Exercício 3.1 Determine o valor verdade das seguintes proposições.
- \(1+2=3\);
- \(1+2\leq 3\);
- \(1+2\geq 3\);
- \(1+2> 3\);
- \(1+2< 3\);
- \(1-4=3-5\);
- \(1-4\leq 3-5\);
- \(1-4\geq 3-5\);
- \(1-4<3-5\);
- \(1-4>3-5\);
Exercício 3.3 Considere as proposições \[
A:2+3\leq 5,\qquad B:\mbox{$10$ é múltiplo de $5$}.
\] Determine o valor verdade das seguintes proposições:
- \(A\land B\);
- \(A\lor B\);
- \(A\dot\lor B\);
- \(A\Rightarrow B\);
- \(A\Leftrightarrow B\);
- \(\neg A\land B\);
- \(\neg A\lor B\);
- \(\neg A\dot\lor B\);
- \(\neg A\Rightarrow B\);
- \(\neg A\Leftrightarrow B\);
- \(A\land \neg B\);
- \(A\lor \neg B\);
- \(A\dot\lor\neg B\);
- \(A\Rightarrow\neg B\);
- \(A\Leftrightarrow\neg B\);
- \(\neg A\land \neg B\);
- \(\neg A\lor \neg B\);
- \(\neg A\dot\lor\neg B\);
- \(\neg A\Rightarrow\neg B\);
- \(\neg A\Leftrightarrow\neg B\);
- \(\neg (A\land B)\);
- \(\neg (A\lor B)\);
- \(\neg (A\dot\lor B)\);
- \(\neg (A\Rightarrow B)\);
- \(\neg (A\Leftrightarrow B)\);
Exercício 3.4
- Determine a tabela-verdade da proposição \((\neg P)\lor Q\).
- Determine a tabela verdade da proposição \((P\land Q)\lor(\neg P\land\neg Q)\).
- Deduza que \(P\Rightarrow Q\equiv (\neg P)\lor Q\) e que \(P\Leftrightarrow Q\equiv (P\land Q)\lor(\neg P\land\neg Q)\).
Exercício 3.5 Usando tabelas-verdade, justifique as segintes afirmações.
- \(\neg(P\lor Q)\equiv \neg P\land \neg Q\);
- \(\neg(P\land Q)\equiv \neg P\lor\neg Q\);
- \(P\land (Q\lor R)\equiv (P\land Q)\lor (P\land R)\);
- \(P\lor (Q\land R)\equiv (P\lor Q)\land (P\lor R)\);
- \(P\land (Q\lor R)\not\equiv (P\land Q)\lor R\).
Exercício 3.6 Usando tabelas-verdade, verifique que as propisições no Exemplo 1.4 são tautologias. Descubra o significado informal destas proposições e e explique informalmente também porque as masmas são tautologias. Por exemplo, a primeira expressão diz que ‘ou \(P\) ou \(\neg P\) é verdadeira’ ou seja ‘\(P\) é verdadeira ou \(P\) é false’ que é a exigência que cada proposição precisa ser valor de verdade.
Exercício 3.7 Seja \(a\) um número natural e seja \(P\) a proposição que ‘\(a\) é primo’ e seja \(Q\) a proposição que ‘\(a\geq 3\)’. Escreva em palavras as seguintes proposições.
- \(\neg (P\lor Q)\);
- \(\neg (P\land Q)\).
Dê exemplos de números \(a\) tais que
- \(\neg (P\lor Q)\) e \(\neg (P\land Q)\) são verdadeiras.
- \(\neg (P\lor Q)\) e \(\neg (P\land Q)\) são falsas.
- \(\neg (P\lor Q)\) é verdadeira e \(\neg (P\land Q)\) é falsa.
- \(\neg (P\lor Q)\) é falsa e \(\neg (P\land Q)\) é verdadeira.
Exercício 3.8 Sejam \(A=\{-4,-2,0,2,4\}\) e \(B=\{0,1,2,3,4\}\). Determine os seguintes conjuntos.
- \(A\cup B\);
- \(A\cap B\);
- \(A\smallsetminus B\);
- \(B\smallsetminus A\);
- \((A\smallsetminus B)\cup B\smallsetminus A\);
- \((A\smallsetminus B)\cap B\smallsetminus A\);
Exercício 3.9 Demonstre as seguintes afirmações para conjuntos \(A\), \(B\), e \(C\).
- \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\).
- Assumindo que \(A\) e \(B\) são subconjuntos de \(X\), \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\).
Exercício 3.10 Demonstre que as seguintes afirmações são equivalentes para conjuntos \(A\) e \(B\):
- \(A\subseteq B\);
- \(A\cup B=B\);
- \(A\cap B=A\).
[Dica: Demonstre que 1. implica 2., que 2. implica 3. e que 3. implica 1.]
Exercício 3.11 Quais dos seguintes conjuntos são vazios?
- \(\{x\in \mathbb R\mid x^2-6x+5=0\}\);
- \(\{x\in \mathbb R\mid x^2+6x+5=0\}\);
- \(\{x\in \mathbb N\mid x^2-x-1=0\}\);
- \(\{x\in \mathbb N\mid 3<x<4\}\);
- \(\{x\in \mathbb R\mid 3<x<4\}\).
Exercício 3.12 Demonstre para conjuntos \(A\) e \(B\) que \[
(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)=(A\cup B)\smallsetminus(A\cap B).
\]
Exercício 3.13 Assuma que \(A\) é o conjunto dos inteiros pares e \(B\) é conjunto dos inteiros que são múltiplos de \(3\). Descreva o conjunto \[
(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A).
\]