Teste de primalidade de Fermat

Para um primo $p$, o Pequeno Teorema de Fermat afirma que
\begin{align*}
a^p&\equiv a\pmod p\quad\mbox{para todo}\quad a\in \Z;\\
a^{p-1}&\equiv 1\pmod p\quad\mbox{para todo}\quad a\in \Z\mbox{ tal que }p\nmid a.
\end{align*}

O Pequeno Teorema de Fermat pode ser usado para dar um critério suficiente para decidir se um número é composto.

Assuma que $n\geq 2$ é um número natural. Se $b^{n-1}\not\equiv 1\pmod n$ para algum $b\in\{2,\ldots,n-2\}$, então $n$ é um número composto.

Observe que a congruência $b^{n-1}\equiv 1\pmod n$ pode ser checada para $n$ muito grande usando o Algoritmo da Exponenciação Rápida.

Seja
\[
n=100000000000000000039000000005700000000000000002223.
\]
Queremos saber se $n$ é um número primo ou ele é composto. Usando nossa implementação do algoritmo para calcular $2^{n-1}\pmod n$, obtemos que
\[
2^{n-1}\equiv 496813\ldots 506416 \neq 1\pmod n.
\]
Portanto $n$ é um número composto. É muito mais difícil verificar que de fato
\[
n=100000000000000000039\cdot 10000000400000000000000000000057.
\]
Se $n\geq 2$ e $b^{n-1}\equiv 1\pmod n$ com algum $b\in\{2,\ldots,n-1\}$, então o número $n$ chama-se pseudoprimo para a base $b$.
Mostre para $2\leq b<n$ que se $n$ é pseudoprimo na base $b$, então $\mbox{mdc}(n,b)=1$.

Com a seguinte função em Python dá para verificar se um número é pseudoprimo para a base $b$.


def PseudoPrimo( n, b ):
    return ExpModN( b, n-1, n ) == 1

Dado um número $n\in\N$. Para testar se $n$ é primo ou composto, podemos testar se $n$ é pseudopromo para algumas bases $b\in\{2,\ldots,n-1\}$. Se $n$ não for pseudoprimo para uma destas bases, dá para concluir que $n$ é composto. Caso contrário, o teste é inconclusivo.

Na primeira versão do teste, testamos se $n$ for pseudoprimo para as bases entre $2$ e $2\log n$. O número $2\log n$ é arbitrário e pode ser mudado, mas para um teste eficiente, o número de bases testadas precisa ser proporcional com o número de algarismos de $n$; ou seja, proporcional com $\log n$.


def TesteFermat( n ):
    
    d = 2*int(log( n ))+1
    for b in range( 2, d ):
        if not PseudoPrimo( n, b ):
            return "COMPOSTO"
    return "PROVAVELMENTE PRIMO"

Vamos testar quais são os números compostos entre 2 e um milhão que não são identificados como compostos usando este teste.


for n in range( 2, 1000000 ):
    if TesteFermat( n ) == "PROVAVELMENTE PRIMO" and not isprime( n ):
        print( n )
252601
294409
399001
410041
488881
512461

Em uma outra variante do teste de Fermat, podemos escolher as bases aleatoriamente entre $2$ e $2\log n$.


def TesteFermatRandom( n ):
    
    d = 2*int(log( n ))+1
    for i in range( 1, d ):
        b = random.randint( 2, n-2 )
        if not PseudoPrimo( n, b ):
            return "COMPOSTO"
    return "PROVAVELMENTE PRIMO"

Vamos identificar agora os números compostos entre 2 e 1000000 que não são identificados como compostos. Note que como o procedimento é aleatório, estes números serão diferentes cada vez que rodarmos a computação.


for n in range( 5, 1000000 ):
    if TesteFermatRandom( n ) == "PROVAVELMENTE PRIMO" and not isprime( n ):
        print( n )
294409
334153
488881