Grupos abelianos finitos
Exercício 83.1 Assuma que \(G\) é um grupo finito e o \(p\)-sugrupo \(S_p\) de Sylow é normal para todo primo \(p\). Demonstre que \[
G=S_{p_1}\times \cdots\times S_{p_k}
\] onde \(p_1,\ldots,p_k\) são os divisores primos de \(|G|\).
Corolário 83.1 Seja \(G\) um grupo abeliano finito. Então \(G\) é isomorfo a um produto direto de \(p\)-grupos abelianos. Ou, seja \[
G\cong G_{p_1}\times \cdots\times G_{p_k}
\] onde \(p_1,\ldots,p_k\) são os divisores primos distintos de \(|G|\) e \(G_{p_i}\) é um \(p_i\)-grupo abeliano. Além disso, a esta decomposição de \(G\) é unica a menos da ordem dos fatores.
Comprovação. A existência da decomposição segue do exercício anterior e do fato que \(G\) é abeliano e assim todo subgrupo de \(G\) é normal. A unicidade segue do fato que todo \(G_{p_i}\) é um \(p_i\)-subgrupo de Sylow de \(G\).
Pelo Corolário 83.1, nós precisamos focar em \(p\)-grupos abelianos finitos.
Lema 83.1 Assuma que \(G\) é um \(p\)-grupo abeliano finito, seja \(g_0\) um elemento de ordem maximal em \(G\) e ponha \(C=\left<g_0\right>\). Então \(G\) possui complemento para \(C\); ou seja, existe \(K \leq G\) tal que \(G=C\times K\).
Comprovação. Nós usamos indução em \(|G|\). Se \(G\) for cíclico (em particular, quando \(|G|=p\)), então \(G=C\) e \(G=C\times 1\) como foi afirmado. Assuma que \(G\) não é cíclico e que a afirmação do lema vale para todo grupo de ordem menor que \(|G|\). Assuma que \(|g_0|=|C|=p^k\).
Primeiro, afirmamos que existe \(a\in G\setminus C\) com \(|a|=p\). Seja \(h\in G\) tal que \(h\not\in C\) e assuma que \(h\) tem ordem minimal possível. Como \(G\) não é cíclico, tal \(h\) existe. Como \(|h^p|=|h|/p\), a escolha de \(h\) (ter ordem minimal) implica que \(h^p\in C\); ou seja, \(h^p=g_0^r\) com algum \(r\). Portanto, \[
(g_0^r)^{p^{k-1}}=(h^p)^{p^{k-1}}=h^{p^k}=1
\] e \(p^{k-1}\mid |g_0^r|\). Em particular, \(\left<g_0^r\right>\neq C\) e \(g_0^r\) está contido em um subgrupo maximal de \(C\). Por outro lado, \[
C^p=\{g^p\mid g\in C\}
\] é o único subgrupo maximal de \(C\) e assim \(g_0^r\in C^p\); ou seja, \(g_0^r=g_0^{ps}\) com algum \(s\). Defina \(a=g_0^{-s}h\). Então \(a\not \in C\), e \[
a^p=g_0^{-sp}h^p=g_0^{-r}h^p=h^{-p}h^p=1.
\] Portanto, \(a\in G\) é um elemento de ordem \(p\) tal que \(a\not\in C\). Em particular, \(\left<a\right>\cap C=1\).
Considere o quociente \(Q=G/\left<a\right>\). A ordem de um elemento \(x\left<a\right>\in Q\) tem ordem menor ou igual a \(|x|\). Além disso a imagem \(\overline C=(C\left<a\right>)/\left<a\right>\) em \(Q\) está gerada por \(g_0\left<a\right>\). Afirmamos, que \(|g_0\left<a\right>|=p^k=|g_0|\). De fato,
\[
\overline C=(C\left<a\right>)/\left<a\right>\cong C/(C\cap\left<a\right>)=C
\] e assim \(\overline C\) é um subgrupo de ordem \(p^k\) em \(Q\). Em particular, \(g_0\left<a\right>\) é um elemento de ordem maximal em \(Q\) e a hipótese da indução implica que \[
Q=\left<g_0\left<x_0\right>\right>\times K=\overline C\times \overline K
\] com algum \(\overline K\leq Q=G/\left<a\right>\). Seja \(K\) a pré-imagem de \(\overline K\) em \(G/\left<a\right>\); ou seja, \(K\leq G\) tal que \(\left<a\right>\leq K\) e \(\overline K=K/\left<a\right>\). Se \(x\in C\cap K\), então \(x\left<a\right>\in \overline C\cap \overline K=1\) e assim \(x\in \left<a\right>\). Mas \(C\cap \left<a\right>=1\) implica que \(x=1\). Portanto, \(x=1\) e obtemos que \(C\cap K=1\). Além disso, \[
CK/\left<a\right>=G/\left<a\right>
\] e o Teorema 77.3 implica que \(CK=G\). Como \(G\) é abeliano, temos que \(C,K\unlhd G\) e, portanto, \[
G=C\times K.
\]
Exercício 83.2 Assuma que \(p\) é um primo, sejam \(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\geq 1\) e ponha \[
G=\Z_{p^{\alpha_1}}\times \cdots\times \Z_{p^{\alpha_m}}.
\] Mostre que
- \(G/G^p\) é um espaço vetorial sobre \(\Z_p\);
- \(\dim G/G^p=m\).
Corolário 83.2 Seja \(G\) um \(p\)-grupo abeliano finito. Então \(G\) pode ser escrito como \[
G\cong \Z_{p^{\alpha_1}}\times \cdots\times\Z_{p^{\alpha_m}}.
\] Além disso, os números \(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\) está unicamente determinados a menos a sua ordem.
Comprovação. Existência: Indução por \(|G|\). Se \(|G|=p\), então \(|G|=\Z_p\) e o resultado está certo. Além disso, se \(G\) é cíclico, então \(G=\Z_{p^\alpha}\) e o resultado está verificado. Assuma que \(G\) não é cíclico, seja \(g_0\) um elemento de ordem maximal em \(G\) e assuma que \(C=\left<g_0\right>\). Assumindo que \(|g_0|=p^{\alpha_1}\), temos que \(C=\left<g_0\right>\cong \Z_{p^{\alpha_1}}\) e, pelo Lema 83.1, existe \(K\leq G\) tal que \[
G=\left<g_0\right>\times K\cong \Z_{p^{\alpha_1}}\times K.
\] Agora, a hipótese da indução implica que \[
K\cong \Z_{p^{\alpha_2}}\times \cdots\times\Z_{p^{\alpha_m}}.
\] Portanto, \[
G\cong \Z_{p^{\alpha_1}}\times K\cong \Z_{p^{\alpha_1}}\times \cdots\times\Z_{p^{\alpha_m}}.
\]
Unicidade: Organizemos a decomposição de \(G\) na seguinte forma: \[
G=(\Z_{p})^{a_1}\times (\Z_{p^2})^{a_2}\times \cdots\times (\Z_{p^s})^{a_s}
\] com \(1\leq a_i\). Pelo Exercício 83.2, \[
\dim_{\Z_{p}}G/G^p=a_1+\cdots+a_s.
\] Ora, \[
G^p=(\Z_{p})^{a_2}\times\cdots\times (\Z_{p^{s-1}})^{a_s}
\] e \[
\dim_{\Z_p}G^p/G^{p^2}=a_2+\cdots+a_s.
\] Portanto, \(a_1\) está determinado pelo tipo de isomorfismo de \(G\). Continuando deste jeito, temos que \(a_i\) está determinado por \(G\) para todo \(i\) e a decomposição de \(G\) está única.
Teorema 83.1 (O Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitos) Seja \(G\) um grupo abeliano finito, então
\[
G\cong \Z_{p_1^{\alpha_1}}\times\cdots\times \Z_{p_k^{\alpha_k}}
\] onde todo \(p_i\) é um primo e \(C_{p_i^{\alpha_i}}\) é um grupo cíclico de ordem \(p_i^{\alpha_i}\). Além disso, esta decomposição é única a menos da ordem dos fatores.