- Seja $\alpha\in\F\setminus\{0\}$. Temos que $f(x)$ é irredutível se e somente se $\alpha f(x)$ é irredutível.
- Se $\grau{f(x)}=1$ então $f(x)$ é irredutível.
- Se $\grau{f(x)} > 1$ e $f(x)$ possui raiz em $\F$ então $f(x)$ é redutível.
- Se $\grau{f(x)} \in\{2,3\}$ então $f(x)$ é redutível se e somente se $f(x)$ possui raiz em $\F$.
(2) Assuma que $f(x)\in\F[x]$ do primeiro grau e escreva $f(x)=g(x)h(x)$ com $g(x),h(x)\in\F[x]$. Temos pelas propriedades do grau que
\[
1=\grau{f(x)}=\grau{g(x)h(x)}=\grau{g(x)}+\grau{h(x)}
\]
e assim $\grau{g(x)}=0$ ou $\grau{h(x)}=0$. Logo um dos polinômios de $g(x)$ ou $h(x)$ é escalar não nulo. Como tais polinômios de $\F[x]$ são invertíveis, temos que $f(x)$ é irredutível.
(3) Se $\grau{f(x)} > 1$ e $\alpha\in\F$ é raiz de $f(x)$, então $x-\alpha\mid f(x)$ e $f(x)=(x-\alpha)g(x)$ com $g(x)\in\F[x]$. Ademais, $\grau{g(x)}=\grau{f(x)}-1\geq 1$ e assim $f(x)$ pode ser fatorado como um produto de dois polinômios em tal forma que nenhum dos fatores é invertível. Portanto $f(x)$ é redutível.
(4) Assuma que $\grau{f(x)}\in\{2,3\}$. Se $f(x)$ possui raiz, então ele é redutível pelo tericeiro item. Vice versa, se $f(x)$ é redutível, então $f(x)=g(x)h(x)$. Considerando que $f(x)$ tem grau dois ou três, temos que ou $g(x)$ ou $h(x)$ tem grau $1$. Assim $f(x)$ é divisível por um polinômio na forma $\alpha x+\beta$ com $\alpha\neq 0$ e assim $-\beta/\alpha$ é raiz de $f(x)$.
Seja $f(x)=\alpha_n x^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1x+\alpha_0\in\Z[x]$ e assuma que $\alpha/\beta\in\Q$ tal que $\mdc{\alpha}\beta=1$ é uma raiz de $f(x)$. Mostre que $\alpha\mid \alpha_0$ e $\beta\mid \alpha_n$.
- Se $\alpha\in\F\setminus\{0\}$ e $\beta\in\F$, então $\alpha x+\beta$ é um polinômio irredutível.
- No exemplo anterior, precisamos que $\F$ seja um corpo. Por exemplo $f(x)=2x+2\in\Z[x]$ é redutível, pois $f(x)=2(x+1)$ e nenhum fator é invertível em $\Z[x]$.
- Seja $f(x)=x^3+x+1\in \Q[x]$ usando o Teorema das Raízes Racionais, vemos que $f(x)$ não tem raiz em $\Q$ e assim $f(x)$ é irredutível em $\Q[x]$.
- Considerando $f(x)=x^3+x+1\in\R[x]$ temos que $f(x)$ possui raiz real (tendo grau ímpar) e assim $f(x)$ é redutível em $\R[x]$. O mesmo polinômio também é redutível em $\C[x]$.
- Seja $f(x)=x^3+x+\overline 1\in \Z_3[x]$. Claramente, $\overline 1\in\Z_3$ é raiz de $f(x)$ e assim $f(x)$ é redutível em $\Z_3[x]$.
- Seja $f(x)=x^4+2x^2+1\in\R[x]$. Então $f(x)=(x^2+1)^2$ e assim $f(x)$ é redutível mesmo que $f(x)$ não possui raíz em $\R$.
- Um polinômio $f(x)\in\C[x]$ é irredutível se e somente se $\grau{f(x)}=1$.
- Um polinômio $f(x)\in\R[x]$ é irredutível se e somente se $\grau{f(x)}=1$ ou $\grau{f(x)}=2$ e $f(x)$ tem discriminante negativo.
(2) Seja $f(x)\in\R[x]$. Se $\grau{f(x)}=1$, então $f(x)$ é irredutível pelo lema anterior. Se $\grau{f(x)}=2$ e o discriminante de $f(x)$ é negativo, então $f(x)$ não possui raiz real e $f(x)$ é irredutível pelo lema anterior. Se $\grau{f(x)}=2$ e o discriminante de $f(x)$ é não negativo, então $f(x)$ possui raiz real e $f(x)$ é redutível pelo lema anterior. Assuma que $\grau{f(x)} \geq 3$. Usando um Teorema na semana passada, $f(x)$ pode ser escrito como um produto
\[
f(x)=\alpha\prod_{i=1}^r (x-\alpha_i)\prod_{j=1}^s(x^2+\beta_jx+\gamma_j)
\]
onde $\alpha\in\R$ é o coeficiente líder de $f(x)$.
O fato que $\grau{f(x)}\geq 3$ implica que o número dos fatores é maior ou igual a dois e assim $f(x)$ é redutível.
O problema de decidir se um polinômio é redutível ou irredutível em $\Q[x]$ ou $\Z_p[x]$ é bem mais complicado como nós também vamos ver nas aulas seguintes.