- Se $\overline a^2=\overline 1$ então $\overline a\in\{\overline 1,\overline{-1}\}$.
- Se $\overline a\neq\overline 0$ e $\overline a^{-1}=\overline a$ então $\overline a\in\{\overline 1,\overline{-1}\}$.
Na segunda afirmação, assuma que $\overline a^{-1}=\overline a$ e multiplique os dois lados com $\overline a$ para obter que $\overline 1=\overline a^2$. Agora a primeira afirmação implica que $\overline a\in\{\overline 1,\overline{-1}\}$.
Podemos expressar estes resultados na linguagem das congruências na forma seguinte.
- Se $a^2\equiv 1\pmod p$ então $a\equiv \pm 1\pmod p$.
- Assuma que $p\nmid a$ e seja $b$ um inverso de $a$ módulo $p$. Se $b\equiv a\pmod p$, então $a\equiv \pm 1\pmod p$.
Agora demonstremos a ida. Assuma que $p$ é primo e escreva
\[
(n-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1).
\]
Note que todo fator neste produto possui inverso módulo $p$ pois $p$ é primo. Além disso, se $a\in\{1,\ldots,n-1\}$ então existe único elemento $b\in\{1,\ldots,n-1\}$ tal que $b$ é inverso de $a$ módulo $p$; ou seja, $ab\equiv 1\pmod p$. Pelo lema anterior $b=a$ se e somente se $a=1$ ou $a=n-1$, Isso quer dizer que no produto na última linha destacada módulo $p$, cada fator aparece com seu inverso exceto o primeiro ($1$) e o último ($n-1$). Assim
\[
(n-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\equiv n-1\equiv -1\pmod p.
\]