Definição 53.1 Seja \(V\) um espaço vetorial sobre um corpo \(\F\) e \(U\subseteq V\) um subconjunto não vazio. Dizemos que \(U\) é subespaço de \(V\) se \(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2\in U\) para todo \(v_1,v_2\in U\) e \(\alpha_1,\alpha_2\in\F\).
Equivalentemente, podemos dizer que \(U\) é um subespaço quando ele é fechado para combinações lineares; ou seja, \(\sum_{i=1}^k\alpha_i v_i\in U\) para todo \(\alpha_i\in\F\) e \(v_i\in U\).
Um subespaço vetorial é um espaço vetorial dentro de um espaço maior.
Quando \(U\) é um subespaço de \(V\), escrevemos que \(U\leq V\).
Exemplo 53.1 Vários exemplos foram dados na aula.
Seja \(V\) um \(\F\)-espaço vetorial e \(X\subseteq V\). O subespaço gerado por \(X\) está definido como \[
\langle X\rangle=\left\{\sum_{i=1}^k\alpha_i x_i\mid \alpha_i\in\F,\ x_i\in X\right\}.
\] Ou seja, \(\langle X\rangle\) é o conjunto de todas as combinações lineares em \(X\). Claramente, \(\langle X\rangle \leq V\) e \(\langle X\rangle= V\) se e somente se \(X\) é um conjunto gerador.
Observe que um subespaço \(U\) é não vazio. Tomando \(v\in U\), temos que \(v+(-1)v=v-v=0\in U\). Ou seja, todo subespaço contém o vetor nulo.
O subconjunto \(\{0\}\) é subespaço em qualquer espaço e este subespaço é chamado de subespaço trivial. O próprio \(V\) é subespaço de \(V\). Quando \(U\leq V\) e \(U\neq V\), escrevemos que \(U<V\) e chamamos \(U\) de espaço próprio.
Lema 53.1 Seja \(V\) um espaço vetorial, seja \(I\) um conjunto de índices, e sejam \(U_i\) subspaços de \(V\) para todo \(i\in I\).
- A soma de \(U_i\) \[
\sum_{i\in I}=\{u_1+\cdots+u_k\mid u_i\in U_{j_i}\mbox{ e }k\geq 0\}
\] é um subespaço de \(V\).
- A interseção \[
\bigcap_{i\in I} U_i
\] é um subespaço de \(V\).
Comprovação. Dada na aula.
Note que a união não é geralmente subespaço. Exemplos foram dadas na aula. Quando temos um número finito de espaços \(U_1,\ldots,U_k\), a soma pode ser escrita como \[
U_1+\cdots+U_k=\{u_1+\cdots+u_k\mid u_i\in U_i\}.
\] Em particular, \[
U_1+U_2=\{u_1+u_2\mid u_i\in U_i\}.
\] Na verdade, temos que \[
\sum_{i=1}^k U_i=\left\langle\bigcup_{i\in I} U_i\right\rangle.
\] Ou seja, \(\sum_i U_i\) é o menor subespaço que contém \(U_i\) para todo \(i\).
Lema 53.2 Seja \(U\leq V\). Então \(\dim U\leq \dim V\). Assumindo que \(\dim V\) é finita, temos que \(\dim U=\dim V\) se e somente se \(U=V\).
Comprovação. Dada na aula.
Exercício 53.1 Seja \(X\subseteq V\) onde \(V\) é um espaço vetorial. Temos que \[
\langle X\rangle=\bigcap_{X\subseteq U\leq V} U.
\]
Teorema 53.1 Seja \(V\) um espaço vetorial de dimensão finita e sejam \(U_1,U_2\leq V\). Então \[
\dim (U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1\cap U_2).
\]
Comprovação. Dada na aula, veja também as notas do Rodney e John.
Definição 53.2 Sejam \(U_1,U_2\in V\). Dizemos que \(V\) é soma direta de \(U_1\) e \(U_2\) se \[
V=U_1+U_2\quad\mbox{e}\quad U_1\cap U_2=\{0\}.
\] Neste caso, escrevemos \(V=U_1\oplus U_2\).
É imediato que \[
\dim(U_1\oplus U_2)=\dim U_1+\dim U_2.
\]
Exemplo 53.2 Nestes exemplos, \(F\) é um corpo arbitrário.
Considere \(V=\F^2\) com um corpo \(\F\). Se \(U_1=\{(\alpha,0)\mid\alpha\in\F\}\) e \(U_2=\{(0,\alpha)\mid \alpha\in\F\}\). então \(V=\F^2=U_1\oplus U_2\).
Seja \(V=\F[x]\) e defina \[
U_1=\left\{\sum_{i=1}^n\alpha_ix^{2i}\mid \alpha_i\in\F\mbox{ e }n\geq 0\right\}
\] e \[
U_2=\left\{\sum_{i=1}^n\alpha_ix^{2i+1}\mid \alpha_i\in\F\mbox{ e }n\geq 0\right\}.
\] Então \(\F[x]=U_1\oplus U_2\).
Seja \(\F\) um corpo de caraterística diferente de \(2\) (por exemplo, \(\F=\R\)). Seja \(V=\mbox{Func}(\F,\F)\) e defina \[
U_1=\{f\in V\mid f(-x)=f(x)\mbox{ para todo }x\in \F\}
\] e \[
U_2=\{f\in V\mid f(-x)=-f(x)\mbox{ para todo }x\in \F\}.
\] Ou seja, \(U_1\) é o conjunto de funções pares e \(U_2\) é o conjunto de funções ímpares. Afirmamos que \(V=U_1\oplus U_2\). Primeiro, se \(f\in V\) é arbitrário, então \(f=f_1+f_2\) onde \[
f_1(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2\quad\mbox{e}\quad f_2(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2.
\] Como \(f_1\in U_1\) e \(f_2=U_2\), temos que \(V=U_1+U_2\). Além disso, se \(f\) é uma função par e impar no mesmo tempo, então \(f=0\) e \(U_1\cap U_2=\{0\}\). Logo \(V=U_1\oplus U_2\).
Teorema 53.2 Sejam \(U_1,U_2\leq V\). Então \(V=U_1\oplus U_2\) se e somente se todo elemento \(v\in V\) pode ser escrito unicamente como \(v=u_1+u_2\) como \(u_i\in U_i\).
Comprovação. Dada na aula, veja também as notas.
Definição 53.3 Seja \(V\neq 0\) um espaço vetorial e \(U\leq V\). Um subespaço \(W\leq V\) é dito complemento de \(U\) em \(V\) se \(V=U\oplus W\).
Teorema 53.3 Se \(U\leq V\) como na definição anterior, existe complemento \(W\) de \(U\) em \(V\).
Comprovação. Seja \(X\subseteq U\) uma base de \(U\) e seja \(Y\subseteq V\) disjunto de \(X\) tal que \(X\cup Y\) é base de \(V\). Então pode tomar \(W=\langle Y\rangle\).
Definição 53.4 Seja \(V\) um espaço vetorial e sejam \(U_1,\ldots,U_k\leq V\). Dizemos que \(V=U_1\oplus\cdots \oplus U_k\) se \(V=U_1+\cdots+U_k\) e \[
U_i\cap\left(U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdot+U_k\right)=\{0\}
\] para todo \(i\in\{1,\ldots,k\}\).
Teorema 53.4 Se \(U_1,\ldots,U_k\leq V\), então \(V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k\) se e somente se todo elemento \(v\in V\) pode ser escrito unicamente como \(v=u_1+\cdots+u_k\) com \(u_i\in U_i\). Neste caso temos ainda que \(\dim V=\sum_{i}\dim U_i\).
A construção de soma direta em cima frequentamente chama-se soma direta interna, pois a soma acontece dentro de um espaço \(V\). Existe uma outra construção chamada de soma direta externa definida na maneira seguinte.
Definição 53.5 Sejam \(U\) e \(V\) espaços vetoriais sobre um corpo \(\F\). A soma direta (externa) \(U\oplus V\) de \(U\) e \(V\) está definida como o conjunto \[
U\times V=\{(u,v)\mid u\in U, v\in V\}
\] com as seguintes operações: \[
(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)\mbox{ para todo } u_i\in U\mbox{ e }v_i\in V
\] e \[
\alpha(u,v)=(\alpha u,\alpha v)\mbox{ para todo } u\in U,\ v\in V\mbox{ e }\alpha\in \F.
\]
É fácil verificar que \(U\oplus V\) é um espaço vetorial. O vetor nulo é \((0_U,0_V)\) e \(-(u,v)=(-u,-v)\) para \(u\in U\) e \(v\in V\). No caso da soma direta externa, \(U\) e \(V\) não precisam ser subespaços no mesmo espaço vetorial. Se \(W=U\oplus V\) (soma direta externa), então podemos definir os subespaços \[\begin{align*}
U_1&=\{(u,0_V)\mid u\in U\}\\
V_1&=\{(0_U,v)\mid v\in V\}.
\end{align*}\] É fácil verificar que \(W=U_1\oplus V_1\) considerado como uma suma interna. Em particular, quando \(U\) e \(V\) têm dimensão finita, então \(\dim U\oplus V=\dim U+\dim V\). :::