35  Domínios de Fatoração Única

O Teorema Fundamental da Aritmética e o Teorema da Fatoração para Polinômios são resultados parecidos no sentido que os dois afirmam que os objetos em Z e em F[x] podem ser escritos unicamente como produtos de “indecomponíveis”. Os “indecomponíveis” em Z são os primos, enquanto os “indecomponíveis” em F[x] são os polinômios irredutíveis. Nós queremos generalizar esta observação para uma classe maior de estruturas algébricas.

Lembre que o conceito de elemento irredutível (ou redutível) foi definido na página Polinômios Irredutíveis.

Definição 35.1 Um domínio R é dito domínio de fatoração única (ou DFU) se todo elemento aR{0} tal que a não é invertível pode ser escrito como a=q1qk onde os qi são irredutíveis e esta fatoração é única no seguinte sentido. Se a=q1qk=r1rm tais que os qi e os rj são irredutíveis, então k=m e os fatores r1,,rm podem ser reindexados em tal modo que ri=αiqi vale com αiR invertível para todo i{1,,k}

Exemplo 35.1 Para entender melhor a interpretação da unicidade na definição anterior, considere por exemplo R=R[x]. O polinômio x21R[x] pode ser escrito de várias maneiras como produto de irredutíveis: x21=(x+1)(x1)=(2x+2)(x212)=(x313)(3x+3). Em todas estas fatorações, um dos fatores é α1(x+1) enquanto o outro é α2(x1) onde α1,α2R{0}; ou seja α1,α2 são elemento invertíveis em R[x]. É fácil verificar usando os resultados estudados que todas as fatorações de x21 em fatores irredutíveis são na forma x21=(α1(x+1))(α2(x1)) ou x21=(α1(x1))(α2(x+1)) onde α1,α2R{0} (e α1α2=1)

Exemplo 35.2 Se R é um corpo, então ele é DFU pois R{0} não possui elementos não invertíveis. Então a condição na definição de DFU é trivialmente válida para R.

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, Z é DFU. Pelo Teorema da Fatoração para Polinômios, F[x] é DFU sempre que F é um corpo.

O seguinte teorema é útil para construir domínios de fatoração única, mas a demonstração não será apresentada nesta disciplina.

Teorema 35.1 Se R é DFU, então R[x] é DFU

Exemplo 35.3 O teorema anterior implica que Z[x] é DFU. Para um anel R, o conjunto R[x,y] de polinômios em duas variáveis pode ser visto como o anel (R[x])[y] de polinômios na variável y sobre o anel R[x] dos polinômios na variável x. Similarmente, nós podemos olhar em R[x1,,xk] recursivamente como o anel (R[x1,,xk1])[xk]. Logo, o teorema anterior implica que se R é um DFU, então R[x1,,xk] é DFU para todo k1. Em particular, Z[x1,,xk] é DFU e, se F é um corpo, F[x1,,xk] também é DFU

Exemplo 35.4 O domínio mais conhecido que não é DFU é Z[5]. Neste domínio, podemos fatorar o elemento 6 como 6=23=(1+5)(15). Pode-se verificar que os fatores nas duas descomposições são irredutíveis, mas os fatores na segunda decomposição não são múltiplos dos fatores na primeira decomposição por elementos invertíveis, pois os únicos invertíveis em Z[5] são 1 e 1