48  O Teorema do Elemento Primitivo (demonstração)

Nesta página nós vamos provar o Teorema dos Elementos Primitivos que enunciamos no segundo bloco da disciplina sem demonstração.

Exercício 48.1 Seja \(n\in\N\). Mostre que \[ \sum_{k\in\N,\ k\mid n}\varphi(k)=n. \]

Teorema 48.1 Se \(p\in\N\) for um primo, então \(\Z_p\) possui um elemento primitivo (ou seja, um elemento de ordem \(p-1\))

Comprovação. Seja \(a\in\Z_p\) de ordem \(k\). Isso quer dizer que \(a^k=\overline 1\) e \(k\) é o menor natural que satisfaz esta propriedade. O Pequeno Teorema de Fermat e as propriedades da ordem implicam que \(k\mid p-1\). Se \(m\in\{0,\ldots,k-1\}\), temos que \((a^m)^k=\overline 1\), então os elementos \(a^m\) são raízes do polinômio \(x^k-\overline 1\in\Z_p[x]\). Por outro lado, este polinômio tem no máximo \(k\) raízes e segue que \(a^0,a,a^2,\ldots,a^{k-1}\) são todas as raízes de \(x^k-\overline 1\in\Z_p[x]\). Isso implica que \[ \{b\in\Z_p\mid b^k=\overline 1\}=\{1,a,a^2,\ldots,a^{k-1}\}. \]

Vamos contar o número dos elementos \(b\) de ordem \(k\). Tal elemento \(b\) está na forma \(a^m\) com algum \(m\in\{0,\ldots,k-1\}\) pelo argumento acima. Além disso, \[ |a^m|=k/\mdc mk \] e \(|a^m|=k\) se e somente se \(\mdc mk=1\). Portanto \[ \{b\in\Z_p\mid |b|=k\}=\{a^m\mid m\in\{0,\ldots,k-1\},\ \mdc mk=1\}. \] Portanto \[ |\{b\in\Z_p\mid |b|=k\}|=\varphi(k). \]

O argumento até agora implica que a seguinte afirmação está verdadeira em \(\Z_p\): Se \(\Z_p\) possui um elemento de ordem \(k\), então \(\Z_p\) possui \(\varphi(k)\) elementos de ordem \(k\).

Para \(k\mid p-1\), seja \(\psi(k)\) o número de elementos de ordem \(k\) em \(\Z_p\). Pela afirmação em itálico, \(\psi(k)\leq \varphi(k)\). Por outro lado, usando o exercício acima, \[ p-1=|\Z_p\setminus\{\overline 0\}|=\sum_{k\in\N,\ k\mid p-1}\psi(k)\leq \sum_{k\in\N,\ k\mid p-1}\varphi(k)=p-1. \] Isso implica que a desigualdade no meio precisa ser igualdade e também que \(\psi(k)=\varphi(k)\) para todo \(k\mid p-1\). Em particular \(\psi(p-1)=\varphi(p-1)\) e \(\Z_p\) contém \(\varphi(p-1) > 0\) elementos de ordem \(p-1\).