11  Os números inteiros e racionais

11.1 Os números inteiros.

Nas aulas anteriores, construímos os números naturais. Agora, vamos construir os números inteiros.

Tendo construído os números naturais, já possuímos a “metade” dos inteiros; isto é, já temos os números positivos. A ideia para construir os números negativos e o zero é considerar um número inteiro geral como uma diferença formal “\(a-b\)” de números naturais \(a,b\in\N\). O problema com essa abordagem é que a subtração não está sempre definida entre os naturais, pois \(\N\) não é fechado para a operação \(-\). Para resolver este problema, identificamos a diferença formal “\(a-b\)” com o par ordenado \((a,b)\in\N\times\N\). Por exemplo, o número “menos dois” será identificado com \((1,3)\) (pois \(-2=1-3\)).

Entretanto, surge outro problema: vários pares ordenados podem representar o mesmo número inteiro. Por exemplo, \((1,3)\), \((2,4)\), \((3,5)\), etc., todos representam o número “menos 2”, já que \(1-3=2-4=3-5=\cdots=-2\). A solução para este problema é utilizar o conceito de relação de equivalência e considerar estes pares como equivalentes. Assim, cada número inteiro será representado por uma classe de equivalência de pares ordenados de números naturais.

A implementação formal da ideia informal do parágrafo anterior é a seguinte. Considere o conjunto \(\N\times\N\) e considere a relação \(\sim\) sobre \(\N\times\N\) definida como \[ (a,b)\sim (c,d)\quad\mbox{quando}\quad a+d=b+c. \]

Lema 11.1 A relação \(\sim\) é uma relação de equivalência.

Comprovação. Consulte o Exercício 6.2

Seja \((a,b)\in\N\times \N\). A classe de equivalência de \((a,b)\) será denotada por \([a,b]\). Por exemplo: \[\begin{align*} [1,1]&=\{(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\}\\ [2,1]&=\{(2,1),(3,2),(4,3),\ldots\}\\ [1,2]&=\{(1,2),(2,3),(3,4),\ldots\} \end{align*}\]

Observe que a classe \([1,1]\) contém os pares da forma \((a,a)\); ou seja, pares com ambos os componentes iguais. A classe \([2,1]\) contém os pares da forma \((a+1,a)\); isto é, pares onde o primeiro componente é uma unidade maior que o segundo. A classe \([1,2]\) contém os pares da forma \((a,a+1)\), onde o segundo componente é uma unidade maior que o primeiro.

Em geral, temos uma classe da forma \[ [1,1]=\{(a,a)\mid a\in\N\}, \tag{11.1}\] e as demais classes têm a forma \[ [1+k,1]=\{(a+k,a)\mid a\in \N\} \tag{11.2}\] ou \[ [1,1+k]=\{(a,a+k)\mid a\in \N\}. \tag{11.3}\]

A ideia por trás da construção dos números inteiros é que a classe descrita em Equação 11.2 pode ser identificada com o número natural \(k\in\N\), a classe em Equação 11.1 representa o zero, e a classe em Equação 11.3 representa o oposto (negativo) de \(k\).

Definição 11.1 Um número inteiro é uma classe de equivalência \([a,b]\) para a relação \(\sim\). O conjunto dos inteiros é denotado por \(\mathbb Z\).

11.2 As operações entre números inteiros

Definição 11.2 Definimos as operações de \(+\) e \(\cdot\) entre elementos de \(\Z\):

  1. \([a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]\);
  2. \([a,b][c,d]=[ac+bd,ad+bc]\).

Lema 11.2 As operações \(+\) e \(\cdot\) são bem definidas; ou seja, o resultado não depende da escolha do representate da classe. Além disso, temos as seguintes propriedades para todo \(x,y,z\in\Z\):

  1. \((x+y)+z=x+(y+z)\);
  2. \(x+y=y+x\);
  3. Existe elemento neutro para a soma. Nomeadamente, denotando \(0=[1,1]\), temos que \(x+0=0+x=x\);
  4. \(x\) possui negativo \(-x\) que satisfaz \(x+(-x)=0\);
  5. \(0\cdot x=0\);
  6. \((xy)z=x(yz)\);
  7. \(xy=yx\);
  8. Existe elemento neutro para o produto. Nomeadamente, denotando \(1_\Z=[2,1]\), temos que \(1_\Z x=x1_\Z=x\);
  9. \(x(y+z)=xy+xz\);
  10. se \(x+z=y+z\), então \(x=y\);
  11. se \(xz=yz\) e \(z\neq 0\), então \(x=y\).

Comprovação. Primeiro provaremos que as operações são bem definidas. Demonstramos isso para o produto, pois a soma é mais simples e o leitor poderá fazer. Assuma que \([a,b]=[a',b'],[c,d]\in\Z\). Precisa provar que o produto \([a,b][c,d]\) pode ser calculada também como \([a',b'][c,d]\) e o resultado vai ser o mesmo. De fato, \[ [a,b][c,d]=[ac+bd,ad+bc] \] e \[ [a',b'][c,d]=[a'c+b'd,a'd+b'c]. \] Para provar que estes dois números são os mesmos, precisa verificar que \[ ac+bd+a'd+b'c=ad+bc+a'c+b'd. \tag{11.4}\] Como \([a,b]=[a',b']\), temos que \(a+b'=a'+b\). Logo, \[ ac+bd+a'd+b'c=(a+b')c+(b+a')d=(a'+b)c+(a+b')d=ad+bc+a'c+b'd \] e a Equação 11.4 está verificada. Pode provar com argumento similar, que se \([a,b],[c,d]=[c',d']\in\Z\), então \([a,b][c,d]=[a,b][c',d']\).

Note que no ponto 4., o inverso de \(x=[x_1,x_2]\) é \([x_2,x_1]\). De fato, \[ [x_1,x_2]+[x_2,x_1]=[x_1+x_2,x_2+x_1]=0. \]

As demais afirmações são fáceis de provar usando as propriedades já provadas dos números naturais. Para ilustrar a técnica, vamos provar o item 9. e o item 10. O resto é exercício para o leitor.

Assuma que \(x=[x_1,x_2]\), \(y=[y_1,y_2]\), \(z=[z_1,z_2]\) e vamos computar que \[\begin{align*} x(y+z)&=[x_1,x_2]([y_1,y_2]+[z_1,z_2])=[x_1,x_2]([y_1+z_1,y_2+z_2])\\&= [x_1(y_1+z_1)+x_2(y_2+z_2),x_1(y_2+z_2)+x_2(y_1+z_1)]\\&= [x_1y_1+x_1z_1+x_2y_2+x_2z_2,x_1y_2+x_1z_2+x_2y_1+x_2z_1]. \end{align*}\] Por outro lado, \[\begin{align*} xy+xz&=[x_1,x_2][y_1,y_2]+[x_1,x_2][z_1,z_2]\\&=[x_1y_1+x_2y_2,x_1y_2+x_2y_1]+[x_1z_1+x_2z_2,x_1z_2+x_2z_1]\\&= [x_1y_1+x_2y_2+x_1z_1+x_2z_2,x_1y_2+x_2y_1+x_1z_2+x_2z_1] \end{align*}\]

Sejam \(x=[x_1,x_2]\), \(y=[y_1,y_2]\), \(z=[z_1,z_2]\) e assuma que \(x+z=y+z\); ou seja, \[ [x_1+z_1,x_2+z_2]=[y_1+z_1,y_2+z_2]. \] Logo, \[ x_1+z_1+y_2+z_2=x_2+z_2+y_1+z_1. \] Ora, usamos a lei cancelativa para números naturais e obtemos que \[ x_1+y_2=x_2+y_1; \] ou seja, \(x=[x_1,x_2]=[y_1,y_2]=y\).

Como já foi observado acima, o número natural \(k\) pode ser identificado com o inteiro \([k+1,1]\in\Z\). Sob essa identificação, as operações definidas em \(\Z\) estendem as operações em \(\N\). Por exemplo, se \(k_1,k_2\in\N\), os inteiros correspondentes são \([k_1+1,1]\) e \([k_2+1,1]\), e sua soma é o inteiro associado a \(k_1+k_2\): \[ [k_1+1,1]+[k_2+1,1]=[k_1+k_2+2,2]=[k_1+k_2+1,1]. \] A mesma observação vale para o produto; os detalhes ficam ao leitor.

11.3 Ordenação entre números inteiros

Lema 11.3 Denote por \(P_\Z\) o conjunto \[ P_\Z=\{[a,b]\in\Z\mid a\geq b\} \] e ponha \[ -P_\Z=\{z\in\Z\mid -z\in P_\Z\}. \]

  1. \(\Z=P_\Z\cup -P_\Z\) e \(P_\Z\cap -P_\Z=\{0\}\);
  2. se \(a,b\in P_\Z\), então \(a+b,ab\in P_\Z\);
  3. se \(a\in \Z\), então \(a^2\in P_\Z\);
  4. \(-1\not\in P_\Z\).

Comprovação.

  1. Se \(z=[a,b]\in \Z\) com \(a\geq b\), então \(z\in P_\Z\). Se \(z=[a,b]\in\Z\) com \(a<b\), então \(-z=[b,a]\in \Z\). Portanto \(\Z=P_\Z\cup -P_\Z\). Claramente, \(0=[1,1]\in P_\Z\cap -P_\Z\). Se \(z=[a,b]\in P_\Z\cap -P_\Z\), então \([a,b]\in P_\Z\) e \(-[a,b]=[b,a]\in P_\Z\) e \(a\geq b\) e \(b\geq a\). A antissimetria da relação \(\geq\) implica que \(a=b\) e \(z=[a,b]=[a,a]=0\). Portanto \(P_\Z\cap -P_\Z=\{0\}\).

Os demais itens ficam para exercício.

Definição 11.3 Se \(x,y\in\Z\), dizemos que \(x\leq y\) se \(y-x=y+(-x)\in P_\Z\). Em particular, se \(x\in P_\Z\), então \(0\leq x\) e se \(x\in -P_\Z\), então \(x\leq 0\).

Lema 11.4 Sejam \(x,y,z\in\Z\) As seguinte propriedades estão válidas.

  1. \(x\leq x\);
  2. se \(x\leq y\) e \(y\leq x\), então \(x=y\);
  3. se \(x\leq y\) e \(y\leq z\), então \(x\leq z\);
  4. se \(x\leq y\), então \(x+z\leq y+z\);
  5. se \(x\leq y\) e \(z\geq 0\), então \(xz\leq yz\);
  6. se \(x\leq y\) e \(z\leq 0\), então \(yz\leq xz\);
  7. temos que exatamente uma das alternativas \(x<y\) ou \(x=y\) ou \(y<x\) está válida.

Comprovação. Estas afirmações seguem das afirmações do Lema 11.3.

  1. Como \(0=x-x\in P_\Z\), temos \(x\leq x\).
  2. Se \(x\leq y\) e \(y\leq x\), então \(y-x\in P_\Z\) e \(x-y\in P_\Z\). A segunda afirmação implica que \(-(x-y)=y-x\in -P_\Z\) e assim \(y-x\in P_\Z\cap -P_\Z=\{0\}\). Portanto \(y-x\in P_\Z\) e \(y-x\).

O Lema 11.4 diz que a relação \(\leq\) é uma relação de ordem total no conjunto \(\Z\) que é compatível com as operações.

11.4 Os números racionais

A construção dos números racionais a partir dos inteiros é análoga à construção dos inteiros a partir dos naturais. Pensamos um número racional como uma fração formal \(a/b\), com \(a\in\Z\) e \(b\in\Z\setminus\{0\}\). Como \(\Z\) não é fechado para divisão, essa fração, em geral, não define um inteiro; por isso a representamos pelo par ordenado \((a,b)\in\Z\times(\Z\setminus\{0\})\). Diferentes pares podem representar o mesmo valor (por exemplo, \(1/2\) corresponde a qualquer um dos pares \((1,2)\), \((2,4)\), \((3,6)\), etc.). Para identificar tais pares, introduzimos uma relação de equivalência em \(\Z\times(\Z\setminus\{0\})\) e definimos os números racionais como as classes de equivalência resultantes.

A seguir formalizamos essa estratégia e definimos as operações; como o procedimento é muito semelhante ao caso dos inteiros, omitimos detalhes e deixamos as verificações ao leitor.

Definição 11.4 Considere o conjunto \(\Z\times\Z\setminus\{0\}\) e seja \(\sim\) a relação em \(\Z\times\Z\setminus\{0\}\) definida pela regra que \[ (a,b)\sim (c,d)\quad\mbox{quando}\quad ad=bc. \]

Lema 11.5 A relação \(\sim\) é uma relação de equivalência no conjunto \(\Z\times\Z\setminus\{0\}\). Se \((a,b)\in\Z\times\Z\setminus\{0\}\), então a sua classe de equivalência será denotada por \([a,b]\).

Definição 11.5 Um número racional é uma classe de equivalência \([a,b]\). O conjunto dos números racionais é denotado por \(\Q\).

Definição 11.6 As operações \(+\) e \(\cdot\) serão definidas entre números racionais \([a,b],[c,d]\in\Q\) com as seguintes regras: \[\begin{align*} [a,b]+[c,d]&=[ad+cb,bd];\\ [a,b][c,d]&=[ac,bd]. \end{align*}\]

Lema 11.6 As operações na Definição 11.6 são bem definidas; ou seja, o resultado não depende da escolha dos representantes das classes de equivalência. Além disso, elas satisfazem as seguintes propriedades para todo \(a,b,c\in\Q\).

  1. \((a+b)+c=a+(b+c)\);
  2. \(a+b=b+a\);
  3. existe \(0_\Q\in\Q\) tal que \(a+0_\Q=0_\Q+a=a\);
  4. para todo \(a\in\Q\) existe \(-a\in\Q\) tal que \(a+(-a)=0_\Q\);
  5. \((ab)c=a(bc)\);
  6. \(ab=ba\);
  7. existe \(1_\Q\in\Q\) tal que \(a1_\Q=1_\Q a=a\);
  8. para todo \(a\in\Q\setminus\{0_\Q\}\) existe \(a^{-1}\in\Q\) tal que \(aa^{-1}=1_\Q\);
  9. \((a+b)c=ac+bc\).
  10. \(0a=0\).

Comprovação. É tarefa do leitor. Só vamos comentar que \(0_\Q=[0,1]\), \(1_\Q=[1,1]\), se \(a=[x,y]\), então \(-a=[-x,y]\) e se \(a\neq [0,1]\), então \(a^{-1}=[y,x]\).

Nós escrevemos o número racional \([x,y]\) como \(x/y\). Os números \(0_\Q\) e \(1_\Q\) serão escritos simplesmente como \(0\) e \(1\). Note, para \(k\in \Z\) que o número \([k,1]=k/1\) pode ser identificado com o inteiro \(k\). Assim, podemos pensar os inteiros como números racionais e escrever que \(\Z\subseteq\Q\). Se \(a,b\in\Q\), então \(a+(-b)\) será escrito como \(a-b\) e \(ab^{-1}\) será escrito como \(a/b\).

Entre os números racionais, podemos definir os números não negativos como \[ P_\Q=\{a/b\in \Q\mid a,b\geq 0\mbox{ e }b\neq 0\} \] e defina \[ -P_\Q=\{-x\mid x\in P_\Q\}. \]

Lema 11.7 Temos que \(P_\Q\) satisfaz as seguintes propriedades.

  1. \(\Q=P_\Q\cup -P_\Q\) e \(P_\Q\cap -P_\Q=\{0\}\);
  2. se \(a,b\in P_\Q\), então \(a+b,ab\in P_\Q\);
  3. se \(a\in \Q\), então \(a^2\in P_\Q\);
  4. \(-1\not\in P_\Q\).

Definição 11.7 Defina para \(a,b\in\Q\) a relação \(a\leq b\) para significar que \(b-a\in P_\Q\).

Lema 11.8 Temos que \(\leq\) é uma ordem total no conjunto \(\Q\). Ou seja, temos para todo \(a,b,c\in\Q\), que

  1. \(a\leq a\);
  2. se \(a\leq b\) e \(b\leq a\), então \(a=b\);
  3. se \(a\leq b\) e \(b\leq c\), então \(a\leq c\);
  4. temos que ou \(a\leq b\) ou \(b\leq a\) vale.

Além disso, a relação \(\leq\) é compatível com as operações. Ou seja,

  1. se \(a\leq b\), então \(a+c\leq b+c\);
  2. se \(a\leq b\) e \(c\in\Q^+\), então \(ac\leq bc\).