77  Operadores normais

Nesta página F=R ou F=C e V é um F-espaço com produto interno ⟨−,−⟩. Alguns resultados são válidos para espaços vetoriais sobre corpos arbitrários com formas σ-hermitianas, mas nós vamos trabalhar com as suposições da frase anterior.

Definição 77.1 Um operador f:V→V é dito normal se existe f∗ e ff∗=f∗f. Ou seja, um operador é normal se e somente se existe o adjunto e ele comuta com seu adjunto.

Lema 77.1 Seja f:V→V um operador.

  • Se f é autoadjunto, então f é normal.
  • Se dim⁡V é finita e f é diagonalizável por uma base ortonormal, então f é normal.

Comprovação. A primeira afirmação é óbvia, pois f e f claramente comutam. Para a segunda afirmação, assuma que existe uma base ortonormal {b1,…,bn} de V composta de autovetores de f. A matriz de f nesta base é uma matriz diagonal D com os autovalores λ1,…,λn no diagonal principal. Na mesma base, a matriz D― de f∗ é diagonal com λ―1,…,λ―n no diagonal principal. Como as matrizes diagonais D e D― comutam, temos que f também comuta com f∗.

Exemplo 77.1 Um operador normal não precisa ser autoadjunto. Considere por exemplo o operador Rα:R2→R2 que é a rotação por α graus. A matriz deste operador na base canônica (que é ortonormal) é (cos⁡α−senαsenαcos⁡α). A matriz da adjunta de Rα na mesma base é (cos⁡αsenα−senαcos⁡α); ou seja, (Rα)∗=R−α. Como rotações do plano comutam, Rα comuta com Rα∗=R−α e Rα é normal. Por outro lado se α não é múltipo de 180 graus, Rα≠R−α e neste caso Rα não é autoadjunto.

Lema 77.2 Assuma que f:V→V é normal.

  • ∥f(v)∥=∥f∗(v)∥ para todo v∈V.
  • Se v é autovetor de f com autovalor λ, então o mesmo v é autovetor de f∗ com autovalor λ―.
  • Se v1 e v2 são autovetores de f com autovalores α1 e α2 distintos, então v1⊥v2.

Comprovação.

  1. Seja v∈V. Então ∥f(v)∥2=⟨f(v),f(v)⟩=⟨v,f∗(f(v))⟩=⟨f(f∗(v),v⟩―=⟨f∗(v),f∗(v)⟩―=∥f∗(v)∥―=∥f∗(v)∥.

  2. Assuma que f(v)=λv; ou seja (f−λid)(v)=0. Obtemos que ∥(f−λid)(v)∥=0. Pelo item anterior, ∥(f−λid)∗(v)∥=0. Então (f−λid)∗(v)=0; ou seja, f∗(v)=λ―v.

  3. Temos que α1⟨v1,v2⟩=⟨f(v1),v2⟩=⟨v1,f∗(v2)⟩=α2⟨v1,v2⟩. Logo (α1−α2)⟨v1,v2⟩=0 e obtemos que ⟨v1,v2⟩=0.

Teorema 77.1 Seja V um C-espaço de dimensão finita e f:V→V um operador. Existe uma base ortonormal formada por autovetores de V se e somente se f é um operador normal.

Comprovação. Já vimos que quando existe uma base ortonormal formada por autovetores de f, então f é normal.

A outra direção será demonstrada por indução na dimensão de V. Quando dim⁡V=1, então escolhe qualquer vetor não nulo v∈V∖{0} e tome ∥v∥−1v para base ortonormal formada por autovetores de f. Assuma que o resultado vale para espaços de dimensão n−1 e assuma que dim⁡V=n. Como o corpo é C, f possui autovalor λ e seja v∈V um autovetor não nulo. Seja b1=∥v∥−1v um vetor unitário. Considere U=⟨v⟩ e W=U⊥. Note que U é f-invariente. Mas U também é f∗-invariante, pois b1 é autovetor de f∗ com autovalor λ―. Assim, um resultado anterior implica que W é f-invariante (pois f=(f∗)∗). As restrições de f e f∗ para W claramente comutam e (f|W)∗=(f∗)|W. Logo, a hipótese da indução é válida para f|W e W e W possui uma base {b2,…,bn} ortonormal formada por autovetores de f. Ora, {b1,…,bn} é a base procurada.

Exemplo 77.2 Seja f:C2→C2 o operador com matriz A=(1ii1) na base canônica. Note que a matriz de f∗ é A∗=(1−i−i1) e f não é autoadjunto. Mas AA∗=A∗A=(2002) e f é normal. Note que os autovalores de f são raízes do polinômio caraterístico t2−2t+2 que são 1±i. Os autovetores ortonormais correspondentes são (1/2)(1,1) e (1/2)(1,−1). Logo pondo P=12(111−1) temos que P∗AP=(1+i001−i)