Teorema 61.1 (Cayley-Hamilton) Seja \(f:V\to V\) um endomorfismo com \(\dim V=n\) (finita). Então \(\mbox{pcar}_f(f)=0\). Em particular, \(m_f(t)\mid \mbox{pcar}_f(t)\).
Existem várias demonstrações do Teorema (veja a página da Wikipédia refenciada em cima), e todas têm as suas vantagens e desvantagens. Algumas demonstrações são mais elementares, mas as computações são mais complicadas, algumas são computacionalmente mais simples, mas usam teoria mais profunda, outras funcionam apenas sobre corpo algebricamente fechado (tal como \(\C\)). Aqui, eu escolhi uma demonstração um pouco mais abstrata, mas tecnicamente mais fácil. O leitor está encorajado consultar as notas do John e Rodney para demonstrações alternativas e decidir qual gosta mais.
Antes da demonstração, nós precisamos de algumas ferramentas. Seja \(R\) um anel comutativo e assuma que \(A\in M_{n\times n}(R)\). Denote por \(A_{i,j}\) a matriz \((n-1)\times (n-1)\) que obtemos por apagar a \(i\)-ésima linha e \(j\)-ésima coluna de \(A\). Denote por \(\mbox{adj}(A)=(b_{i,j})\) a matriz com entradas \(b_{i,j}=(-1)^{i+j}\det A_{j,i}\). A matriz \(\mbox{adj}(A)\) é a adjunta de \(A\).
Teorema 61.2 \(\mbox{adj}(A)A=(\det A)I_n\). Em particular, se \(\det A\) é invertível em \(R\), então \(A^{-1}=(\det A)^{-1}\mbox{adj}(A)\).
Comprovação. Este teorema está frequentemente mencionado, ou inclusive provado, nas disciplinas anteriores. Se isso for o caso, revisar a demonstração; caso contrário, exercício.
Comprovação. (A demonstração do Teorema de Cayley-Hamilton) Suponhamos que \(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\) é uma base de \(V\) e seja \(A=(a_{i,j})=[f]_B^B\). Considere o anel formada pelas combinações lineares das potências \(f^0=\mbox{id}_V,f,f^2,f^3,\ldots\) dentro de \(\mbox{End}(V)\). Embora \(\mbox{End}(V)\) não seja comutativo, este \(R\) é um anel comutativo. Considere a matriz \[
A = \begin{pmatrix}
f-a_{1,1}\mbox{id}_V & -a_{2,1}\mbox{id}_V & \cdots & -a_{n-1,1}\mbox{id}_V & -a_{n,1}\mbox{id}_V\\
-a_{1,2}\mbox{id}_V & f-a_{2,2}\mbox{id}_V & \cdots & -a_{n-1,2}\mbox{id}_V & -a_{n,2}\mbox{id}_V\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
-a_{1,n-1}\mbox{id}_V & -a_{2,n-1}\mbox{id}_V & \cdots & f-a_{n-1,n-1}\mbox{id}_V & -a_{n,n-1}\mbox{id}_V\\
-a_{1,n}\mbox{id}_V & -a_{2,n}\mbox{id}_V & \cdots & -a_{n-1,n}\mbox{id}_V & f-a_{n,n}\mbox{id}_V\\
\end{pmatrix}
\] A matriz \(A\) é um elemento de \(M_{n\times n}(R)\) e note que \(\det A =\mbox{pcar}_f(f)\). Pondo \(b=(b_1,\ldots,b_n)^t\) (vetor coluna), temos que \(Ab=0\). Por outro lado \[
0=\mbox{adj}(A)Ab=(\det A)I_nb=(\det A)b=\mbox{pcar}_f(f)b.
\] Logo \(\mbox{pcar}_f(f)b_i=0\) para todo \(i\). Como os \(b_i\) formam uma base de \(V\), obtemos que \(\mbox{pcar}_f(f)=0\).
O fato que \(m_f(t)\mid \mbox{pcar}_f(t)\) segue das propriedades do polinômio mínimo na página anterior.