74 Formas sesquilineares

74.1 Automorfismos de corpos

Definição 74.1 Se \(\F\) é um corpo, uma aplicação bijetiva \(\sigma:\F\to \F\), \(a\mapsto a^\sigma\), chama-se automorfismo, se valem para todo \(a,b\in \F\)

\((a+b)^\sigma=a^\sigma+b^\sigma\);
\((ab)^\sigma=a^\sigma b^\sigma\).

Exemplo 74.1

A bijeção \(\mbox{id}_\F\) é automorfismo para todo corpo \(\F\). Este automorfismo chama-se automorfismo trivial. Os corpos \(\Q\), \(\Z_p\) não têm automorfismos não triviais (consegue demonstrar?).
Se \(\F=\C\), então \(\sigma:\C\to \C\), \(z^\sigma=\bar z\) (conjugado complexo) é um automorfismo de \(\C\).
Se \(\F\) é um corpo de caraterística \(p\) (primo), então a aplicação \(\varphi:a\mapsto a^p\) é injetiva e satisfaz as duas propriedades na definição de automorfismo. Para um corpo arbitrário, \(\varphi\) não precisa ser sobrejetiva, mas se \(\F\) é finito, então \(\varphi\), sendo injetiva, será obrigatoriamente sobrejetiva e é um automorfismo. O automorfismo \(\varphi\) de um corpo finito \(\F\) é chamado de automorfismo de Frobenius.
É fácil provar que a composição de automorfismos é automorfismo. Em particular, se \(\F\) é um corpo finito de caraterística \(p\), então \[ \varphi^k:\F\to \F, \quad a\mapsto a^{p^k} \] é um automorfismo de \(\F\). Vocês vão aprender na disciplina Grupos e Corpos que todos os automorfismos de corpos finitos têm esta forma.
Se \[ \F=\{a+b\sqrt 2\mid a,b \in \Q\}, \] então \(a+b\sqrt 2\mapsto a-b\sqrt 2\) é um automorfismo.

74.2 Formas sesquilineares

Definição 74.2 Seja \(V\) um \(\F\)-espaço vetorial e \(\sigma:\F\to\F\) um automorfismo. Uma aplicação \(B:V\times V\to \F\) chama-se forma \(\sigma\)-sesquilinear se temos para todo \(u,v,w\in V\) e \(\alpha,\beta\in\F\) que

\(B(\alpha u+\beta v,w)=\alpha B(u,w)+\beta B(v,w)\).
\(B(u,\alpha v+\beta w)=\alpha^\sigma B(u,v)+ \beta^\sigma B(u,w)\).

Ou seja, uma forma sesquilinear, é uma forma de duas variáveis que é linear na primeira variável e \(\sigma\)-semilinear na segunda.

Definição 74.3 Seja \(B\) uma forma \(\sigma\)-sesquilinear.

\(B\) é chamada \(\sigma\)-Hermitiana se \(B(u,v)=B(v,u)^\sigma\) para todo \(u,v\in V\).
\(B\) é chamada simétrica se \(B(u,v)=B(v,u)\) para todo \(u,v\in V\)
\(B\) é chamada alternada se \(B(u,u)=0\) para todo \(u\in V\).

Lema 74.1 As seguintes são verdadeiras para uma forma \(\sigma\)-sesquilinear não nula:

Se \(B\) é \(\sigma\)-Hermitiana, então \(\sigma^2=\mbox{id}_\F\).
Se \(B\) é alternada, então \(\sigma=\mbox{id}_\F\) e \(B(u,v)=-B(v,u)\) para todo \(u,v\in V\).
Se \(\mbox{car}(\F)\neq 2\), e \(B(u,v)=-B(v,u)\) para todo \(u,v\in V\), então \(B\) é alternada.
Se \(B\) é simétrica, então \(\sigma=\mbox{id}_\F\).

Comprovação.

Seja \(\alpha\in \F\) tal que \(\alpha=B(u,v)\) (tais \(u,v\) existem pois \(B\) é não nula). Então \[ \alpha=B(u,v)=B(v,u)^\sigma=B(u,v)^{\sigma^2}=\alpha^{\sigma^2}. \] Logo \(\alpha^{\sigma^2}=\alpha\) e \(\sigma^2=\mbox{id}_\F\).
Escolhe \(u,v\in V\) tal que \(B(u,v)=-B(v,u)=1\) (é possível trocando \(u\) por um múltiplo escalar) e seja \(\alpha\in \F\). Agora \[ \alpha^\sigma=B(u,\alpha v)=-B(\alpha v,u)=-\alpha B(v,u)=\alpha. \] Ou seja \(\alpha^\sigma=\alpha\) para todo \(\alpha\in\F\) e \(\sigma=\mbox{id}_\F\). Com \(u,v\in V\), calculemos que \[\begin{align*} 0&=B(u+v,u+v)=B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v)\\&=B(u,v)+B(v,u). \end{align*}\] Logo \(B(u,v)=-B(v,u)\).
Assuma que \(B(u,v)=-B(v,u)\) para todo \(u,v\). Então \(B(u,u)=-B(u,u)\) ou seja \(2B(u,u)=0\) para todo \(u\in V\). Se a caraterística do corpo é diferente de \(2\), isso implica que \(B(u,u)=0\) para todo \(u\in V\).
Seja \(B\) simétrica e esolha \(u,v\in V\) tal que \(B(u,v)= 1\). Então temos para \(\alpha\in\F\) que \[ \alpha=B(\alpha u,v)=B(v,\alpha u)=\alpha^\sigma B(v,u)=\alpha^\sigma B(u,v)=\alpha^\sigma. \] Logo, \(\alpha^\sigma=\alpha\) para todo \(\alpha\in \F\) e \(\sigma=\mbox{id}_\F\).

No futuro, uma forma simétrica vai ser vista como caso particular de forma \(\sigma\)-sesquilinear com \(\sigma=\mbox{id}_\F\).

74.3 Formas sesquilineares e matrizes

Definição 74.4 Assuma que \(B:V\times V\to \F\) é uma forma \(\sigma\)-sesquilinear sobre um espaço \(V\) de dimensão \(n\), finita. Seja \(X=\{b_1,\ldots,b_n\}\) uma base de \(V\). Definimos a matriz de Gram de \(B\) como a matriz \(G_X(B)=(B(b_i,b_j))_{i,j}\).

Lema 74.2 Sejam \(V\) e \(B\) como na definição anterior, assuma que \(u,v\in V\) e denote por \([u]_X\) e \([v]_X\) os vetores colunas das coordenadas de \(u\) e \(v\) na base \(X\), respetivamente. Se \((\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\F^n\), então denote \[ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^\sigma=(\alpha_1^\sigma,\ldots,\alpha_n^\sigma). \] Temos que \[ B(u,v)=([u]_X)^t G_X(B) ([v]_X)^\sigma. \]

Comprovação. Exercício.

Exercício 74.1 Seja \(A=(a_{i,j})\in M_{n\times n}(\F)\) e denote por \(A^\sigma\) a matriz \((a_{i,j}^\sigma)\). Demonstre que \[ (A+B)^\sigma =A^\sigma+B^\sigma\quad\mbox{e}\quad (AB)^\sigma=A^\sigma B^\sigma. \]

Lema 74.3 Assuma que \(V\) tem dimensão finita e sejam \(X\) e \(Y\) bases de \(V\). Então \[ G_Y(B)=([\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\mbox{id}^Y_X]^\sigma \] onde \([\mbox{id}^Y_X]^\sigma\) denota a matriz que obtemos de \([\mbox{id}^Y_X]\) aplicando \(\sigma\) em todas as suas entradas.

Comprovação. Sejam \(v,w\in V\). Vamos calcular que \[\begin{align*} &([v]_Y)^t([\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\mbox{id}^Y_X]^\sigma ([w]_Y)^\sigma\\ &=([\mbox{id}]^Y_X [v]_Y)^tG_X(B)([\mbox{id}^Y_X][w]_Y)^\sigma\\ &=([v]_X)^tG_X(B)([w]_X)^\sigma =B(v,w). \end{align*}\] Isso implica que \(G_Y(B)=([\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\mbox{id}^Y_X]^\sigma\).

Exercício 74.2 Seja \(B\) uma forma \(\sigma\)-Hermitiana (incluindo simétrica) ou alternada sobre \(V\) de dimensão finita. Seja \(G=G_X(B)\) a matriz de Gram de \(B\) em uma base \(X\) de \(V\). Mostre que

\(B\) é simétrica se e somente se \(G^t=G\) (ou seja, a matriz \(G\) é simétrica);
assumindo que a caraterística é diferente de \(2\), \(B\) é alternada se e somente se \(G^t=-G\) (ou seja, a matriz \(G\) é antisimétrica);
\(B\) é \(\sigma\)-Hermitiana se e somente se \(G^t=G^\sigma\) (ou seja, a matriz \(G\) é \(\sigma\)-hermitiana).

74.4 O radical de uma forma sesquilinear

Definição 74.5 Dada uma forma \(B:V\times V\to \F\) sesquilinear, definimos os radicais da forma \[ \mbox{Rad}_L(B)=\{v\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }w\in V\} \] e \[ \mbox{Rad}_R(B)=\{w\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }v\in V\}. \] O \(\mbox{Rad}_L(B)\) chama-se radical à esquerda, enquanto \(\mbox{Rad}_R(B)\) chama-se radical à direita.

Exercício 74.3 Demonstre que se \(\dim V\) é finita, então \(\dim \mbox{Rad}_L=\dim \mbox{Rad}_R\). (Dica: Use o Lema anterior para obter sistemas de equações lineares para caraterizar \(\mbox{Rad}_L\) e \(\mbox{Rad}_R\) e mostre que os espaços de soluções têm a mesma dimensão.)

Definição 74.6 Dada uma forma \(B:V\times V\to \F\) sesquilinear, definimos os radicais da forma \[ \mbox{Rad}_L(B)=\{v\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }w\in V\} \] e \[ \mbox{Rad}_R(B)=\{w\in V\mid B(v,w)=0\mbox{ para todo }v\in V\}. \] O \(\mbox{Rad}_L(B)\) chama-se radical à esquerda, enquanto \(\mbox{Rad}_R(B)\) chama-se radical à direita.

Exercício 74.4 Demonstre que se \(\dim V\) é finita, então \(\dim \mbox{Rad}_L=\dim \mbox{Rad}_R\). (Dica: Use o Lema anterior para obter sistemas de equações lineares para caraterizar \(\mbox{Rad}_L\) e \(\mbox{Rad}_R\) e mostre que os espaços de soluções têm a mesma dimensão.)

Exercício 74.5 Seja \(B\) uma forma sesquilinear reflexiva sobre um espaço \(V\) de dimensão finita. Assuma que \(G\) é a matriz da forma em uma base de \(V\). Mostre que \(\dim \mbox{Rad}(V)=\dim V-\mbox{posto}(G)\). Em particular, \(B\) é não degenerada se e somente se \(G\) é invertível.

74.5 Formas reflexivas e o Teorema de Birkhoff-von Neumann

Definição 74.7 Uma forma \(\sigma\)-sesquilinear \(B\) chama-se reflexiva, se \(B(u,v)=0\) implica que \(B(v,u)=0\). Se \(B\) é uma forma refexiva, então \(\mbox{Rad}_L(B)=\mbox{Rad}_R(B)\) e este espaço é chamado de radical de \(B\) e será denotado por \(\mbox{Rad}(B)\). A forma \(B\) é dita não degenerada se \(\mbox{Rad}(B)=0\).

Teorema 74.1 (O Teorema de Birkhoff-von Neumann) Seja \(B\) uma forma \(\sigma\)-sesquilinear reflexiva com \(\dim (V/\mbox{Rad}(B))\geq 2\). Então

\(B\) é alternada; ou
\(B\) é simétrica; ou
\(B\) é múltiplo escalar de uma forma \(\sigma\)-Hermitiana com \(\sigma\neq \sigma^2=\mbox{id}_\F\)

Comprovação. Nós não demonstramos este teorema. A leitora interessada na demonstração pode consultar as notas de Nick Gill.

Definição 74.8 Se \(V\) é um espaço com forma sesquilinear reflexiva \(B\), então \(u,v\in V\) são ditos ortogonais se \(B(u,v)=0\). Escrevemos neste caso que \(u\perp v\).

Exemplo 74.2 Se \(B\) é alternada e \(v\in V\), então \(v\perp v\).

74.6 Formas quadráticas

Exercício 74.6 Seja \(\sigma:\F\to\F\) um automorfismo. Denote por \(\mbox{Fix}(\F)=\{a\in\F\mid a^\sigma=a\}\). Mostre que \(\mbox{Fix}(\sigma)\) é um corpo.

Definição 74.9 Seja \(B:V\times V\to \F\) uma forma \(\sigma\)-Hermitiana (incluindo formas simétricas). Defina \(Q:V\to \F\) como \(Q(v)=B(v,v)\). Então \(Q\) é chamada de forma quadrática associada com \(B\).

Lema 74.4 Usando a notação da definição anterior, as seguintes afirmações são válidas para todo \(u,v\in V\) e \(\alpha\in\F\):

\(Q(v)\in\mbox{Fix}(\sigma)\);
\(Q(\alpha v)=\alpha\alpha^\sigma Q(v)=\alpha^{\sigma+1}Q(v)\);
se \(B\) é simétrica, então \(Q(\alpha v)=\alpha^2 Q(v)\);
\(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=B(u,v)+B(v,u)=B(u,v)+B(u,v)^\sigma\);
se \(u\perp v\), então \(Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\) (Teorema de Pitágoras);
\(Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\) (Regra do Paralelogramo);
se \(B\) for simétrica, então \(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=2B(u,v)\). Em particular, se \(B\) for simétrica e \(\mbox{car}(\F)\neq 2\), então \[ B(u,v)=\frac 12(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)) \tag{74.1}\] e \(B\) está determinada por \(Q\).

A Equação 74.1 é chamada de identidade de polarização para forma \(B\).

Comprovação. Simples, só aplicar a definição de \(Q\).

Definição 74.10 Seja \(V\) com forma \(\sigma\)-hermitiana \(B\). Um vetor \(v\in V\) é dito isotrópico se \(Q(v)=B(v,v)=0\).

Exemplo 74.3 Se \(V=\R^n\) ou \(\C^n\) e \(B\) é o produto interno usual, então \(0\) é o único vetor isotrôpico.

Exercício 74.7 Seja \(V\) um espaço de dimensão maior ou igual a \(2\) sobre \(\C\) e seja \(B\) uma forma simétrica em \(V\). Mostre que \(V\) possui um vetor não nulo isotrópico. Este exercício mostra que é mesmo necessário usar o conjugado complexo na segunda variável na definição do produto interno para \(\C\)-espaços. Usando formas simétricas, não é possível obter um produto interno que resulta em uma métrica.

74.7 Espaços e complementos ortogonais

Definição 74.11 Seja \(V\) um espaço com forma sesquilinear reflexiva \(B\) e \(U\leq V\). Definimos o espaço ortogonal \(U^\perp\) de \(U\) como \[ U^\perp=\{v\in V\mid B(v,u)=0\mbox{ para todo }u\in U\}. \]

Lema 74.5 As seguintes afirmações são válidas para o espaço ortogonal em relação a uma forma \(\sigma\)-sesquilinear reflexiva:

\(U^\perp\leq V\);
Se \(U\leq W\), então \(W^\perp\leq U^\perp\);
\(\mbox{Rad}(V)=V^\perp\) e \(V^\perp\leq U^\perp\) para todo \(U\leq V\);
Se \(B\) é não degenerada e \(\dim V\) é finita, então \(\dim U^\perp+\dim U=\dim V\).

Comprovação. As afirmações 1., 2., 3. são simples. Vamos provar apenas 4. Assuma que \(\dim V=n\), que \(X=\{b_1,\ldots,b_n\}\) é uma base de \(V\) tal que \(\{b_1,\ldots,b_k\}\) é base de \(U\), e seja \(G=G_X(B)\) a matriz de \(B\) na base \(X\). Temos por resultado anterior que um vetor \(v\) com \([v]_X=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^t\) pertençe a \(U^\perp\) se e somente se \[ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)G [w]_B^\sigma =0\quad \mbox{para todo}\quad w\in U \] que vale se e somente se \[ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)G [b_i]_B^\sigma =0\quad \mbox{para todo}\quad i\in\{1,\ldots,k\}. \] A equação anterior é equivalente ao sistema de equações \[ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)G e_i =0\quad \mbox{para todo}\quad i\in\{1,\ldots,k\} \] onde \(e_1,\ldots,e_n\) é a base canônica de \(\F^n\). Mas o sistema anterior é um sistema linear homogêneo com incôgnitas \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) e a matriz desta sistema está formada pelas primeiras \(k\) colunas de \(G\). Como \(B\) é não degenerada, \(G\) tem posto \(n\) e as primeiras \(k\) colunas de \(G\) são linearmente independentes. Portanto, o espaço de soluções tem dimensão \(n-k\).

Na situação do item 4. do resultado anterior, se \(U\cap U^\perp=0\), então \(V=U\oplus U^\perp\) e \(U^\perp\) é chamado de complemento ortogonal de \(U\). Neste caso, escrevemos que \(V=U\perp U^\perp\) para indicar que os dois espaços na decomposição são ortogonais.

Exemplo 74.4 Considere \(V=\C^2\) com a forma bilinear simétrica \(B(v,w)=v_1w_1+v_2w_2\) para \(v=(v_1,v_2)\) e \(w=(w_1,w_2)\) pertencentes a \(\C^2\). Observe que não aplicamos o conjugado complexo na segunda variável! Note que esta forma está não degenerada, pois na base canônica a sua matriz é a matriz identidade. Considere a base \(\{(1,i),(1,-i)\}\) de \(\C^2\). Nesta base, a matriz da forma é \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0\end{pmatrix} \] Se \(U=\langle (1,i)\rangle\), então \(U^\perp =U\) e \(\C^2\neq U\oplus U^\perp\). Ou seja, o espaço ortogonal \(U^\perp\) não é complemento ortogonal de \(U\).