Os números inteiros.
Nas aulas anteriores, nós construímos os números naturais. Agora, vamos construir os números inteiros.
Considere o conjunto \(\N\times\N\) e considere a relação \(\sim\) sobre \(\N\times\N\) definida como \[
(a,b)\sim (c,d)\quad\mbox{quando}\quad a+d=b+c.
\]
Lema 10.1 A relação \(\sim\) é uma relação de equivalência.
Seja \((a,b)\in\N\times \N\). A classe de equivalência de \((a,b)\) será denotado por \([a,b]\). Por exemplo \[\begin{align*}
[1,1]&=\{(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\}\\
[2,1]&=\{(2,1),(3,2),(4,3),\ldots\}\\
[1,2]&=\{(1,2),(2,3),(3,4),\ldots\}
\end{align*}\] Observe que a classe \([1,1]\) contem os pares na form \((a,a)\); ou seja, os pares com os dois componentes iguals. A classe \([2,1]\) contem os pares na forma \([a+1,a]\); ou seja, os pares onde o primeiro componente é um maior que o segundo. A classe \([1,2]\) contém os pares na forma \((a,a+1)\) onde o segundo componente é um maior que o primeiro. Geralmente, temos uma classe na forma \[
[1,1]=\{(a,a)\mid a\in\N\}
\tag{10.1}\] e as demais classes têm a forma \[
[1+k,1]=\{(a+k,a)\mid a\in \N\}
\tag{10.2}\] ou \[
[1,1+k]\{(a,a+k)\mid a\in \N\}.
\tag{10.3}\] A ideia de construir os número inteiros é que a classe na Equação 10.2 pode ser identificada com o número \(k\in\N\), enquanto a classe na Equação 10.1 pode ser identificada com um novo número que representa a ideia do zero, e a classe na Equação 10.3 com um número que representa a ideia do negativo de \(k\).
Definição 10.1 Um número inteiro é uma classe de equivalência \([a,b]\) para a relação \(\sim\). O conjunto dos inteiros é denotado por \(\mathbb Z\).
Definição 10.2 Definimos as operações de \(+\) e \(\cdot\) entre elementos de \(\Z\):
- \([a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]\);
- \([a,b][c,d]=[ac+bd,ad+bc]\).
Lema 10.2 As operações \(+\) e \(\cdot\) são bem definidas; ou seja, o resultado não depende da escolha do representate da classe. Além disso, temos as seguintes propriedades para todo \(x,y,z\in\Z\):
- \((x+y)+z=x+(y+z)\);
- \(x+y=y+x\);
- Existe elemento neutro para a soma. Nomeadamente, denotando \(0=[1,1]\), temos que \(x+0=0+x=x\);
- \(x\) possui negativo \(-x\) que satisfaz \(x+(-x)=0\);
- \((xy)z=x(yz)\);
- \(xy=yx\);
- Existe elemento neutro para o produto. Nomeadamente, denotando \(1_\Z=[2,1]\), temos que \(1_\Z x=x1_\Z=x\);
- \(x(y+z)=xy+xz\);
- se \(x+z=y+z\), então \(x=y\);
- se \(xz=yz\) e \(z\neq 0\), então \(x=y\).
Comprovação. Primeiro provaremos que as operações são bem definidas. Demonstramos isso para o produto, pois a soma é mais simples e o leitor poderá fazer. Assuma que \([a,b]=[a',b'],[c,d]\in\Z\). Precisa provar que o produto \([a,b][c,d]\) pode ser calculada também como \([a',b'][c,d]\) e o resultado vai ser o mesmo. De fato, \[
[a,b][c,d]=[ac+bd,ad+bc]
\] e \[
[a',b'][c,d]=[a'c+b'd,a'd+b'c].
\] Para provar que estes dois números são os mesmos, precisa verificar que \[
ac+bd+a'd+b'c=ad+bc+a'c+b'd.
\tag{10.4}\] Como \([a,b]=[a',b']\), temos que \(a+b'=a'+b\). Logo, \[
ac+bd+a'd+b'c=(a+b')c+(b+a')d=(a'+b)c+(a+b')d=ad+bc+a'c+b'd
\] e a Equação 10.4 está verificada. Pode provar com argumento similar, que se \([a,b],[c,d]=[c',d']\in\Z\), então \([a,b][c,d]=[a,b][c',d']\).
Note que no ponto 4., o inverso de \(x=[x_1,x_2]\) é \([x_2,x_1]\). De fato, \[
[x_1,x_2]+[x_2,x_1]=[x_1+x_2,x_2+x_1]=0.
\]
As demais afirmações são fáceis de provar usando as propriedades já provadas dos números naturais. Para ilustrar a técnica, vamos provar o item 8 e o item 9. O resto é exercício para o leitor.
Assuma que \(x=[x_1,x_2]\), \(y=[y_1,y_2]\), \(z=[z_1,z_2]\) e vamos computar que \[\begin{align*}
x(y+z)&=[x_1,x_2]([y_1,y_2]+[z_1,z_2])=[x_1,x_2]([y_1+z_1,y_2+z_2])\\&=
[x_1(y_1+z_1)+x_2(y_2+z_2),x_1(y_2+z_2)+x_2(y_1+z_1)]\\&=
[x_1y_1+x_1z_1+x_2y_2+x_2z_2,x_1y_2+x_1z_2+x_2y_1+x_2z_1].
\end{align*}\] Por outro lado, \[\begin{align*}
xy+xz&=[x_1,x_2][y_1,y_2]+[x_1,x_2][z_1,z_2]\\&=[x_1y_1+x_2y_2,x_1y_2+x_2y_1]+[x_1z_1+x_2z_2,x_1z_2+x_2z_1]\\&=
[x_1y_1+x_2y_2+x_1z_1+x_2z_2,x_1y_2+x_2y_1+x_1z_2+x_2z_1]
\end{align*}\]
Assuma que \(x+z=y+z\). Sejam \(x=[x_1,x_2]\), \(y=[y_1,y_2]\), \(z=[z_1,z_2]\) e assuma que \(x+z=y+z\); ou seja, \[
[x_1+z_1,x_2+z_2]=[y_1+z_1,y_2+z_2].
\] Logo, \[
x_1+z_1+y_2+z_2=x_2+z_2+y_1+z_1.
\] Ora, usamos a lei cancelativa para números naturais e obtemos que \[
x_1+y_2=x_2+y_1;
\] ou seja, \(x=[x_1,x_2]=[y_1,y_2]=y\).
Definição 10.3 Seja \(x=[x_1,x_2]\).
- Se \(x_2<x_1\), então \(x\) chama-se positivo.
- Se \(x_1<x_2\), então \(x\) chama-se negativo.
Segue da definição da igualdade entre números inteiros que a positividade do número está bem definida; ou seja, ela não depende da escolha do representante.
Se \(x,y\in\Z\), dizemos que \(x<y\) se \(y-x=y+(-x)\) é positivo. Dizemos que \(x\leq y\) se \(x=y\) ou \(x<y\).
Lema 10.3 Sejam \(x,y,z\in\Z\) As seguinte propriedades estão válidas.
- \(x\leq x\);
- se \(x\leq y\) e \(y\leq x\), então \(x=y\);
- se \(x\leq y\) e \(y\leq z\), então \(x\leq z\);
- se \(x\leq y\), então \(x+z\leq y+z\);
- se \(x\leq y\) e \(z\) é positivo, então \(xz\leq yz\);
- se \(x\leq y\) e \(z\) é negativo, então \(yz\leq xz\);
- temos que exatamente uma das alternativas \(x<y\) ou \(x=y\) ou \(y<x\) está válida.
Comprovação. Provaremos por exemplo o item 5. Assuma que \(x\leq y\) e \(z\) é positivo. Se \(x=y\), então não tem nada para provar e assuma que \(x<y\). Logo, \(y-x\) é positivo. Colocando, \(x=[x_1,x_2]\), \(y=[y_1,y_2]\), \(z=[z_1,z_2]\), temos que \[
y-x=[y_1,y_2]+[x_2,x_1]=[y_1+x_2,y_2+x_1].
\] Pela positividade, obtemos que \(y_1+x_2>y_2+x_1\). Como \(z\) é positivo, temos que \(z=[1+a,1]\) e assim \[\begin{align*}
(y-x)z&=[(y_1+x_2)(1+a)+y_2+x_1,y_1+x_2+(y_2+x_1)(1+a)]\\&=
[y_1+x_2+ay_1+ax_2+y_2+x_1,y_1+x_2+y_2+x_1+y_2a+x_1a]\\&=
[ay_1+ax_2,y_2a+x_1a]=[a(y_1+x_2),a(y_2+x_1)].
\end{align*}\] Ora, a compatibilidade das operações com a ordenação dos naturais implica que \(a(y_1+x_2)>a(y_2+x_1)\). Ou seja, \(yz-xz=(y-x)z\) é positivo e \(xz<yz\).
O Lema 10.3 diz que a relação \(\leq\) é uma relação de ordem total no conjunto \(\Z\) que é compatível com as operações.
Os números racionais
Vamos agora ver como definir os números racionais. Aqui vamos dar as definições e resultados principais; as demonstrações serão feitas pelo leitor.
Definição 10.4 Considere o conjunto \(\Z\times\Z\setminus\{0\}\) e seja \(\sim\) a relação em \(\Z\times\Z\setminus\{0\}\) definida pela regra que \[
(a,b)\sim (c,d)\quad\mbox{quando}\quad ad=bc.
\]
Lema 10.4 A relação \(\sim\) é uma relação de equivalência no conjunto \(\Z\times\Z\setminus\{0\}\). Se \((a,b)\in\Z\times\Z\setminus\{0\}\), então a sua classe de equivalência será denotada por \([a,b]\).
Definição 10.5 Um número racional é uma classe de equivalência \([a,b]\). O conjunto dos números racionais é denotado por \(\Q\).
Definição 10.6 As operações \(+\) e \(\cdot\) serão definidas entre números racionais \([a,b],[c,d]\in\Q\) com as seguintes regras: \[\begin{align*}
[a,b]+[c,d]&=[ad+cb,bd];\\
[a,b][c,d]&=[ac,bd].
\end{align*}\]
Lema 10.5 As operações na Definição 10.6 são bem definidas; ou seja, o resultado não depende da escolha dos representantes das classes de equivalência. Além disso, elas satisfazem as seguintes propriedades para todo \(a,b,c\in\Q\).
- (A1): \((a+b)+c=a+(b+c)\);
- (A2): \(a+b=b+a\);
- (A3): existe \(0_\Q\in\Q\) tal que \(a+0_\Q=0_\Q+a=a\);
- (A4): para todo \(a\in\Q\) existe \(-a\in\Q\) tal que \(a+(-a)=0_\Q\);
- (M1): \((ab)c=a(bc)\);
- (M2): \(ab=ba\);
- (M3): existe \(1_\Q\in\Q\) tal que \(a1_\Q=1_\Q a=a\);
- (M4): para todo \(a\in\Q\setminus\{0_\Q\}\) existe \(a^{-1}\in\Q\) tal que \(aa^{-1}=1_\Q\);
- (D): \((a+b)c=ac+bc\).
Comprovação. É tarefa do leitor. Só vamos comentar que \(0_\Q=[0,1]\), \(1_\Q=[1,1]\), se \(a=[x,y]\), então \(-a=[-x,y]\) e se \(a\neq [0,1]\), então \(a^{-1}=[y,x]\).
Nós escrevemos o número racional \([x,y]\) como \(x/y\). Os números \(0_\Q\) e \(1_\Q\) serão escritos simplesmente como \(0\) e \(1\). Note, para \(k\in \Z\) que o número \([k,1]=k/1\) pode ser identificado com o inteiro \(k\). Assim, podemos pensar os inteiros como números racionais e escrever que \(\Z\subseteq\Q\). Se \(a,b\in\Q\), então \(a+(-b)\) será escrito como \(a-b\) e \(ab^{-1}\) será escrito como \(a/b\).
Entre os números racionais, podemos definir os números não negativos como \[
\Q^+=\{a/b\in \Q\mid a,b\geq 0\mbox{ e }b\neq 0\}
\]
Lema 10.6 Temos que \(\Q^+\) satisfaz as seguintes propriedades.
- (O1): Se \(a,b\in\Q^+\), então \(a+b,ab\in\Q^+\);
- (O2): Se \(a\in\Q\), então \(a\in\Q^+\) ou \(-a\in\Q^+\);
- (O3): \(\Q^+\cap\{x\in\Q\mid -x\in\Q^+\}=\{0\}\).
Definição 10.7 Defina para \(a,b\in\Q\) a relação \(a\leq b\) para significar que \(b-a\in\Q^+\).
Lema 10.7 Temos que \(\leq\) é uma ordem total no conjunto \(\Q\). Ou seja, temos para todo \(a,b,c\in\Q\), que
- \(a\leq a\);
- se \(a\leq b\) e \(b\leq a\), então \(a=b\);
- se \(a\leq b\) e \(b\leq c\), então \(a\leq c\);
- temos que ou \(a\leq b\) ou \(b\leq a\) vale.
Além disso, a relação \(\leq\) é compatível com as operações. Ou seja,
- se \(a\leq b\), então \(a+c\leq b+c\);
- se \(a\leq b\) e \(c\in\Q^+\), então \(ac\leq bc\).