Comutadores e o subgrupo derivado
Definição 87.1 Seja \(G\) um grupo, \(g,h\in G\). O comutador \([g,h]\) de \(g\) e \(h\) é definido como \[
[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh=(h^{-1})^gh=g^{-1}g^h.
\]
Note que \([g,h]=1\) se e somente se \(gh=hg\); ou seja, \(g\) e \(h\) comutam.
Definição 87.2 Seja \(G\) um grupo. O subgrupo derivado \(G'\) está definida como \[
G'=\left<[g,h]\mid g,h\in G\right>.
\]
Em outras palavras, o subgrupo derivado \(G'\) é um subgrupo gerado por todos os comutadores em \(G\). Note que o conjunto dos comutadores geralmente não é fechado para multiplicação e assim ele não é um subgrupo de \(G\).
Note também que \(G'=1\) se e somente se \(G\) é abeliano.
Subgrupos caraterísticos
Definição 87.3 Um subgroupo \(H\leq G\) é dito caraterístico, se \(H\) é invariente por automorfismos de \(G\).
Um subgrupo caraterístico precisa ser invariante por automorfismos e, em particular, por automorfismos internos (veja Definição 80.8). Ser invariante por automorfismos internos é ser invariante por conjugação (veja Seção 80.6) e assim obtemos o seguinte resultado.
Lema 87.1 Um subgrupo caraterístico é normal.
Lema 87.2 Seja \(G\) um grupo e sejam \(H\), \(K\) subgroupos de \(G\) tal que \(K\leq H\leq G\).
- Se \(K\) é caraterístico em \(H\) e \(H\) é caraterístico em \(G\), então \(K\) é caraterístico em \(G\).
- Se \(K\) é caraterístico em \(H\) e \(H\) é normal em \(G\), então \(K\) é normal em \(G\).
Lema 87.3 \(G'\) é um subgrupo caraterístico de \(G\). Em particular, \(G'\) é um subgrupo normal. Além disso, \(G/G'\) é um grupo abeliano e se \(N\unlhd G\) tal que \(G/N\) é abeliano, então \(G'\leq N\). (Pode-se dizer que \(G'\) é o menor subgrupo normal de \(G\) com quociente abeliano.)
Comprovação. Se \(\alpha\in\aut G\) e \(x,y\in G\), então \[
[x,y]^\alpha=(x^{-1}y^{-1}xy)^\alpha=(x^\alpha)^{-1}(y^\alpha)^{-1}x^\alpha y^\alpha=[x^\alpha,y^\alpha];
\] ou seja, \([x,y]^\alpha\) é um comutador de \(G\). Como \(\alpha\) induz uma permutação dos elementos de \(G\), temos que \(\alpha\) permuta os comutadores de \(G\) e assim \((G')^\alpha\) é gerado pelos mesmos comutadores. Portanto \((G')^\alpha=G'\) e \(G'\) é um subgrupo caraterístico.
Sejam \(g,h\in G\). Temos que \[
[gG',hG']=(g^{-1}G')(h^{-1}G')(gG')(hG')=[g,h]G'=G'.
\] Logo, \(G/G'\) é abeliano.
Ora seja \(N\unlhd G\) tal que \(G/N\) é abeliano e seja \(g,h\in G\). Temos que \[
1=[gN,hN]=[g,h]N.
\] Ou seja, \([g,h]\in N\). Como \(G'\) é gerado por elementos na forma \([g,h]\), temos que \(G'\leq N\).
Série derivada
Definição 87.4 Podemos definir recursivamente \(G''=(G')'\), \(G'''=(G'')'\). Formalmente, definimos \(G^{(0)}=G\) e para \(k\geq 0\), definimos \(G^{(k+1)}=(G^k)'\). Obtemos uma série \[
G\geq G'\geq G''\geq G^{(3)}\geq \cdots
\] chamada de série derivada ou série comutador de \(G\). Os termos desta série são subgrupos caraterísticos, em particular, eles são normais em \(G\).
Definição 87.5 Seja \(G\) um grupo e assuma que \[
G=G_0\geq G_1\geq G_2\geq \cdots.
\] é uma série não crescente de subgrupos.
- A série é chamada de normal se \(G_i\unlhd G\) para todo \(i\geq 0\).
- A série é chamada de subnormal se \(G_i\unlhd G_{i-1}\) para todo \(i\geq 1\). Note que uma série normal é subnormal.
Lema 87.4 Seja \(G\) um grupo e seja \(G_0=G\geq\cdots\geq G_k>\cdots\) uma série subnormal de subgrupos tal que \(G_i/G_{i+1}\) é abeliano para todo \(i\). Então \(G^{(i)}\leq G_i\) vale para todo \(i\geq 0\).
Comprovação. A afirmação é trivialmente verdadeira para \(i=0\). Assuma que \(G^{(i)}\leq G_i\). Como \(G_i/G_{i+1}\) é abeliano, temos que \(G_i'\leq G_{i+1}\). Logo \[
G^{(i+1)}=(G^{(i)})'\leq G_i'\leq G_{i+1}.
\] Então a afirmação é verdadeira para \(i+1\) e segue por indução que ela é verdadeira para todo \(i\).
Teorema 87.1 As seguintes são equivalentes para um grupo \(G\).
- Existe uma série normal \(G_0=G>\cdots >G_k=1\) com quocientes abelianos.
- Existe uma série subnormal \(G_0=G>\cdots> G_k=1\) com quocientes abelianos.
- Existe \(k\) tal que \(G^{(k)}=1\).
Comprovação. 1.\(\cond\) 2.: Cada série normal é também subnormal.
2.\(\cond\) 3.: Lema 87.4.
3.\(\cond\) 1. A série \(G^{(k)}\) é normal.
Grupos solúveis revisitados
Na Seção 83.4 já estudamos grupos solúveis. Na definição Definição 83.2, definimos um grupo solúvel como um grupo que satisfaz item 1. do Teorema 87.1. Agora, aprendemos que os pontos 2. e 3. são equivalentes ao ponto 1. e podem também ser usadas para definir grupos solúveis.
Teorema 87.2 As seguintes afirmações são válidas para um grupo \(G\).
- Se \(\varphi:G\rightarrow K\) é um homomorfismo, então \[
\varphi(G^{(i)})=\varphi(G)^{(i)}
\] para todo \(i\geq 0\).
- Se \(N\unlhd G\) e \(Q=G/N\), então \(Q^{(i)}= G^{(i)}N/N\).
- Se \(G\) é solúvel e \(H\leq G\), \(N\unlhd G\), então \(H\) e \(G/N\) são solúveis.
- Se \(N\unlhd G\), tal que \(N\) e \(G/N\) são solúveis, então \(G\) é solúvel.
- Se \(G\) é um p-grupo finito, então \(G\) é solúvel.
Comprovação.
Indução por \(i\). Se \(i=0\), então não há nada para provar. Assuma que a afirmação é verdadeira para \(i\geq 0\). O subgrupo \(G^{(i+1)}\) é gerado por elementos da forma \([x,y]\) onde \(x,y\in G^{(i)}\). Como \[
\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]\in \varphi(G^{(i)})'=(\varphi(G)^{(i)})'=\varphi(G)^{(i+1)},
\] obtemos que \(\varphi(G^{(i+1)})\leq \varphi(G)^{(i+1)}\). Assuma agora que \([u,v]\in\varphi(G)^{(i+1)}\) com \(u,v\in \varphi(G)^{(i)}\). Temos que existem \(x,y\in G^{(i)}\) tal que \(\varphi(x)=u\) e \(\varphi(y)=v\). Logo \[
[u,v]=\varphi([x,y])\in \varphi(G^{(i+1)})
\] e \(\varphi(G)^{(i+1)}\leq \varphi(G^{(i+1)})\). Temos egualdade.
Seja \(\varphi:G\rightarrow G/N\) o homomorfismo natural. Por parte (1), tem-se que \[
Q^{(i)}=\varphi(G)^{(i)}=\varphi(G^{(i)})=G^{(i)}N/N.
\]
Assuma que \(G\) é solúvel e assuma que \(G^{(k)}=1\) para algum \(k\). Pode-se verificar por indução que \(H^{(i)}\leq G^{(i)}\) vale para todo \(i\geq 0\). Portanto, \(H^{(k)}=1\) e segue que \(H\) é solúvel. Seja agora \(N\unlhd G\) e assuma que \(Q=G/N\). Por parte (2), temos que \((G/N)^{(k)}= G^{(k)}N/N=1\). Logo \((G/N)^k=1\) e portanto \(G/N\) é solúvel.
Assuma que \(N\unlhd G\) e \(G/N\) são solúveis. Seja \(Q=G/N\). Existe \(m\) tal que \(Q^{(m)}=1\). Isto quer dizer que \(G^{(m)}\leq N\). Existe \(l\) tal que \(N^{(l)}=1\). Afirmamos que \(G^{(m+l)}=1\). De fato, \[
G^{(m+l)}=(G^{(m)})^{(l)}\leq N^{(l)}=1.
\] Logo, \(G\) é solúvel.
Já foi provado em Corolário 83.1.