\[
f=f(x)=\alpha_n x^n+\alpha_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\alpha_1 x+\alpha_0
\]
onde $\alpha_i\in R$. O símbolo $x$ é uma incógnita. Por exemplo
\[
\frac 12x^2+2x-1
\]
pode ser considerado como um polinômio sobre $\Q$, $\R$ ou $\C$. O conjunto de todos os polinômios na incógnita $x$ sobre $R$ é denotado por $R[x]$. Seja $f(x)\in R[x]$ um polinômio como acima e assuma agora que $\alpha_n\neq 0$. O termo $\alpha_nx^n$ é chamado termo líder de $f(x)$ enquanto o coeficiente $\alpha_n$ é o coeficiente líder. O número $n$ é dito o grau de $f(x)$ e é denotado por $\grau{f(x)}$. Um polinômio $f(x)$ é dito mônico se o seu coeficiente líder é igual a $1$. Para o polinômio $0$ estes termos não são definidos.
Se $\alpha\in R$ então $\alpha$ pode ser identificado com o elemento $\alpha=\alpha x^0\in R[x]$ e assim os elementos de $R$ podem ser considerados como polinômios de grau zero em $R[x]$. Os polinômios de grau zero são também chamados de polinômios constantes.
Por exemplo considere $f(x)\in\Z_5[x]$ onde
\[
f(x) = \overline 2x^2+\overline 1.
\]
O termo líder de $f(x)$ é $\overline 2x^2$, o coeficiente líder é $\overline 2$, o grau de $f(x)$ é $2$ e $f(x)$ não é mônico, pois seu coeficiente líder é diferente de $\overline 1$.
Nesta disciplina, polinômios são considerados principalmente como expressões simbólicas e não como funções. No entanto, dado um polinômio $f(x)\in R[x]$ e $\alpha\in R$ pode-se substituir $\alpha$ em $f(x)$ e obter $f(\alpha)\in R$. O elemento $\alpha\in R$ é dito raiz de $f(x)$ se $f(\alpha)=0$.
Podemos também definir a função polinomial
\[
\hat f:R\to R,\quad \hat f(\alpha)= f(\alpha).
\]
No entanto, note que para $p$ um primo, $f(x)=x$ e $g(x)=x^p$ são dois polinômios distintos de $\Z_p[x]$, mas pelo Pequeno Teorema de Fermat, as funções $\hat f,\hat g:\Z_p\to \Z_p$ são iguais. Assim, quando falamos de polinômios sobre um anel arbitrário, precisa-se distinguir entre o polinômio como expressão formal e a função polinomial.