2=3+4i\);
  2. \(z_1=1-i\) e \(z_2=5+2i\);
  3. \(z_1=4+3i\) e \(z_2=2-5i\).

Esboçe os números e as suas somas e produtos no plano complexo.

Exercício 14.29 Calcule o módulo, o argumento, o conjugado e o inverso dos seguintes números complexos:

  1. \(z=3+4i\);
  2. \(z=1-\sqrt{3}i\);
  3. \(z=-2+\sqrt{2}i\);
  4. \(z=-1- i\).

Esboçe os números no plano complexo.

Exercício 14.30 Escreva os seguintes números complexos na forma polar:

  1. \(z=1+i\);
  2. \(z=1-\sqrt{3}i\);
  3. \(z=-\sqrt{3}+i\);
  4. \(z=-1-1i\).

Esboçe os números no plano complexo.

Exercício 14.31 Utilizando a forma polar, calcule o produto e o quociente dos números complexos no Exercício 14.30. Esboçe os números obtidos no plano complexo.

Exercício 14.32 Utilizando a forma polar, calcule \(z^k\) com \(k=2,3,4,5\) dos números complexos no Exercício 14.30. Esboçe os números obtidos no plano complexo.

Exercício 14.33 Utilizando a forma polar, calcule as raízes \(n\)-ésimas dos seguintes números complexos:

  1. \(z=1\), \(n=1,2,3,4,5,6\);
  2. \(z=2\), \(n=1,2,3,4,5,6\);
  3. \(z=1+i\), com \(n=3\);
  4. \(z=1-\sqrt{3}i\), com \(n=4\);
  5. \(z=-\sqrt{3}+i\), com \(n=6\);
  6. \(z=-1-1i\), com \(n=5\).

Esboçe os números obtidos no plano complexo.

Exercício 14.34 Seja \(k\geq 2\) um inteiro e sejam \(\xi_1,\ldots,\xi_k\) as raízes \(k\)-ésimas da unidade. Mostre que

  1. \(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_k=0\);
  2. \(\xi_1\xi_2\cdots \xi_k=(-1)^{k+1}\).

Exercício 14.35 Resolva os seguintes polinômios no conjunto dos números complexos:

  1. \(z^2+2z+5=0\);
  2. \(z^2-4z+8=0\);
  3. \(z^3-3z^2+4=0\);
  4. \(z^3+1=0\).
  5. \(z^{6}-z^3+1=0\).

Esboçe as raízes no plano complexo.

Exercício 14.36 Considere a matriz \[ J=\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}. \]

  1. Seguindo as técnicas que você aprendeu em GAAL, mostre que \(J\) não possui autovalores reais.
  2. Mostre que \(J\) possui dois autovalores complexos e determine os autovetores associados em \(\C^2\).
  3. Ache uma matriz invertível \(P\in M_2(\C)\) tal que \(P^{-1}JP\) é uma matriz diagonal.

Exercício 14.37 Considere o conjunto das matrizes \(2\times 2\) com entradas em \(\R\) definido por \[ G=\left\{\begin{bmatrix}a & -b\\b & a\end{bmatrix}\mid a,b\in\R\right\}. \] Seja \[ \psi:\C\to G,\quad \psi(a+bi)=\begin{bmatrix}a & -b\\b & a\end{bmatrix}. \]

  1. Mostre que \(\psi\) é uma bijeção.
  2. Mostre que \(\psi(z_1+z_2)=\psi(z_1)+\psi(z_2)\) e \(\psi(z_1z_2)=\psi(z_1)\psi(z_2)\) para todos \(z_1,z_2\in\C\).
  3. Conclua que os números complexos podem ser realizados como certas matrizes \(2\times 2\) com entradas reais.
  4. Identifique a matriz que corresponde ao número complexo \(i\) e calcule sua potência \(n\)-ésima para \(n\in\N\).
  5. Identifique as matrizes que correspondem aos números reais e aos números puramente imaginários.

Exercício 14.38 Seja \[ A=\begin{bmatrix}1 & i\\i & -1\end{bmatrix}. \]

  1. Mostre que o único autovalor complexo de \(A\) é \(0\) e os autovetores associados são todos os múltiplos escalares de um vetor específico que você deve encontrar.
  2. Deduza que \(A\) não é diagonalizável sobre \(\C\) mesmo sendo simétrica. Reflita sobre a diferença entre matrizes simétricas com entradas reais e com entradas complexas considerando o que você aprendeu em GAAL.

Exercício 14.39 Demonstre a identidade de Euler que \[ e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) \] usando as seguintes séries de Taylor das funções exponencial, cosseno e seno: \[\begin{align*} e^x&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\\ \cos(x)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},\\ \sin(x)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}. \end{align*}\]

Exercício 14.40 Usando a fórmula quadrática, resolva a equação \(z^{2}+z+1=0\) para números complexos \(z\). Demonstre que as soluções são terceiras raízes da unidade. Consegue explicar porque?

Exercício 14.41 Esboce os seguintes conjuntos no plano complexo.

  1. \(\{z \in \mathbb{C}||z| \leq 1\}\);
  2. \(\{z \in \mathbb{C}||z-i| \leq 1\}\);
  3. \(\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \in[-1,1]\}\);
  4. \(\left\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=1\right\}\).

Exercício 14.42 Encontre um valor \(\vartheta\) tal que a \(|\exp (i \vartheta)-1|=2\).

Exercício 14.43 [Vestibular ITA 2023] Calcule a soma de todos os coeficientes das potências com expoentes múltiplas de 3 na expansão de \[ p(x)=\left(1+x^{2}-x^{3}+x^{4}\right)^{10} \]

[Dica: Sejam \(1, \omega, \omega^{2}\) as três terceiras raízes da unidade. Calcule \(p(1)+p(\omega)+p\left(\omega^{2}\right)\). Para mais detalhes consute o vídeo do Professor Engenheiro no youtu.be/FIwrxWT9Qr0.]

Exercício 14.44 Usando as regras usuais da função logaritmo e exponencial, atribua um valor à expressão \(i^{i}\).