Comecemos por um resultado conhecido de cálculo.
Lema 14.1 Se \(|q| <1\), então a série \[
\sum_{n=0}^\infty q^n
\] é convergente e a sua soma é igual a \[
\frac{1}{1-q}.
\]
No bloco anterior, estudamos expansões de números naturais na base \(b\). Escrevemos naturais na base \(b\) como \([a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]_b\). Quando \(b=10\), escrevemos o mesmo número como \([a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]\) (sem explicitamente indicar a base).
Uma fração decimal (ou expansão decimal) não negativa é uma sequência (possivelmente infinita) de algarismos na forma \([a_na_{n-1}\cdots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}\cdots]\) onde \(a_{i}\in\{0,\ldots,9\}\). O número representado pela fração é \[\begin{align*}
a&=\sum_{k=n}^{-\infty}a_k10^k=\sum_{k=0}^n a_k10^k+\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}10^{-k}\\&=
[a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]+\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}10^{-k}.
\end{align*}\] A expressão acima mostra que cada fração decimal não negativa pode ser escrita como a soma de um número natural e uma fração decimal na forma \([0,a_{-1}a_{-2}\cdots]\). Como os números naturais foram tratados na unidade anterior, aqui vamos focar apenas frações na forma \([0,a_{-1}a_{-2}\cdots]\). Uma fração natural desta forma pode ser finita ou infinita. Quando a sequência de algarismos depois da vírgula é infinita, então a fração é infinita; caso contrário a fração é finita. Uma fração finita pode ser escrita na forma \([0,a_{-1}a_{-2}\cdots a_{-n}]\). Note que uma fração finita pode ser considerada infinita adicionando uma sequência infinita de zeros e assim nós frequentemente assumimos que as frações analizadas são infinitas.
Lema 14.2 Para qualquer sequência (possivelmente infinita) de algarismos, a expansão \([0,a_{1}a_{2}\cdots]\) representa um número real entre zero e um
Comprovação. PPrecisa provar que a série \[
\sum_{k=1}^\infty a_{k}10^{-k}
\] é convergente e converge a um número entre zero e um. Como \(0\leq a_i\leq 9\) para todo \(i\), obtemos que \[
\sum_{k=1}^\infty a_{k}10^{-k}\leq\sum_{k=1}^\infty 9\cdot 10^{-k}=\frac 9{10}\sum_{k=0}^\infty 10^{-k}=\frac 9{10}\frac 1{1-1/10}=1.
\] Como os termos da série na última linha são não negativas, a conta acima mostra que a série que corresponde à expansão \([0,a_{1}a_{2}\cdots]\) é convergente e converge a um número não negativo menor ou igual a \(1\)
Note que o mesmo número real pode ser escrito de maneiras distintas como fração decimal. Por exemplo, \(1,00\cdots=0,99\cdots\).
Considere a fração decimal \([0,a_{1}a_{2}\cdots]\). Esta fração chama-se periódica se existem \(m\geq 0\) e \(r\geq 1\) tais que \(a_{r+k}=a_k\) para todo \(k> m\). A sequência \([a_1\cdots a_m]\) chama-se pré-período, enquanto a sequência \([a_{m+1}\cdots a_{m+r}]\) chama-se período da fração.
Uma fração periódica com pré-período \([a_1\cdots a_m]\) e período \([a_{m+1}\cdots a_{m+r}]\) tem a forma \[
[0,a_1\cdots a_ma_{m+1}\cdots a_{m+r}a_{m+1}\cdots a_{m+r}\cdots];
\] ou seja, a fração começa com a sequência \([a_1\cdots a_m]\) e depois a sequência \([a_{m+1}\cdots a_{m+r}]\) está se repetindo. Neste caso escrevemos a fração como \[
[0,a_1\cdots a_m\overline{a_{m+1}\cdots a_{m+r}}].
\] Por exemplo \[
1/44=0,02272727\cdots=0,02\overline{27}.
\]
Teorema 14.1 As seguintes afirmações são verdadeiras.
- Toda expansão decimal periódica representa um número racional.
- Se \(a/b\) é um número racional tal que \(0<a<b\), então sua expansão decimal é periódica
Comprovação.
Considere a expansão decimal \[
[0,a_1a_2\cdots]=[0,a_1a_2\cdots a_m\overline{a_{m+1}\cdots a_{m+r}}]
\] e seja \(a\) o número representado por esta expansão. Pelo lema anterior, \(0\leq a\leq 1\). Sejam \(u\) e \(v\) os números naturais \[
u=[a_1a_2\cdots a_m]\quad\mbox{e}\quad v=[a_{m+1}\cdots a_{m+r}].
\] Tem-se que \[\begin{align*}
a&=\sum_{k=1}^\infty a_k10^{-k}=\frac u{10^{m}}+\sum_{k=1}^\infty \frac{v}{10^{m+kr}}\\&=\frac u{10^{m}}+\frac{v}{10^{m+r}}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{10^{kr}}=\frac{u}{10^{m}}+\frac{v}{10^{m+r}}\frac{1}{1-10^{-r}}.
\end{align*}\] Ora note apenas que o número no lado direito da última equação é um número racional.
Assuma que \(0< a<b\) e considere o racional \(q=a/b\). Vamos determinar a sequência de algarismos para \(q\). Seja \(a_0=a\), \(q_0=0\) e escreva, usando o Teorema de Divisão de Euclides, \[
10a_0=q_1b+a_1\quad\mbox{onde}\quad 0\leq a_1<b.
\] Assuma que as sequências \(a_0,\ldots,a_k\) e \(q_0,\ldots,q_k\) são determinadas, e defina \(q_{k+1}\) e \(a_{k+1}\) pela equação \[
10a_k=q_{k+1}b+a_{k+1}\quad\mbox{onde}\quad 0\leq a_{k+1}<b
\] usando o Teorema de Divisão de Euclides.
Afirmamos que a expansão decimal de \(a/b\) é \([0,q_1q_2\cdots]\). Para isso nós precisamos verificar que \[
\sum_{k=1}^\infty q_k10^{-k}\to \frac ab.
\] De fato, nós provaremos que \[
10^k a=\sum_{i=1}^k10^{k-i}q_ib+a_k
\] Para \(k=1\), esta afirmação segue da expressão acima para \(10a_0=10a\). Assuma que esta igualdade é verdadeira para algum \(k\). Então \[\begin{align*}
10^{k+1}a&=10\cdot 10^ka=10\cdot\left(\sum_{i=1}^k10^{k-i}q_ib+a_k\right)
\\&=\sum_{i=1}^{k}10^{k+1-i}q_ib+10a_k\\&=
\sum_{i=1}^{k}10^{k+1-i}q_ib+q_{k+1}b+a_{k+1}\\&=\sum_{i=1}^{k+1}10^{k+1-i}q_ib+a_{k+1}.
\end{align*}\] Então a afirmação é verdadeira para todo \(k\). Segue, para todo \(k\geq 1\), da mesma afirmação que \[
\frac ab=\sum_{i=1}^k10^{-i}q_i+a_k/(10^kb)=[0,q_1\cdots q_k]+\frac{a_k}{10^kb};
\] e assim \[
\frac ab-[0,q_1\cdots q_k]=\frac{a_k}{10^kb}<\frac{b}{10^kb}=10^{-k}.
\] Isso implica que a sequência \([0,q_1\cdots q_k]\) converge para \(a/b\) quando \(k\to\infty\) e então a expansão do número racional \(a/b\) é \([0,q_1q_2\cdots]\).
Finalmente precisamos provar que a expansão \([0,q_1q_2\cdots]\) de \(a/b\) é periódica. Para isso, note que a sequência \(a_1,a_2,\ldots\) é uma sequência de números naturais com \(a_i\in\{0,\ldots,b-1\}\) para todo \(i\). Então vai existir \(m\) e \(r\) tal que \(a_{m+r}=a_m\). Logo \[
q_{m+r+1}b+a_{m+r+1}=10a_{m+r}=10a_m=q_{m+1}b+a_{m+1}.
\] Obtemos pela unicidade na Teorema de Divisão de Euclides que \(q_{m+r+1}=q_{m+1}\) e \(a_{m+r+1}=a_{m+1}\). Similarmente, \(q_{m+r+2}=q_{m+2}\) e \(a_{m+r+2}=a_{m+2}\) e mais geralmente \[
q_{k+r}=q_{k}\quad e \quad a_{k+r}=a_{k}.
\] para todo \(k\geq m+1\). Ou seja, a expansão do número \(a/b\) é periódoca.
Exemplo 14.1 A demonstração do resultado anterior dá um algoritmo para calcular a expansão de um número natural \(a/b\) onde \(0<a<b\). Considere por exemplo o racional \(1/54\). Seguindo a demonstração do teorema para \(a=1\) e \(b=54\), fazemos a seguinte conta.\[\begin{align*}
10a=10=0\cdot 54+10\quad &\Rightarrow\quad q_1=0\mbox{ e }a_1=10\\
10a_1=100=1\cdot 54+46\quad &\Rightarrow\quad q_2=1\mbox{ e }a_2=46\\
10a_2=460=8\cdot 54+28\quad &\Rightarrow\quad q_3=8\mbox{ e }a_3=28\\
10a_3=280=5\cdot 54+10\quad &\Rightarrow\quad q_4=5\mbox{ e }a_4=10\\
10a_4=100=1\cdot 54+46\quad &\Rightarrow\quad q_5=1\mbox{ e }a_5=46
\end{align*}\] Observamos que \(a_4=a_1\) como foi previsto na demonstração do teorema e a computação vai se repetir a partir deste ponto. Obtemos então que \[
\frac 1{54}=0,0\overline{185}.
\]
Obtemos também como consequência do teorema anterior que existem números irracionais no intervalo \([0,1]\). Por exemplo, considere o número \[
a=0,1010010001000010000010000001\cdots.
\] Pelo lema anterior, \(a\) é um número real, mas a sua expansão decimal não é periódoca, portanto este número não é racional.
Exatamente como a expansão dos números naturais pode ser calculada em qualquer base \(d\geq 2\), a expansão dos números racionais também pode ser calculada em bases \(d\) tal que \(d\geq 2\). Os resultados em uma base arbitrária são muito similares aos resultados na base \(d=10\) (caso decimal) e estes detalhes são omitidos. No entanto recomendamos que o leitor traduza os resultados acima para uma base \(d\neq 10\).