13 Critérios de divisibildade

Seja \(a\) um número natural escrito na base \(10\) (decimal) como \[ a=[a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]_{10}=[a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]. \] É bem conhecido que, para alguns valores de \(b\), a divisibilidade de \(a\) por \(b\) pode ser determinado olhando apenas os dígitos de \(a\).

Exercício 13.1 Demonstre que para todo \(i\geq 0\), existe \(q_i\in\N_0\) tal que \(10^i=3q_i+1\)

Teorema 13.1 (Critérios de divisibilidade) As seguintes afirmações são verdadeiras para um número natural \(a=[a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]\) escrito na base decimal.

\(2\mid a\) se e somente se \(2\mid a_0\);
\(3\mid a\) se e somente se \(3\mid a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\);
\(4\mid a\) se e somente se \(4\mid [a_1a_0]\);
\(5\mid a\) se e somente se \(5\mid a_0\);
\(7\mid a\) se e somente se \(7\mid [a_n\cdots a_1]-2a_0\);
\(8\mid a\) se e somente se \(8\mid [a_2a_1a_0]\);
\(9\mid a\) se e somente se \(9\mid a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\);
\(10\mid a\) se e somente se \(10\mid a_0\) (ou seja, \(a_0=0\));
\(11\mid a\) se e somente se \(11\mid (-1)^na_n+(-1)^{n-1}a_{n-1}+\cdots-a_1+a_0\);

Comprovação. Demonstraremos algumas destas afirmações, o resto será exercício.

Considere que \[\begin{align*} a&=[a_na_{n-1}\cdots a_1a_0]=\sum_{k=0}^n10^ka_k=10\left(\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k\right)+a_0\\&=10q+a_0 \end{align*}\] com \[ q=\sum_{k=1}^n10^{k-1}a_k\in\mathbb N. \] Como \(2\mid 10\), obtemos que o número \(a\) é divisível por \(2\) se e somente se o algarismo \(a_0\) é divisível por \(2\).
Temos, pelo exercício antes do teorema, para todo \(i\geq 0\), existe \(q_i\in\N_0\) tal que \(10^i=3q_i+1\). Agora considere \[\begin{align*} a&=[a_n\cdots a_1a_0]=\sum_{k=0}^n 10^ka_k=\sum_{k=0}^n (3q_k+1)a_k\\&=3\sum_{k=0}^nq_ka_k+ \sum_{k=0}^na_k. \end{align*}\] No última expressão, a primeira parcela é um múltiplo de \(3\). Logo \(a\) é divisível por \(3\) se e somente se a segunda parcela na última expressão é divisível por \(3\), mas esta segunda parcela é justamente a soma dos dígitos de \(a\).