Fundamentos de álgebra

Disciplina de graduação, Departamento de Matemática, UFMG.

Conteúdo

Bloco 1. Números inteiros: os princípios de boa ordenação e indução; o Lema  de Divisão de Euclides; critérios de divisibilidade; representação de inteiros e racionais em bases; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; o MDC como combinação linear; equações diofantinas lineares; números primos; fatoração; o Teorema Fundamental da Aritmética.

Bloco 2. Congruências: definição e propriedades elementares; congruências lineares; a função de Euler; os teoremas de Fermat Euler, Wilson e do resto chinês; testes de primalidade; a criptografia RSA.

Bloco 3. Polinômios sobre um corpo; divisibilidade; o Lema de Divisão; máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; raízes, fórmulas para raízes para polinômios de 2^o e 3^o grau; irredutibilidade e fatoração sobre Q, R e C; o Teorema Fundamental da Álgebra;  o Lema de Gauss e o Critério de Eisenstein; anéis; definição e exemplos; ideais; domínios de integridade; divisores de zero; anéis euclidianos.

Literatura recomendada

• A. Vidigal, D. Avritzer, E. Farias e Soares, H. P. Bueno, M. C. C. Ferreira, e E. M. C. de Faria.  Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG. 2005.
• S. C. Coutinho. Teoria de números e criptografia RSA. IMPA-SBM ,segunda edição,  2014.
• A. Hefez. Curso de Álgebra (vol 1). Coleção Matemática Universitária, IMPA – SBM, quinta edição, 2016.
• Adilson Gonçalves. Introdução à álgebra, IMPA, sexta edição, 2017.
• Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Elementos de álgebra, IMPA, sexta edição, 2018.
• F. C. P. Milies e S. P Coelho. Números: uma introdução à Matemática. Ed. USP, terceira edição, 2013.
• L. S. Childs. A concrete introduction to higher algebra, UTM, Springer-Verlag, 2009.

Canais de YouTube

• Teoria dos números por Michael Penn (inglês)
• Teoria dos números por Richard Borcherds (inglês)
• Intrudução à teoria dos números por Richard Borcherds, Universidade de Berkeley, 2022 (inglês)

Notas e apostilas

Bloco 1: Inteiros

1. Divisão, quociente, e resto entre números inteiros; O Teorema de Divisão de Euclides
2. Expansão de números inteiros em uma base $b$
3. Critérios de divisibilidade
4. Expansão decimal de números racionais
5. O maior divisor comum
6. O Algoritmo de Euclides
7. Propriedades do MDC
8. Números primos
9. O Teorema Fundamental da Aritmética
10. O número dos primos
11. Equações diofantinas lineares em duas variáveis
12. O Teorema Chinês dos Restos (Versão 1.0)
13. A função $\varphi$ de Euler

Bloco 2: Congruências

1. Congruências
2. Classes residuais
3. $\Z_n$
4. Congruências com incógnitas
5. O Teorema Chinês dos Restos (Versão 2.0)
6. O Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler
7. O Teorema de Wilson
8. A ordem de um elemento de $\Z_n$
9. Elementos primitivos: O enunciado
10. Quadrados em $\Z_p$ e resíduos quadráticos
11. O Algoritmo de Exponenciação Rápida
12. O Teste de Primalidade de Fermat
13. Os números de Carmichael
14. O Teste de Primalidade de Miller
15. Criptografia RSA: A Teoria
16. Criptografia RSA: Um Exemplo Computacional

Bloco 3: Polinômios

1. Anéis, domínios e corpos
2. Números complexos
3. Polinômios sobre anéis
4. O anel dos polinômios
5. Divisibilidade entre polinômios
6. O Teorema de Divisão para Polinômios
7. O MDC de dois polinômios e o Algoritmo de Euclides
8. Raízes e divisibilidade
9. Elementos Primitivos: A demonstração
10. Polinômios irredutíveis
11. O Teorema da Fatoração para Polinômios
12. Domínios de Fatoração Única (DFU)
13. Polinômios em $\Q[x]$. Parte I: O Lema de Gauss
14. Polinômios em $\Q[x]$. Parte II: O Critério de Eisenstein
15. Equações polinomiais do segundo grau
16. Equações polinomiais do terceiro grau