Seja \(R\) um anel e considere o conjunto dos polinômios \(R[x]\) sobre \(R\). Nós introduzimos duas operações \(+\) e \(\cdot\) no conjunto \(R[x]\). Sejam \(f(x),g(x)\in R[x]\) dados como \[\begin{align*}
f(x)&=\alpha_nx^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\\
g(x)&=\beta_nx^n+\beta_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\beta_1x+\beta_0
\end{align*}\] onde \(\alpha_i,\beta_i\in R\). (Note que nós não assumimos que \(\alpha_n\neq 0\) e \(\beta_n\neq 0\)) então os graus de \(f(x)\) e \(g(x)\) podem não coincidir.) Defina \[\begin{align*}
f(x)+g(x)&=(\alpha_n+\beta_n)x^n+(\alpha_{n-1}+\beta_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(\alpha_1+\beta_1)x+\alpha_0+\beta_0;\\
f(x)g(x)&=c_{2n}x^{2n}+c_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots +c_1x+c_0
\end{align*}\] onde \[
c_k=\sum_{i,j\in\{0,\ldots,n\}\\ i+j=k} a_ib_j.
\]
Exemplo 43.1 Considere \(f(x)=x^3+\overline 2x\) e \(g(x)=\overline 2x+\overline 1\) em \(\Z_3[x]\). Então \[\begin{align*}
f(x)+g(x) &= x^3+x+\overline 1\\
f(x)g(x) & = (x^3+\overline 2x)(\overline 2x+\overline 1)=\overline 2x^4+x^3+x^2+\overline 2x.
\end{align*}\]
Lema 43.1 Seja \(R\) um anel e \(f(x),g(x)\in R[x]\setminus\{0\}\).
- \(f(x)g(x)=0\) ou \(\grau{f(x)g(x)}\leq \grau{f(x)}+\grau{g(x)}\).
- Se \(R\) for um domínio, então \(f(x)g(x)\neq 0\) e \(\grau{f(x)g(x)}= \grau{f(x)}+\grau{g(x)}\)
Comprovação. A primeira afirmação segue da definição do produto. Assuma que \(R\) é um domínio e sejam \(f(x),g(x)\in R[x]\) tais que \[\begin{align*}
f(x)&=\alpha_nx^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\\
g(x)&=\beta_mx^m+\beta_{m-1}x^{m-1}+\cdots+\beta_1x+\beta_0
\end{align*}\] com \(\alpha_i,\beta_j\in R\) e com \(\alpha_n,\beta_m\neq 0\). Em particular, \(\grau{f(x)}=n\) e \(\grau{g(x)}=m\) e \[
f(x)g(x)=\alpha_n\beta_mx^{m+n}+\cdots
\] onde \(\cdots\) significa uma soma de termos de grau menor que \(m+n\). Como \(R\) é um domínio, \(\alpha_n\beta_m\neq 0\) e temos que \(f(x)g(x)\neq 0\) e que \[
\grau{f(x)g(x)}=m+n=\grau{f(x)}+\grau{g(x)}.
\]
Exemplo 43.2 É possível que o grau do produto seja estritamente menor que a soma dos graus. Considere por exemplo \(f(x)=\overline 2x+\overline 1\) e \(g(x)=\overline 3x+\overline 1\) em \(\Z_6[x]\). Então \(\grau{f(x)}=\grau{g(x)}=1\), mas \[
f(x)g(x)=(\overline 2x+\overline 1)(\overline 3x+\overline 1)=\overline 5x+\overline 1
\] e assim \(\grau{f(x)g(x)}=1\)
Teorema 43.1 Seja \(R\) um anel. As seguintes afirmações são verdadeiras.
- \(R[x]\) é um anel com as operações de \(+\) e \(\cdot\) entre polinômios.
- \(R[x]\) é um domínio se e somente se \(R\) é um domínio.
- Se \(R\) é um domínio, então os elementos invertíveis de \(R[x]\) são os elementos invertíveis de \(R\) (considerados como polinômios de grau zero).
Comprovação.
Exercício.
Se \(R\) é um domínio, então \(R[x]\) é domínio pelo lema anterior. Vice versa, se \(R[x]\) é um domínio e \(a,b\in R\setminus\{0\}\), então \(a\) e \(b\) podem ser considerados como elementos de grau zero em \(R[x]\). Como \(R[x]\) é domínio, temos que \(ab\neq 0\) e obtemos que \(R\) também é domínio.
Seja \(R\) um domínio. É fácil verificar que um elemento invertível \(\alpha\in R\) é invertível em \(R[x]\). Assuma que \(f(x)\in R[x]\) invertível. Então existe \(g(x)\in R[x]\) tal que \(f(x)g(x)=1\). Daí temos que \(f(x),g(x)\neq 0\) e \[
0=\grau{1}=\grau{f(x)g(x)}=\grau{f(x)}+\grau{g(x)}.
\] Como os graus de \(f(x)\) e de \(g(x)\) são inteiros não negativos, segue que \[
\grau{f(x)}=\grau{g(x)}=0;
\] ou seja \(f(x)=\alpha\) e \(g(x)=\beta\) com \(\alpha,\beta\in R\) e \(\alpha\beta=1\). Portanto \(f(x)=\alpha\) é um elemento invertível de \(R\).