55  Espaços vetoriais sobre corpos

55.1 A definição de um corpo

Um corpo é uma estrutura algébrica que permite realizar os passos da eliminação de Gauss-Jordan. A definição formal é a seguinte.

Definição 55.1 Seja F um conjunto não vazio equipado com duas operações + (adição) e ⋅ (multiplicação) que satisfazem as seguintes propriedades para todo a,b,c∈F:

  • (a+b)+c=a+(b+c);
  • a+b=b+a;
  • existe elemento neutro 0∈F para a adição: 0+a=a+0=a;
  • todo a∈F possui negativo; ou seja existe −a∈F tal que a+(−a)=0;
  • (ab)c=a(bc);
  • ab=ba;
  • existe elemento neutro 1∈F∖{0} para multiplicação: 1⋅a=a⋅1=a;
  • para todo elemento a∈F∖{0}, existe inverso multiplicativo de a, denotado por a−1 que satisfaz aa−1=1.
  • a(b+c)=ab+ac.

A estrutura (F,+,⋅) chama-se corpo.

Observe que na definição, nós assumimos que os elementos 0 e 1 de um corpo são diferentes. Assim, todo corpo tem pelo menos dois elementos, e de fato existe um corpo {0,1} com apenas estes dois elementos, onde as operações + e ⋅ são feitas módulo 2.

55.2 Exemplos de corpos

Exemplo 55.1 Os seguintes exemplos são corpos.

  1. Q, R, C, Zp quando p é primo.
  2. Considere F={a+b2∣a,b∈Q}. Afirmamos que F é corpo. De fato, a maioria das propriedades na , são triviais de verificar. A única propriedade que pode não ser imedatamente clara é que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. De fato, considere a+b2∈F∖{0} calcule (a+b2)(a−b2)=a2−2b2. Como 2∉Q, a2−2b2≠0 quando a≠0 e b≠0. Logo, (a+b2)a−b2a2−2b2=1. Portanto, (a+b2)−1=a−b2a2−2b2.
  3. Seja p um primo tal que −1 não é quadrado módulo p. Pode tomar, por exemplo p=3,7,11,…. De fato, pode-se verificar que p satisfaz esta propriedade se e somente se p é ímpar e p≡−1(mod4). Seja i um símbolo tal que i2=−1∈Zp e considere F={a+bi∣a,b∈Zp}. As operações em F fazemos usando as regras naturais e usando também a regra que i2=−1. Ou seja, (a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i;(a+bi)⋅(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i. Afirmamos que F é um corpo. De fato, a única propriedade que precisa de verificação mais cuidadosa é que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. De fato, seja a+bi∈F∖{0}. Temos que (a+bi)(a−bi)=a2+b2. Como, −1 não é quadrado em Zp, temos que a2+b2≠0 e (a+bi)a−bia2+b2=1. Logo, (a+bi)−1=a−bia2+b2.

Exemplo 55.2 Os seguintes não são corpos: N, Z, Zn quando n é composto R[x] (anel de polinômios), etc.

55.3 Espaços vetoriais sobre corpos

Definição 55.2 Seja F um corpo. Um espaço vetorial sobre F é um conjunto V de elementos (chamados “vetores”) junto com as operações da soma (u,v∈V⟹u+v∈V) e do produto por escalar (u∈V,λ∈F⟹λu∈V). As operações têm que satisfazer as seguintes condições

  1. (u+v)+w=u+(v+w)∀u,v,w∈V (“associatividade"),

  2. u+v=v+u∀u,v∈V (“commutatividade”),

  3. Existe um elemento 0∈V tal que u+0=u∀u∈V.

  4. Para cada u∈V, existe um elemento −u∈V tal que u+(−u)=0,

  5. λ(u+v)=λu+λv∀λ∈F,∀u,v∈V,

  6. (λ+μ)u=λu+μu∀λ,μ∈F,∀u∈V,

  7. (λμ)u=λ(μu)∀λ,μ∈F,∀u∈V,

  8. 1⋅u=u∀u∈V.

Dados u,v∈V, vamos denotar por u−v o elemento u+(−v). A partir dessas propriedades, podemos deduzir outras. Por exemplo:

Lema 55.1 0⋅u=0∀u∈V.

Comprovação. Temos 0u+u=P80u+1u=6(0+1)u=1u=8u.(∗) Logo: 0u=30u+0=40u+u−u=(∗)u−u=40.

Exemplo 55.3  

  • Fn é um espaço vetorial ∀n. Exercício: confirme que Fn satisfaz as propriedades 1–8.

  • Quando n=1 acima, obtemos que F=F1 é um espaço vetorial sobre F. As operações da soma e da multiplicação por escalar são simplesmente a soma e o produto de números em F: (a)+(b)=(a+b) λ(a)=(λa).

  • O menor espaço vetorial de todos: {0} é um espaço vetorial. Temos somente um jeito de definir a soma e produto por escalar: 0+0=0 λ⋅0=0. Este espaço parece meio idiota, mas ele é muito importante.

  • Denote por Mm,n(F) o conjunto das matrizes m×n com entradas em F. Se lembre que podemos somar duas matrizes em Mm,n(F): Se A=(aij),B=(bij)∈Mm,n(F) então A+B=(aij+bij)∈Mm,n(F). Também podemos multiplicar uma matriz por um escalar: Se A=(aij)∈Mm,n(F),λ∈F então λA=(λaij)∈Mm,n(F). De fato, com essas operações, Mm,n(F) é um espaço vetorial. Confirmo, por exemplo, que satisfaz Propriedade 3. A matriz 0 será a matriz cujas entradas são todas 0: 0=(0⋯0⋮⋱⋮0⋯0). Para qualquer matriz A=(aij) a gente tem A+0=(aij)+(0)=(aij+0)=(aij)=A.✓ Exercício: confirme que mais algumas das propriedades valem.

    Os espaços M1,n(F) e Mn,1(F) são os espaços de vetores linhas e de vetores colunas, respetivamente, de comprimento n sobre F. Estes espaços serão identificados com Fn.

  • Um exemplo menos óbvio. Seja X um conjunto qualquer e considere o conjunto das funções (= aplicações) de X a F: F(X,F)={f:X→F uma função}. Podemos definir a soma de duas funções: Dadas funções f,g:X→F, definimos uma função nova (f+g):X→F como (f+g)(x):=f(x)+g(x). Também podemos definir o produto por escalar de uma função f pelo escalar λ assim: (λf)(x):=λ⋅f(x). Com essas operações, F(X,F) é um espaço vetorial. Vamos confirmar umas propriedades:

    • Dadas funções f,g:X→F, queremos confirmar que as funções f+g e g+f são iguais. Para fazer isso, temos que confirmar que (f+g)(x)=(g+f)(x) para todo x∈X. Mas isso é fácil: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x).

    • A função 0∈F(X,F) será a função que leva todo x∈X pro elemento 0∈F. Ou seja, 0(x):=0∀x∈X. Temos que confirmar que f+0=f, logo temos que confirmar que (f+0)(x)=f(x)∀x∈X. Mas (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+0=f(x).

    Exercício: Defina a função “−f” e confirme que as outras propriedades valem. 0(x):=0∀x∈X. Temos que confirmar que f+0=f, logo temos que confirmar que (f+0)(x)=f(x)∀x∈X. Mas (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+0=f(x).

    Exercício: Defina a função “−f” e confirme que as outras propriedades valem.