Classes residuais
Como nós já discutimos, dizemos que \(a\) divide \(b\) (\(a\) e \(b\) são números inteiros) se \(b=qa\) com algum \(q\) inteiro. Neste caso pode-se dizer também que \(a\) é um divisor de \(b\) ou que \(b\) é múltiplo de \(a\). Se \(a\) divide \(b\), então escrevemos \(a\mid b\).
Defina a seguinte relação sobre \(\Z\): \[
a\equiv_3 b\quad\bicond\quad b-a=3k\mbox{ com algum }k\in\Z.
\] Pode também dizer que \(a\equiv_3 b\) se e somente se \(3\mid b-a\).
Lema 6.1 A relação \(\equiv_3\) é uma relação de equivalência sobre \(\Z\).
Comprovação. Por definição, Definição 5.1, precisamos verificar que a relação é reflexiva, simétrica, e transitiva.
Reflexividade: Se \(a\in\Z\), então \(a-a=0=3\cdot 0\). Logo \(a\equiv_3 a\).
Simetria: Sejam \(a,b\in\Z\) tal que \(a\equiv_3 b\). Então \(b-a=3k\) e assim \(a-b=-(b-a)=-3k=3(-k)\).
Transitividade: Sejam \(a,b,c\in\Z\) tais que \(a\equiv_3 b\) e \(b\equiv_3 c\); ou seja \(b-a=3k_1\) e \(c-b=3k_2\). Neste caso \[
c-a=(b-a)+(c-b)=3k_1+3k_2=3(k_1+k_2).
\] Pronto.
Exemplo 6.1 Por exemplo \(2\equiv_3 5\), pois \(5-2=3=3\cdot 1\). Temos também que \(1\equiv_3 -2\), pois \(-2-1=-3=3\cdot (-1)\). Por outro lado, \(1\not\equiv_3 -1\), pois \(-1-1=-2\neq 3k\).
Quais são as classes de equivalência (Definição 5.2)? Por exemplo, qual conjunto é a classe \([0]\) de \(0\)? Temos pela definição da classe \([0]\) que \[
[0]=\{a\in\Z\mid 0\equiv_3 a\}=\{a\in\Z\mid a-0=3k\}=\{a\in\Z\mid a=3k\}=\{3k\mid k\in \Z\}.
\] Ou seja, \[
[0]=\{0,3,-3,6,-6,\ldots\}=\{3k\mid k\in\Z\}.
\] Similarmente \[
[1]=\{a\in\Z\mid 1\equiv_3 a\}=\{a\in\Z\mid a-1=3k\}=\{a\in\Z\mid a=3k+1\}=\{1,-2,4,-5,7,-8,10,\ldots\}
\] e \[
[2]=\{a\in\Z\mid 2\equiv_3 a\}=\{a\in\Z\mid a-2=3k\}=\{a\in\Z\mid a=3k+2\}=\{2,-1,5,-4,8,-7,\ldots\}
\]
Obtemos que todo número inteiro pertençe a uma das classes de equivalência \([0],[1],[2]\). De fato se \(a\in\Z\), então o resto de \(a\) quando dividido por \(3\) é \(0\), \(1\) ou \(2\) e \(a\in[r]\) onde \(r\) é o seu resto. Assim temos apenas estas três classes.
Exercício 6.1 Seja \(n\geq 2\) um inteiro e defina a relação \(\equiv_n\) sobre \(\Z\) na seguinte forma: \[
a\equiv_n b\quad\mbox{se e somente se $b-a=kn$ com algum $k\in \Z$}.
\] Descreve as classes de equivalência para a relação \(\equiv_n\).
Mais duas relações
Os seguintes dois exemplos importantes serão tratados como exercícios.
Exercício 6.2 Seja \(A=\N\times \N\) e defina a seguinte relação sobre \(A\): \[
(a,b)\equiv (c,d)\quad\bicond \quad a+d=b+c.
\]
- Mostre que \(\equiv\) é uma relação de equivalência.
- Ache as classes de equivalência dos elementos \((1,2)\), \((2,4)\), e \((3,5)\).
- Dê uma descrição de todas as classes de equivalência.
Exercício 6.3 Seja \(A=\Z\times \Z\) e defina a seguinte relação sobre \(A\): \[
(a,b)\equiv (c,d)\quad\bicond \quad ad=bc.
\]
- Mostre que \(\equiv\) é uma relação de equivalência.
- Ache as classes de equivalência dos elementos \((1,2)\), \((2,4)\), e \((3,6)\).
- Dê uma descrição de todas as classes de equivalência.