- $d\geq 0$;
- $d|a$ e $d|b$;
- se $c$ é um inteiro tal que $c|a$ e $c|b$ então $c|d$.
Não é imediatamente claro da definição que o maior divisor comum existe (isso será verificado depois). No entanto, o seguinte lema é válido
O maior divisor comum de $a$ e $b$ (quando existir) será denotado por $\mdc ab$.
- Se existe $\mdc ab$, então existe $\mdc ba$ e os dois são iguais.
- Se existe $\mdc ab$, então existe $\mdc{\pm a}{\pm b}$ e todos são iguais.
- Para todo $a\neq 0$, existe $\mdc a0$ e $\mdc a0=|a|$.
- Para todo $a\neq 0$, existe $\mdc aa$ e $\mdc aa=|a|$.
O $\mdc 00$ não tá definido.
Se $a$ e $b$ são inteiros tais que $\mdc ab=1$, então dizemos que $a$ e $b$ são primos entre si ou que eles são coprimos.
\[
\mdc ab=\mdc b{a+qb}.
\]
1. Como $d=\mdc ab$, ele é não negativo, então propriedade 1. está OK para $d$.
2. Como $d\mid a$ e $d\mid b$, temos que $d\mid b$ e $d\mid a+qb$. Ou seja, propriedade 2. está válida para $d$.
3. Assuma que $c\mid b$ e $c\mid a+qb$. Então $c\mid a+qb-qb=a$ e assim $c\mid a$. Como $d=\mdc ab$, obtemos que $c\mid d$ e a propriedade 3. também está certa para $d$.
Assim podemos concluir que $d=\mdc b{a+qb}$. A outra direção quando a suposição é que existe $\mdc b{a+qb}$ é análoga.
\[
115=4\cdot 25+15
\]
Logo $\mdc {115}{25}$ e $\mdc{25}{10}$ existem (ou não) simultaneamente e, se existirem, são iguais. Depois escreva
\[
25=1\cdot 15+10.
\]
Concluímos que $\mdc{25}{10}$ e $\mdc{10}{5}$ existem (ou não) simultaneamente e, se existirem, são iguais.
Depois
\[
15=1\cdot 10+5
\]
e
\[
10=2\cdot 5+0
\]
que implica que $\mdc{10}5$ e $\mdc 50$ existem (ou não) simultaneamente e, se existirem, são iguais. Mas agora sabe-se que $\mdc 50$ existe e $\mdc 50=5$. Logo
\begin{align*}
\mdc {115}{25}&=\mdc{25}{15}=\mdc{15}{10}=\mdc{10}{5}\\&=\mdc 50=5.
\end{align*}
Esta conta segue essencialmente o Algoritmo de Euclides que será o conteúdo da matéria seguinte.