Nesta página, \(V\) é um espaço vetorial sobre um corpo \(\F\) de dimensão \(n\) (finita) e \(t\) é uma incôgnita sobre \(\F\).
Note que \(\mbox{End}(V)=\mbox{Hom}(V,V)\cong M_{n\times n}(\F)\) é um espaço de dimensão \(n^2\) (finita). Além disso, no espaço \(\mbox{End}(V)\) temos que os elementos (endomorfismos) podem ser somados, multiplicados por escalar e também compostos. Se \(f,g\in \mbox{End}(V)\), então \(fg=f\circ g\) e \(f^k=f\circ\cdots\circ f\) (\(k\) vezes). Dizemos que \(\mbox{End}(V)\) é uma álgebra.
Se \(f\in\mbox{End}(V)\), então a sequência infinita, \(f^0=\mbox{id}_V,f,f^2,f^3,\ldots\) é L.D. Assuma que \(m\geq 0\) é tal que a seqência \(f^0,f,f^2,\ldots,f^m\) é linearmente dependente. Então existem coeficientes \(\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in\F\) tais que eles não são todos iguais a zero e \[
\alpha_0 f^0+\alpha_1 f+\cdots+\alpha_m f^m=0
\] onde \(0\) denota o operador \(0\in\mbox{End}(V)\). Defina \[
p(t)=\alpha_0+\alpha_1t+\cdots+\alpha_{m-1}t^{m-1}+\alpha_mt^m\in\F[t].
\] Então temos que \(p(t)\in\F[t]\) é um polinômio não nulo e \(p(f)=0\); ou seja \(f\) é raíz de \(p(t)\).
Lema 66.1 Seja \[
I_f=\{p(t)\in\F[t]\mid p(f)=0\}\subseteq \F[t].
\] Então \(I_f\) é fechado para soma e múltiplo escalar. Além disso, se \(p(t)\in I_f\) e \(q(t)\in \F[t]\), então \(p(t)q(t)\in I_f\). (Em outras palávras, \(I_f\) é um ideal em \(\F[t]\)). Ademais, \(I_f\) contém polinômios não nulos, existe único polinômio mônico \(m_f(t)\in I_f\) de menor grau e \[
I_f=m_f(t)\F[t]=\{m_f(t)q(t)\mid q(t)\in\F[t]\}.
\] (Ou seja, \(I_f\) é o conjunto de múltiplos de \(m_f(t)\)).
Comprovação. É fácil verificar que \(I_f\) é fechado para a soma, múltiplo escalar e para o produto no sentido do enunciado do lema. O argumento antes do lema mostra que existe polinômio não nulo em \(I_f\). Seja \(m_f(t)\) um polinômio de menor grau e assuma (por dividir pelo coeficiente líder de \(m_f(t)\)) que \(m_f(t)\) é mônico. Pela propriedade de ser fechado para o produto, temos que \(m_f(t)\F[t]\subseteq I_f\). Para provar a outra inclusão, seja \(p(t)\in I_f\) arbitrário. Pelo Teorema de Divisão de Euclides, temos que \[
p(t)=q(t)m_f(t)+r(t)
\] onde \(r(t)=0\) ou o grau de \(r(t)\) é menor que o grau de \(m_f(t)\). Por outro lado \[
r(f)=p(f)-q(f)m_f(f)=0
\] e \(r(t)\in I_f\). Pela minimalidade do grau de \(m_f(t)\), temos que \(r(t)=0\); ou seja, \(p(t)=q(t)m_f(t)\). Portanto \(I_f\subseteq m_f(t)\F[t]\) e \(I_f=m_f(t)\F[t]\). Finalmente, se \(p(t)\in I_f\) mônico com o mesmo grau que \(m_f(t)\), então \(p(t)=1\cdot m_f(t)=m_f(t)\) e assim verificamos a unicidade de \(m_f(t)\).
Definição 66.1 O polinômio \(m_f(t)\in\F[t]\) no lema anterior e chamado polinômio mínimo do endomorfismo \(f\).
Exemplo 66.1 Seja \(f:\F^3\to\F^3\) definido como \(f(x,y,z)=(0,x,y+z)\). A matriz de \(f\) na base canônica é \[
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix},
\] enquanto as matrizes de \(f^2\) e \(f^3\) são \[
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad\mbox{e}\quad
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
\] Logo \(f^2=f^3\) ou seja \(f^3-f^2=0\). Como (as matrizes de ) \(f^0\), \(f\), \(f^2\) são L.I., temos que \(m_f(t)=t^3-t^2\).
Lema 66.2 Se \(\lambda\) for um autovalor de \(f:V\to V\), então \(m_f(\lambda)=0\), ou equivalentemente, \(t-\lambda\mid m_f(t)\). Em particular, se \(\mbox{Spec}(f)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}\), então \[
(t-\lambda_1)\cdots (t-\lambda_k)\mid m_f(t)
\] e \(\deg m_f(t)\geq k\).
Comprovação. Primeiro, escreva, usando o Teorema de Divisão de Euclides, que \[
m_f(t)=q(t)(t-\lambda)+\alpha
\] onde \(\alpha\in\F\). Assuma que \(v\in V_\lambda\) não nulo. Ora \[
0=m_f(f)(v)=(q(f)(f-\lambda\mbox{id}_V)+\alpha\mbox{id}_V)v=\alpha v.
\] Como, \(v\neq 0\), temos que \(\alpha=0\), ou seja, \(m_f(t)=q(t)(t-\lambda)\). A segunda afirmação segue do fato que os polinômios \(t-\lambda_i\) são primos entre si dois a dois.