Lema 30.1 Seja \(p\) um primo e seja \(\overline a\in\Z_p\).
- Se \(\overline a^2=\overline 1\) então \(\overline a\in\{\overline 1,\overline{-1}\}\).
- Se \(\overline a\neq\overline 0\) e \(\overline a^{-1}=\overline a\) então \(\overline a\in\{\overline 1,\overline{-1}\}\).
Comprovação. Vamos provar a primeira afirmação. Assuma que \(\overline a^2=\overline 1\). Então \(a^2\equiv 1\pmod p\) e \(p\mid a^2-1=(a-1)(a+1)\). Como \(p\) é primo, isso implica que \(p\mid (a-1)\) ou \(p\mid (a+1)\); ou seja \(a\equiv 1\pmod p\) ou \(a\equiv -1\pmod p\). No primeiro caso \(\overline a=\overline 1\), enquanto no segundo \(\overline a=\overline{-1}\).
Na segunda afirmação, assuma que \(\overline a^{-1}=\overline a\) e multiplique os dois lados com \(\overline a\) para obter que \(\overline 1=\overline a^2\). Agora a primeira afirmação implica que \(\overline a\in\{\overline 1,\overline{-1}\}\).
Podemos expressar estes resultados na linguagem das congruências na forma seguinte.
Lema 30.2 Seja \(p\) um primo e seja \(a\in\Z\).
- Se \(a^2\equiv 1\pmod p\) então \(a\equiv \pm 1\pmod p\).
- Assuma que \(p\nmid a\) e seja \(b\) um inverso de \(a\) módulo \(p\). Se \(b\equiv a\pmod p\), então \(a\equiv \pm 1\pmod p\).
Teorema 30.1 (O Teorema de Wilson). Um número \(n\in\N\) é primo se e somente se \((n-1)!\equiv -1\pmod n\)
Comprovação. Vamos começar com a volta, pois esta direção é mais fácil. Assuma que \((n-1)!\equiv -1\pmod n\) e seja \(a\in\{1,\ldots,n-1\}\) tal que \(a\mid n\). Em particular, \(a\mid (n-1)!\). A congruência \((n-1)!\equiv -1\pmod n\) implica que \(n\mid (n-1)!+1\) e obtemos destas duas divisibilidades que \(a\mid 1\) que implica que \(a=1\). Obtivemos então que o único divisor de \(n\) entre \(1\) e \(n-1\) é o \(1\) e assim \(n\) é primo.
Agora demonstremos a ida. Assuma que \(p\) é primo e escreva \[
(n-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1).
\] Note que todo fator neste produto possui inverso módulo \(p\) pois \(p\) é primo. Além disso, se \(a\in\{1,\ldots,n-1\}\) então existe único elemento \(b\in\{1,\ldots,n-1\}\) tal que \(b\) é inverso de \(a\) módulo \(p\); ou seja, \(ab\equiv 1\pmod p\). Pelo lema anterior \(b=a\) se e somente se \(a=1\) ou \(a=n-1\), Isso quer dizer que no produto na última linha destacada módulo \(p\), cada fator aparece com seu inverso exceto o primeiro (\(1\)) e o último (\(n-1\)). Assim \[
(n-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\equiv n-1\equiv -1\pmod p.
\]