\(\newcommand{\rot}[1]{\mbox{Rot}(#1)}\newcommand{\refl}[1]{\mbox{Ref}(#1)}\) Nesta página consideramos \(\R^n\) com o produto interno usual \(\langle-,-\rangle\).
Definição 78.1 A distáncia de \(v,w\in \R^n\) está definida como \[
d(v,w)=\|v-w\|=\langle v-w,v-w\rangle^{1/2}.
\] Uma aplicação (não necessariamente linear) \(f:\R^n\to \R^n\) é chamada de isometria se ela preserva distáncia. Ou seja, \[
d(f(v),f(w))=d(v,w)\quad\mbox{para todo}\quad v,w\in \R^n.
\]
Exemplo 78.1 Se \(v_0\in \R^n\), então \(T_{v_0}:v\mapsto v+v_0\) é uma isometria. Este exemplo mostra que uma isometria não precisa ser linear. Em \(\R^2\), a rotação \(R_{\alpha}\) no redor da origem por \(\alpha\) graus é também uma isometria. Note que \(R_\alpha\) é linear.
É imediato observar que uma isometria \(f:\R^n\to \R^n\) é injetiva. Acontece que uma isometria precisa ser também sobrejetiva, mas nós não provaremos esta afirmação por falta de tempo.
Teorema 78.1 As seguintes são equivalentes para uma transformação linear \(f:\R^n\to \R^n\).
- \(f\) preserva o produto interno em \(\R^n\).
- \(f\) preserva a norma em \(\R^n\).
- \(f\) preserva a distância em \(\R^n\)
Comprovação. Assuma que \(f\) preserva produto interno. Então, para todo \(v\in V\), \[
\|f(v)\|^2=\langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,v\rangle=\|v\|.
\] Ou seja, \(f\) preserva a norma.
Agora, assuma que \(f\) preserva a norma. Então temos para todo \(v,w\in V\) que \[
d(f(v),f(w))=\|f(v)-f(w)\|=\|f(v-w)\|=\|v-w\|=d(v,w).
\] Logo \(f\) preserva distância. Note que no meio da equação anterior, usamos que \(f\) é linear.
Assuma agora que \(f\) preserva distância. Note para \(v\in V\) que \[
\|f(v)\|=d(0,f(v))=d(0,v)=\|v\|
\] e assim \(f\) preserva a norma. Note que no meio da linha anterior, usamos que \(f(0)=0\). Ora, temos pela identidade de polarização para \(v,w\in V\), que \[\begin{align*}
\langle f(v),f(w)\rangle&=\frac 12(\|f(v)+f(w)\|-\|f(v)\|-\|f(w)\|)\\
&=\frac 12(\|f(v+w)\|-\|f(v)\|-\|f(w)\|)\\&=\frac 12(\|v+w\|-\|v\|-\|w\|)\\
&=\langle v,w\rangle.
\end{align*}\] Logo, \(f\) preserva produto interno.
Definição 78.2 Uma transformação ortogonal de \(\R^n\) é uma isometria linear de \(\R^n\).
Teorema 78.2 Seja \(f:\R^n\to \R^n\) uma transformação ortogonal e seja \(A\) a sua matriz na base canônica. Então \(A^tA=I\); ou seja, as colunas de \(A\) são ortonormais e \(A\) é uma matriz ortogonal. Em particular, uma transformação ortogonal de \(\R^n\) é invertível.
Comprovação. Note que a base canônica \(e_1,\ldots,e_n\) é ortonormal. As colunas de \(A\) são \(f(e_1),\ldots,f(e_n)\). Como \(f\) preserva produto interno, estes vetores formam uma base ortonormal.
Lema 78.1 Seja \(f:\R^n \to \R^n\) uma transformação ortogonal.
- O determinante de \(f\) é \(\pm 1\).
- Se \(\lambda\in\C\) é um autovalor de \(f\), então \(\overline \lambda\) também é um autovalor de \(f\).
- Se \(\lambda\in \C\) é um autovalor de \(f\), então \(|\lambda|=1\).
- Se \(\lambda\in \R\) é uma autovalor de \(f\), então \(\lambda=\pm 1\).
Comprovação. Seja \(A\) a matriz de \(f\) na base canônica e note que \[
1=\det I=\det AA^{-1}=\det AA^t=(\det A)^2.
\] Logo \(\det A=\pm 1\). Se \(\lambda\in\C\) é um autovalor de \(f\), então \(\overline \lambda\) também é, pois \(\mbox{pcar}_f(t)\in\R[t]\). Para provar afirmação 3., considere o operador \(f_\C:\C^n\to\C^n\), \(f_\C(v)=Av\) para todo \(v\in \C^n\) considerado como vetor coluna. Note que \(f_\C^*\) é a transformação \(v\mapsto A^tv\). Seja \(v\in \C^n\) um autovetor com autovalor \(\lambda\in \C\). Agora \[
\lambda\overline \lambda\|v\|=\langle\lambda v,\lambda v\rangle = \langle Av,Av\rangle=\langle v,A^tAv\rangle=\langle v,v\rangle.
\] Como \(v\neq 0\), temos que \(\langle v,v\rangle\neq 0\) e \(\lambda\overline\lambda=\|\lambda\|^2=1\). Finalmente, afirmação 4. segue trivialmente da afirmação 3.
Definição 78.3 O conjunto das transformações ortogonais de \(\R^n\) é denotado por \(O_n\). O conjunto das transformações ortogonais com determinante igual a \(1\) é denotado por \(SO_n\). O nome de \(O_n\) é grupo ortogonal enquanto \(SO_n\) é chamado de grupo ortogonal especial. Os grupos \(O_n\) e \(SO_n\) podem ser identificados com os conjuntos das matrizes ortogonais e matrizes ortogonais com determinante \(1\).
Lema 78.2 Sejam \(f,g\in O_n\). Então
- \(f\circ g\in O_n\)
- Se \(f,g\in SO_n\), então \(f\circ g\in SO_n\).
- \(f^{-1}\in O_n\)
- Se \(f\in SO_n\), então \(f^{-1}\in SO_n\).
O lema anterior diz essentialmente que \(O_n\) e \(SO_n\) são grupos. Nesta disciplina nós não definimos o conceito dos grupos, eles vão aparecer muito na disciplina Grupos e Corpos. Os grupos \(O_n\) e \(SO_n\) têm muitas aplicações nas áreas da física teórica, mecánica clássica, robótica, gráfica computacional, etc.