Produto de subgrupos
Definição 61.1 Sejam \(H,K\leq G\). Definimos o produto \(HK\subseteq G\) como \[
HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}
\]
Exemplo 61.1 Assuma que \(H=\left<(1,2)\right>\), \(K=\left<(2,3)\right>\) são subgrupos de \(S_3\). Então \[
HK=\{1,(1,2),(2,3),(1,3,2)\}
\] Em particular \(HK\) não é subgrupo de \(S_3\). Além disso, \[
KH=\{1,(1,2),(2,3),(1,2,3)\}
\] que também não é subgrupo de \(G\) e observamos ainda que \(HK\neq KH\).
Agora, se \(N=\left<(1,2,3)\right>\), então \[
HN=S_3.
\]
Lema 61.1 Sejam \(H,K\leq G\). As segiuntes afirmações são verdadeiras.
- \(HK\leq G\) se e somente se \(HK=KH\).
- Se \(H\) e \(K\) são finitos, então \(|HK|=|H||K|/|H\cap K|\).
- Se \(K\) é normal, então \(HK=KH\) e \(HK\leq G\).
Comprovação.
Assuma que \(HK\leq G\). Isso implica que \[
HKHK=HK
\] e que \[
KH= H^{-1}HKK^{-1}=HK.
\] Reciprocamente, se \(HK=KH\), então \[
HKHK=HHKK=HK
\] e \(HK\) é fechado para multplicação. Similarmente, \[
(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH=HK
\] e \(HK\) é fechado para inversos. Logo \(HK\leq G\).
Defina \(\varphi:H\times K\to HK\) por \(\varphi(h,k)=hk\). Temos que \(\varphi\) é sobrejetiva e vamos calcular a pré-imagem \(\varphi^{-1}(\{hk\})\) de um elemento \(hk\in HK\). Se \(x\in H\cap K\), então \(\varphi(hx,x^{-1}k)=hxx^{-1}k=hk=\varphi(h,k)\). Logo \[
\{(hx,x^{-1}k)\mid x\in H\cap K\}\subseteq \varphi^{-1}(\{hk\}).
\] Ora, se \(h_1\in H\) e \(k_1\in K\) então \[
\varphi(h,k)=\varphi(h_1,k_1)\bicond hk=h_1k_1\bicond h^{-1}h_1=kk_1^{-1}\in H\cap K.
\] Escrevendo \(x=h^{-1}h_1=kk_1^{-1}\), temos que \[
h_1=hx\quad \mbox{e}\quad k_1=x^{-1}k
\] e assim \((h_1,k_1)\in\{(hx,x^{-1}k)\mid x\in H\cap K\}\). Temos então que \[
|\varphi^{-1}(\{hk\})|=|H\cap K|
\] e obtemos por um fácil argumento de contagem que \[
|HK|=|\mbox{Im}(\varphi)|=|H||K|/|H\cap K|.
\]
Se \(K\) é normal, então \[
hk=k^{h^{-1}}h\in KH
\] e \(HK\subseteq KH\) e argumento similar implica que \(KH\subseteq HK\). Logo \(HK=KH\) e item 1. implica que \(HK\leq G\).
O produto direto
Definição 61.2 Sejam \(G\) e \(H\) grupos. Defininimos o produto direto \(G\times H\) como o grupo \[
G\times H=\{(g,h)\mid g\in G,\ h\in H\}
\] com a operação definida na segiunte forma: \[
(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2).
\]
Lema 61.2 O conjunto \(G\times H\) é um grupo com o produto definido na linha anterior. Além disso, pondo \[
\bar G=\{(g,1)\mid g\in G\}\quad\mbox{e}\quad \bar H=\{(1,h)\mid h\in H\}
\] temos que
- \(\bar G,\bar H\unlhd G\times H\).
- \(\bar G\bar H=G\times H\);
- \(\bar G\cap\bar H=1\).
Comprovação. Fácil, o leitor pode fazer.
O produto direto acima definido é frequentamente chamado de produto direto externo. Simnilarmente a espaços vetoriais, existe uma versão interna do produto direto.
Lema 61.3 Suponha que \(G\) é um grupo e \(N,M\unlhd G\) são subgrupos normais tais que
- \(NM=G\) e
- \(N\cap M=1\).
Então \(G\cong N\times M\).
Comprovação. Primeiro mostremos que todo elemento \(g\in G\) pode ser escrito unicamente como \(g=nm\) com \(n\in N\) e \(m\in M\). Primeiro, como \(NM=G\), a decomposição de \(g\) existe. Ora, assuma que \(g=n_1m_1=n_2m_2\) com \(n_1,n_2\in N\) e \(m_1,m_2\in M\). Isso implica que \[
n_2^{-1}n_1=m_2m_1^{-1}\in N\cap M.
\] Como \(N\cap M=1\), temos que \(n_2^{-1}n_1=m_2m_1^{-1}=1\); ou seja, \(n_1=n_2\) e \(m_1=m_2\) e a unicidade está verificada.
Próximo, observe, para \(n\in N\) e \(m\in M\), que \[
[n,m]=n^{-1}m^{-1}nm=(m^{-1})^nm=n^{-1}n^m\in M\cap N=1.
\] Portanto \([n,m]=1\) e em particular \(N\) comuta com \(M\). Isso implica que se \(n\in N\) e \(m\in M\), então \(nm=mn\).
Agora defina \(\psi:G\to N\times M\) como \(\psi(g)=(n,m)\) onde \(g=nm\) com \(n\in N\) e \(m\in M\). O mapa \(\psi\) está bem definida pela unicidade da decomposição \(g=mn\). Além disso, \(\psi\) é um homomorfismo, pois se \(g_1=n_1m_1,\ g_2=n_2m_2\in G\), então \[\begin{align*}
\psi(g_1g_2)&=\psi(n_1m_1n_2m_2)\psi(n_1n_2m_1m_2)\\&=(n_1n_2,m_1m_2)=
(n_1,m_1)(n_2,m_2)\\&=\psi(g_1)\psi(g_2).
\end{align*}\] Se \(g\in\ker\psi\), então \(g=1\cdot 1=1\), logo \(\psi\) é injetiva. Finalmente, se \(n\in N\) e \(m\in M\), então \(\psi(nm)=(n,m)\) e \(\psi\) é sobrejetiva. Portanto, \(\psi\) é um isomorfismo e \(G\cong N\times M\).
Definição 61.3 Definição. Se \(G\), \(N\) e \(M\) são como no resultado anterior, escrevemos que \(G=N\times M\) e dizemos que \(G\) é produto direto (interno) de \(N\) e \(M\).
Produto semidireto
Definição 61.4 Definition. Para definir o produto semidireto (interno), seja \(G\) um grupo \(H\leq G\) e \(N\unlhd G\) tais que
- \(NH=G\) e
- \(N\cap H=1\).
Neste caso dizemos que \(G\) é produto semidireto de \(N\) e \(H\) e escrevemos que \(G=N\rtimes H\).
Seja \(G=N\rtimes H\) como na definição anterior. Assuma que \(g_1,g_2\in G\) tal que \(g_1=n_1h_1\) e \(g_2=n_2h_2\) onde \(n_1,n_2\in N\) e \(h_1h_2\in H\). Note que estas expressões para \(g_1\) e \(g_2\) são únicas e isso pode ser verificado facilmente usando o argumento na demonstração anterior. Se \(h\in H\), a normalidade de \(N\) implica que o mapa \[
\psi_h:n\mapsto n^h=h^{-1}nh
\] é um automorfismo de \(N\) e a aplicação \(h\mapsto \psi_h\) é um homomorfismo \(\psi:H\to \operatorname{Aut}(N)\). Usando esta observação, obtemos que \[
g_1g_2=n_1h_1n_2h_2=(n_1n_2^{h_1^{-1}})(h_1h_2)=n_1(n_2(h_1^{-1}\psi))h_1h_2.
\]
Esta conta nos dá uma ideia como definir produto semidireto externo.
Definição 61.5 Sejam \(N\) e \(H\) grupos e assuma que está dado um homomorfismo \(\psi:H\to \operatorname{Aut}(N)\). Defina o produto semidireto (relativo ao homomorfismo \(\psi\)) \(N\rtimes_\psi H\) de \(N\) e \(H\) como o grupo sobre o conjunto \(N\times H\) com a operação \[
(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1(n_2(h_1^{-1}\psi)),h_1h_2).
\]
Lema 61.4 O produto semidireto \(N\rtimes_\psi H\) é um grupo com a multiplicação definida.
Comprovação. Deixamos a demonstração para o leitor. Aqui só comentamos que o elemento neutro de \(N\rtimes_\psi H\) é \((1,1)\) e que \((n,h)^{-1}=
((n^{-1})^h,h^{-1})\).