Teorema 53.1 (O Critério de Eisenstein) Seja \[
f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in\Z[x]
\] com \(a_n\neq 0\) tal que existe um primo \(p\) tal que \(p\nmid a_n\), \(p\mid a_i\) para todo \(i\in\{0,\ldots,n-1\}\) e \(p^2\nmid a_0\). Então \(f(x)\) é irredutível em \(\Q[x]\)
Comprovação. Assuma por procurar uma contradição que \(f(x)\) é redutível em \(\Q[x]\). Pelo Lema de Gauss, existem \(g(x),h(x)\in\Z[x]\) tal que \(f(x)=g(x)h(x)\) tais que \(1\leq \grau{g(x)},\grau{h(x)}\leq\grau{f(x)}-1\). Assuma que \[\begin{align*}
g(x)&=b_rx^r+\cdots +b_1x+b_0\\
h(x)&=c_sx^s+\cdots +c_1x+c_0
\end{align*}\] com \(b_r,c_s\neq 0\), \(r,s\geq 1\) e \(r+s=n\). Temos que \(a_n=b_rc_s\) e \(a_0=b_0c_0\). Como \(p\nmid a_n\), temos que \(p\nmid b_r\) e \(p\nmid c_s\). Similarmente, como \(p\mid a_0\) e \(p^2\nmid a_0\), segue que \(p\mid b_0\) ou \(p\mid c_0\) mas \(p\) não divide ambos \(b_0\) e \(c_0\). Assuma sem perder generalidade que \(b\mid b_0\) e \(p\nmid c_0\). Seja \(t\) o menor índice tal que \(p\nmid b_t\). Então \(t\leq r < n\). O coeficiente \(a_t\) é obtido como \[
a_t=b_tc_0+b_{t-1}c_1+\cdots+b_1c_{t-1}+b_0c_t
\] (se \(\grau{h(x)} < t\), então tomamos \(c_{s+1}=\cdots=c_t=0\)). Pelas condições do lema, \(p\mid a_t\) e isso implica que \(p\mid b_tc_0\) mas isso é impossível como \(p\nmid b_t\) e \(p\nmid c_0\). Logo a fatoração \(f(x)=g(x)h(x)\) não existe e assim \(f(x)\) é irredutível
Exemplo 53.1 Seja \(f(x)=x^n-p\in\Z[x]\) onde \(p\) é um primo e \(n\geq 1\). O critério de Eisenstein vale para \(f(x)\) e assim \(f(x)\) é irredutível. Em particular \(\Q[x]\) possui polinômios irredutíveis de grau arbitrário
Exemplo 53.2 Seja \(p\in\N\) um primo e considere \[
f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\in\Z[x].
\] O polinômio \(f(x)\) é chamado polinômio ciclotómico de grau \(p\). Note que \[
f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}.
\] Afirmamos que \(f(x)\) é irredutível em \(\Q[x]\). O Critério de Eisenstein não é diretamente aplicável e nós vamos fazer uma substituição de variável \(y=x+1\). Assim \[\begin{align*}
f(y)&=\frac{y^p-1}{y-1}=\frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1}\\
&=\frac{x^p+p x^{p-1}+\binom p2x^{p-2}+\cdots+\binom p{p-2}x^2+px+1-1}{x}\\&=
x^{p-1}+p x^{p-2}+\binom p2x^{p-3}+\cdots+\binom p{p-2}x+p.
\end{align*}\] O coeficiente binomial \(\binom pk\) é divisível por \(p\) para todo \(k\in\{1,\ldots,p-1\}\). Pelo Critério de Eisentein, \(f(y)\) é irredutível. Como \(x=y-1\), temos que \(f(x)=f(y-1)\) é também irredutível