Exercício 29.1 Sejam \(a,b\in\Z\) e seja \(p\in\N\) um primo. Mostre que \[
(a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod p
\]
A afirmação do exercício anterior é conhecido como o sonho do calouro.
Teorema 29.1 (O Pequeno Teorema de Fermat, versão com congruência) Seja \(p\in\N\) um primo e \(a\in\Z\). Então \[
a^p\equiv a\pmod p.
\] Além disso, se \(p\nmid a\), então \[
a^{p-1}\equiv 1\pmod p.
\]
Comprovação. Vamos provar a primeira afirmação. Como todo inteiro negativo é congruente com algum inteiro positivo módulo \(p\), é suficiente provar a afirmação para \(a\in\N\). De fato, é suficiente provar para \(a\in\{0,\ldots,p-1\}\), mas isso não simplifica nosso argumento. A prova vai por indução em \(a\). Como \(0^p=0\equiv 0\pmod p\), a afirmação é verdadeira para \(a=0\). Assuma que a afirmação para algum \(a\) e use o exercício anterior para obter que \[
(a+1)^p\equiv a^p+1^p=a+1\pmod p.
\]
Agora a segunda afirmação. Se \(p\nmid a\), então \(a\) possui inverso módulo \(p\). Multiplicando a congruência \(a^p\equiv a\pmod p\) pelo inverso de \(a\), obtemos que \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\).
Uma forma alternativa do Pequeno Teorema de Fermat usando \(\Z_n\) é a seguinte.
Teorema 29.2 (Pequeno Teorema de Fermat, versão \(\Z_n\)). Seja \(p\in\N\) primo e \(\overline a\in\Z_n\). Então \[
\overline a^p=\overline a.
\] Além disso, se \(\overline a\neq\overline 0\), então \[
\overline a^{p-1}= \overline 1.
\]
Corolário 29.1 Seja \(p\in\N\) primo e \(a\in\Z\) tal que \(p\nmid a\). Então \(a^{p-2}\) é um inverso de \(a\) módulo \(p\). Equivalentemente \[
\overline a^{-1}=\overline a^{p-2}.
\]
Comprovação. O Pequeno Teorema de Fermat implica que \[
1\equiv a^{p-1}=a\cdot a^{p-2}.
\] Ora a definição do inverso modular implica que \(a^{p-2}\) é um inverso de \(a\) módulo \(p\). A segunda afirmação segue imediatamente da primeira
Exercício 29.2 Seja \(n\in\N\) e seja \[
\Z_n^*=\{\overline a\in\Z_n\mid\mbox{$\overline a$ é invertível}\}.
\] Demonstre as seguintes propriedades de \(\Z_n^*\):
- \(\overline 1,\overline{-1}\in\Z_n^*\), mas \(\overline 0\not\in\Z_n^*\);
- \(\Z_n^*\) é fechado para a multiplicação; ou seja, se \(\overline a,\overline b\in\Z_n^*\) então \(\overline a\overline b\in\Z_n^*\);
- \(|\Z_n^*|=\varphi(n)\).
Exercício 29.3 Usando a notação do exercício anterior, para \(\overline a\in\Z_n\) defina \[
\mu_{\overline a}:\Z_n\to \Z_n,\quad \mu_{\overline a}(\overline b)=\overline a\overline b.
\] Mostre que as seguinte afirmações são equivalentes:
- \(\mu_{\overline a}\) é injetiva;
- \(\mu_{\overline a}\) é sobrejetiva;
- \(\mu_{\overline a}\) é bijetiva;
- \(\overline a\in\Z_n^*\).
Teorema 29.3 (O Teorema de Euler.) Seja \(n\in\N\) e \(a\in\Z\) tal que \(\mdc an=1\). Então \[
a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n.
\] Equivalentemente \[
\overline a^{\varphi(n)}=\overline 1.
\]
Comprovação. As duas afirmações são claramente equivalentes e desta vez nós vamos provar a segunda. Usando o exercício imediatamente anterior a esse teorema, assuma que \[
\Z_n^*=\{\overline a_1,\overline a_2,\ldots,\overline a_{\varphi(n)}\}.
\] Note que \(\overline a\in\Z_n^*\), pois \(\mdc an=1\). Considere o conjunto \[
\overline a\Z_n^*=\{\overline a\overline a_1,\overline a\overline a_2,\ldots,\overline a\overline a_{\varphi(n)}\}
\] Note que todo elemento de \(\overline a\Z_n^*\) está contido em \(\Z_n^*\) (exercício anterior) e se \(i\neq j\), então \(\overline a\overline a_i\neq \overline a\overline a_j\). Portanto \(\overline a\Z_n^*=\Z_n^*\). Isso quer dizer que multiplicando os elementos de \(\Z_n^*\) e os elementos de \(\overline a \Z_n^*\) nós obtemos o mesmo elemento de \(\Z_n\). De fato \[
\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{\overline a_i}=\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{\overline a\overline a_i}=\overline a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)}{\overline a_i}.
\] Ora, \(\prod {\overline a_i}\) é um elemento invertível (primeiro exercício) e podemos multiplicar os dois lados da última equação acima com seu inverso. Fazendo isso, obtemos que \[
\overline 1=\overline a^{\varphi(n)}.
\]
Note que o Teorema de Euler implica o Pequeno Teorema de Fermat (tomando \(n=p\) primo e observando que \(\varphi(p)=p-1\)), mas nós decidimos deduzir o PTF de fatos mais elementares.