Fundamentos de álgebra

Disciplina de graduação, Departamento de Matemática, UFMG.

Conteúdo

Bloco 1. Números inteiros: os princípios de boa ordenação e indução; o Lema  de Divisão de Euclides; critérios de divisibilidade; representação de inteiros e racionais em bases; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; o MDC como combinação linear; equações diofantinas lineares; números primos; fatoração; o Teorema Fundamental da Aritmética.

Bloco 2. Congruências: definição e propriedades elementares; congruências lineares; a função de Euler; os teoremas de Fermat Euler, Wilson e do resto chinês; testes de primalidade; a criptografia RSA.

Bloco 3. Polinômios sobre um corpo; divisibilidade; o Lema de Divisão; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; raízes, fórmulas para raízes para polinômios de 2o e 3o grau; irredutibilidade e fatoração sobre Q, R e C; o Teorema Fundamental da Álgebra;  o Lema de Gauss e o Critério de Eisenstein; anéis; definição e exemplos; ideais; domínios de integridade; divisores de zero; anéis euclidianos.

Literatura recomendada

  • A. Vidigal, D. Avritzer, E. Farias e Soares, H. P. Bueno, M. C. C. Ferreira, e E. M. C. de Faria.  Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG. 2005.
  • S. C. Coutinho. Teoria de números e criptografia RSA. IMPA-SBM ,segunda edição,  2014.
  • A. Hefez. Curso de Álgebra (vol 1). Coleção Matemática Universitária, IMPA – SBM, quinta edição, 2016.
  • Adilson Gonçalves. Introdução à álgebra, IMPA, sexta edição, 2017.
  • Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Elementos de álgebra, IMPA, sexta edição, 2018.
  • F. C. P. Milies e S. P Coelho. Números: uma introdução à Matemática. Ed. USP, terceira edição, 2013.
  • L. S. Childs. A concrete introduction to higher algebra, UTM, Springer-Verlag, 2009.

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Notas e apostilas

Bloco 1: Inteiros
  1. Divisão, quociente, e resto entre números inteiros; O Teorema de Divisão de Euclides
  2. Expansão de números inteiros em uma base $b$
  3. Critérios de divisibilidade
  4. Expansão decimal de números racionais
  5. O maior divisor comum
  6. O Algoritmo de Euclides
  7. Propriedades do MDC
  8. Números primos
  9. O Teorema Fundamental da Aritmética
  10. O número dos primos
  11. Equações diofantinas lineares em duas variáveis
  12. O Teorema Chinês dos Restos (Versão 1.0)
  13. A função $\varphi$ de Euler
Bloco 2: Congruências
  1. Congruências
  2. Classes residuais
  3. $\Z_n$
  4. Congruências com incógnitas
  5. O Teorema Chinês dos Restos (Versão 2.0)
  6. O Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler
  7. O Teorema de Wilson
  8. A ordem de um elemento de $\Z_n$
  9. Elementos primitivos: O enunciado
  10. Quadrados em $\Z_p$ e resíduos quadráticos
  11. O Algoritmo de Exponenciação Rápida
  12. O Teste de Primalidade de Fermat
  13. Os números de Carmichael
  14. O Teste de Primalidade de Miller
  15. Criptografia RSA: A Teoria
  16. Criptografia RSA: Um Exemplo Computacional
Bloco 3: Polinômios
  1. Anéis, domínios e corpos
  2. Números complexos
  3. Polinômios sobre anéis
  4. O anel dos polinômios
  5. Divisibilidade entre polinômios
  6. O Teorema de Divisão para Polinômios
  7. O MDC de dois polinômios e o Algoritmo de Euclides
  8. Raízes e divisibilidade
  9. Elementos Primitivos: A demonstração
  10. Polinômios irredutíveis
  11. O Teorema da Fatoração para Polinômios
  12. Domínios de Fatoração Única (DFU)
  13. Polinômios em $\Q[x]$. Parte I: O Lema de Gauss
  14. Polinômios em $\Q[x]$. Parte II: O Critério de Eisenstein
  15. Equações polinomiais do segundo grau
  16. Equações polinomiais do terceiro grau